各向异性含水层中地下水三维流基本微分方程的推导

各向异性含水层中地下水三维流基本微分方程的推导


参考文献:

  • [1] 刘欣怡,付小莉.论连续性方程的推导及几种形式转换的方法[J].力学与实践,2023,45(02):469-474.
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水均衡的基本思想: ∑ 流 入 − ∑ 流 出 = Δ V \sum 流入-\sum 流出=\Delta V =ΔV

在渗流场中取任意一点 P ( x , y , z ) P(x,y,z) P(x,y,z),设单元体无限小,但保证单元体中地下水穿过介质骨架和孔隙,设 Δ z \Delta z Δz Δ x , Δ y \Delta x, \Delta y Δx,Δy为常量,水的密度为 ρ \rho ρ,孔隙度 n n n,单元体高度 Δ z \Delta z Δz

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中心坐标
中心点的坐标: ( x , y , z ) (x,y,z) (x,y,z)
中心点的流速: ( u , v , w ) (u, v,w) (u,v,w)

d y d z dydz dydz是流入方向垂直的面积 S S S

微元体内质量的时间变化率可以表示为: d M d t = 质 量 × 密 度 时 间 = ρ V d t = ∂ ρ   d x d y d z ∂ t \frac{dM}{dt}=\frac{质量×密度}{时间}=\frac{\rho V}{dt}=\frac{\partial \rho \ dxdydz}{\partial t} dtdM=×=dtρV=tρ dxdydz

已知泰勒公式:
f ( x ) = f ( x 0 ) + f ( x 0 ) ′ 1 ! ( x − x 0 ) + . . . . + f n ( x 0 ) n ! ( x − x 0 ) n f(x)=f(x_0)+\frac{f(x_0)'}{1!}(x-x_0)+....+\frac{f^n(x_0)}{n!}(x-x_0)^n f(x)=f(x0)+1!f(x0)(xx0)+....+n!fn(x0)(xx0)n
对照泰勒公式,流入左侧面的速度为:

u x − ∂ u x ∂ x ( d x − d x 2 ) u_x-\frac{\partial u_x}{\partial x}(dx-\frac{dx}{2}) uxxux(dx2dx)

某一断面的流量等于流速 v v v与断水面积的乘积 A A A
A = v A A=v A A=vA

流体力学中的质量流率计算:在流体力学中,密度速度面积乘积可以用来计算流体通过某个截面的质量流率。质量流率是单位时间内通过某个截面的质量,可以用公式m=pvA来计算,其中m表示质量。
质 量 = 密 度 × 流 速 × 面 积 × 时 间 质量=密度×流速×面积×时间 =×××

两边同时乘以 ρ \rho ρ
ρ u x − ∂ ρ u x ∂ x d x 2 \rho u_x-\frac{\partial \rho u_x}{\partial x}\frac{dx}{2} ρuxxρux2dx

流出右侧的速度为:
ρ u x + ∂ ρ u x ∂ x d x 2 \rho u_x+\frac{\partial \rho u_x}{\partial x}\frac{dx}{2} ρux+xρux2dx

再乘以面积 d y d z dydz dydz,以流出量减去流入量得到:

ρ u x + ∂ ρ u x ∂ x d x 2 − ρ u x − ∂ ρ u x ∂ x d x 2 = ∂ ρ   d x d y d z ∂ t \rho u_x+\frac{\partial \rho u_x}{\partial x}\frac{dx}{2}-\rho u_x-\frac{\partial \rho u_x}{\partial x}\frac{dx}{2}=\frac{\partial \rho \ dxdydz}{\partial t} ρux+xρux2dxρuxxρux2dx=tρ dxdydz

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