简单状压dp(以力扣464为例)

1.状态压缩dp是啥？

2.题目分析

3.解题思路

4.算法分析

5.代码分析

6.代码一览

7.结语

1.状态压缩dp是啥？

顾名思义，状态压缩dp就是将原本会超出内存限制的存储改用更加有效的存储方式。简而言之，就是压缩dp的空间。

举个例子：假设这里有3盏灯，每盏灯的状态只有开和关。请问不改变顺序的前提下开关这些灯，有多少种情况。这里假设0是关闭，1是开启，那么等就有以下八种情况：

如果我们用字符串存储，就需要八个三长度的字符串。但是，我们可以把这些状态看作2进制的序列，那么我们使用一个数字7就可以保存这八种状态，比如数字4转化为二进制就是100，数字1就是001，这就是一种典型的状态压缩。

所以学习状压dp需要一定的位运算的基础哈。

2.题目分析

拿到题面我们要先对数据量进行分析，这里最多是有20个数据，那么比赛中所有可能的情况就是2的20次方种，我们这里是可以进行搜索的。

3.解题思路

我们看题面中给的数字个数有20个，我们就可以使用20位2进制存储排列的情况。然后我们简单的模拟一下游戏过程。假设10有个数：

过程1：

玩家1：2

玩家2：3

玩家1：4

玩家2：5

玩家1：？

过程2：

玩家1：4

玩家2：3

玩家1：2

玩家2：5

玩家1：？

我们分析一下这两个过程，我们玩家1到达“？”处时，剩余的数字和可选的数字都是一样的，所以这两个情况的结局是一样的。这里可以推理出，如果我们不做任何处理，就会产生大量的重复搜索，所以这里可以使用记忆化搜索或者dp等解题。

4.算法分析

因为本文章讲的是状压dp，所以这里我们选择使用dp进行搜索。这里有n个数字，那么会有2的n种情况，我们计算一下2的20次方个int变量没有超出内存，所以我们可以定义一个数组用来存储搜索过的情况，我们进行搜索的时候，再与这里的状态进行交互。

5.代码分析

int state=(1<<(maxChoosableInteger+1))-1;
vector<int> dp(state+1);

这里题面中的maxChoosableInteger是可以选择的数字个数，这里创建的state代表数字选择的状态，dp就是每个状态下的胜负情况，题目中是需要我们判断先手是不是必胜，所以我们只需要找到一条可以必胜的路线就可以了，如果所有路线都不能胜利，那么就是失败。

    bool canIWin(int maxChoosableInteger, int desiredTotal)
    {
        if(desiredTotal==0)
            return true;

        if(maxChoosableInteger*(maxChoosableInteger+1)/2<desiredTotal)
            return false;

        int state=(1<<(maxChoosableInteger+1))-1;
        vector<int> dp(state+1);

        return f(desiredTotal,state,dp,maxChoosableInteger);
    }

上面的这个代码中有两个if，这里是进行特殊判断的，因为如果一开始的数字就是0，就直接判断胜利，因为你不论选择什么数字都可以超过0，下面的if是判断这局的所有和是否可以达到目标值，如果所有的值相加都无法达到目标值，那么就没有胜利者，既然没有胜利者，也就没有所谓的必胜策略。

下面的f就是我们的搜索函数

    bool f(int last,int state,vector<int>& dp,int n)
    {
        if(last<=0)
            return false;

        if(dp[state]!=0)
        {
            return dp[state] == 1;
        }
        
        bool ret=false;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            if(((1<<i)&state) && !f(last-i,state^(1<<i),dp,n))
            {
                ret=true;
                break;
            }
        }

        dp[state]= ret ? 1 : -1;

        return ret;
    }

这里的last是上次选择后距离目标数的距离，state是数字选择的状态，这里的n就是可以选择的数字的最大值。这里我们采用的递归写法，在这个函数中，我们的两个玩家互相改变先手，什么意思呢？就是当我选完了一个数字，轮到另一个玩家选，那么就相当于剔除了一个数字和改变了目标值的新游戏的先手。所以，当这里递归发现last<=0了说明上一个玩家胜利了，这个玩家就失败了。

下面的if就是判断这个情况有没有被搜索过，如果dp[state]!=0说明这个情况已经被搜索过了，我们直接返回就行，这里我定义1就是胜利-1就是失败，所以这里判定如果是1就返回true。

接下来的for循环之前，我们先假设这次比赛是失败的，然后遍历每一种情况，这里首先需要判断，这个数字没有选择过，只需要判断state上的第i位是不是1就可以了，当然我们还需要判断，下一位玩家是不是失败，这里我们last减去我们选择的数字，然后更新state的状态，如果下手是失败的，那么就可以判断我们本次是成功的。所以ret变为true退出循环。

最后更新dp[state]的值，如果ret是true就赋值为1，否则赋值为-1。保存完毕后返回ret的值就完成了搜索。

6.代码一览

class Solution 
{
public:

    bool f(int last,int state,vector<int>& dp,int n)
    {
        if(last<=0)
            return false;

        if(dp[state]!=0)
        {
            return dp[state] == 1;
        }
        
        bool ret=false;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            if(((1<<i)&state) && !f(last-i,state^(1<<i),dp,n))
            {
                ret=true;
                break;
            }
        }

        dp[state]= ret ? 1 : -1;

        return ret;
    }

    bool canIWin(int maxChoosableInteger, int desiredTotal)
    {
        if(desiredTotal==0)
            return true;

        if(maxChoosableInteger*(maxChoosableInteger+1)/2<desiredTotal)
            return false;

        int state=(1<<(maxChoosableInteger+1))-1;
        vector<int> dp(state+1);

        return f(desiredTotal,state,dp,maxChoosableInteger);
    }
};