如何理解与学习数学分析——第二部分——数学分析中的基本概念——第6章—

第2 部分：数学分析中的基本概念

(Concepts in Analysis)

6. 级数(Series)

本章从等比级数(geometric series)开始，研究可以使用公式计算无限和的条件。它讨论了部分和与级数收敛的符号、图形表示和定义，并将它们应用于调和级数。它介绍了级数收敛性的检测，描述了它们之间的一些关系，然后证明无限级数可以具有一些非常特殊的行为。最后是关于幂级数的部分，然后是关于Taylor级数及其与函数的关系的两部分。

6.1 何谓级数？(What is a series?)

一个级数就是一个无穷和表达式，像这样：

$1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \frac{1}{81} + ...$

与通常一样，末尾的省略号 “...”(译注：英语环境下的省略号)指的是“诸如此类(永远)”。这是一个等比级数(geometric series)(译注：有的资料将“geometric series”译为“几何级数”，这是一个历史传统错误译法，我来纠正它)，其公比(common ratio)是 $\frac{1}{3}$ 。你可能知道，这个等比级数的和是 $\frac{1}{1-\frac{1}{3}}=\frac{3}{2}$ 。

即使您知道标准公式，也值得验证一下这是否合理——人们有时很擅长使用公式，但忘记考虑它们的含义。在这种情况下，我们可以考虑一条数轴：

目测，这个图应当使你确信 $\frac{3}{2}$ 这个和似乎是正确的。您可能还知道如何推导等比级数之和的公式，看过下面这样的论证(其中，我已将 $1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \frac{1}{81} + ...$ 重写为 $1 + \frac{1}{3^{1}} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{3^{3}} + \frac{1}{3^{4}} + ...$ 以便使其更容易看出正在进行的事)。

断言： $1 + \frac{1}{3^{1}} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{3^{3}} + \frac{1}{3^{4}} + ...=\frac{3}{2}$ 。

证明：

令 $S=1 + \frac{1}{3^{1}} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{3^{3}} + \frac{1}{3^{4}} + ...$ 。

则 $\frac{1}{3}S=\frac{1}{3^{1}} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{3^{3}} + \frac{1}{3^{4}} + ...$ 。

因此 $S-\frac{1}{3}S=1$ ,

即 $S(1-\frac{1}{3})=1$ 。

因此 $S=\frac{2}{1-\frac{1}{3}}=\frac{3}{2}$ 。

我认为这是一个可爱的小证据。它通过给它一个名称 S 来间接求和，然后进行一些乘法，优雅地利用级数有无穷多个项的事实，然后使 S 成为公式的主题。概括起来也很简单。如果一个等比级数具有第一项 a 和公比 r，则可以使用相同形式的论证来证明更一般的定理。

定理： $a + ar + ar^{2} + ar^{3} + ar^{4} + ... = \frac{1}{1-r}$ 。

证明：

令 $S=a + ar + ar^{2} + ar^{3} + ar^{4} + ...$

则 $rS=ar + ar^{2} + ar^{3} + ar^{4} + ...$

因此， $S - rS = a$ ，

即 $(1 - r )S = 1$ 。

因此 $S = \frac{1}{(1 - r)}$ 。

与很多数学知识一样，其伟大之处在于这总是有效。或者确实如此？

如果第一项是1 公比是 3 那么其和又是啥样？则根据这个公式有

$1 + 3 + 9 + 27 + 81 + . . . = \frac{1}{1-3}= \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}$ 。

显然，这没有意义，无穷和 1 + 3 + 9 + 27 + 81 + . . . 与 $-\frac{1}{2}$ 远非相等。这个级数甚至不会相加起来成为一个有限数，更不用考虑成为一个负数了。

公比是 -1 又怎么样呢？在这种情况下，这个公式给出

$1 - 1 + 1 - 1 + 1 - . . . = \frac{1}{1-(-1)} = \frac{1}{2}$ 。

但事实上这个级数加起来并不等于任何值——其和保持在1 和 0之间交替变化。也就是说，以某种方式等于 $\frac{1}{2}$ 没有意义。

所以这个公式并不总是有效。有时候甚至错得离谱。

刚接触高等数学的学生可能不会注意到这些问题，因为早期的数学通常只涉及标准方法适用的问题或练习。您可能“知道”只有在 |r|< 1 时才适用该公式，因为这些是您被要求使用它的唯一比率。不需要太多考虑就可以确定它并不适用于所有可能的比率。但这引出了一个有趣的问题和值得注意的一点。

有趣的问题是，证明出了什么问题？看起来它应该适用于每个比率，但事实并非如此。推理中必定存在某种隐藏的假设，但该假设并不总是有效。你知道这个假设可能是什么吗？当我们执行减法 S–rS 时就会出现问题。注意到，若 $ar + ar^{2} + ar^{3} + ar^{4} + ... = C$ ，则 S–rS = a + C – C 。看起来它应该等于 a，如果 C 恰好是有限数，则确实如此。但如果 C 是无限的，那么我们最终会得到“a + ∞– ∞”，这不是一个有意义的表达式，因为“∞– ∞”没有意义。例如，考虑一下从自然数的数量中减去平方数的数量(我们希望答案是 + ∞)，然后从自然数的数量中减去整数的数量(我们希望答案是为 -∞ 无穷大)。在这种情况下，减法没有被明确定义。关于有限对象的知识不一定能推广到无限对象，本章的大部分内容都是关于无穷级数的数学与无穷级数但和有限的数学不同的情况。

值得注意的一点是，高等数学的思想不是通过计算来寻找答案，而更多地是确定结果或公式有效的条件。对于等比级数我们可能会问，

对什么样的 a 和 r ， $ar + ar^{2} + ar^{3} + ... = \frac{a}{1-r}$ ？

此类问题遍及级数数学，典型的分析课程涉及建立测试来解决可以针对任何级数提出的相应一般问题：

这加起来是有限的数吗？

6.4 节将回答有关等比级数的问题，后面的几节将介绍一些可用的验证方法。然而，首先，我们将建立一些技术机制，以使级数的研究变得更加容易。

6.2 级数记法(Series notation)

级数在概念上并不困难，但它们包含大量符号，使它们看起来很复杂。这使得一些学生在考试中回避有关他们的问题，而事实上这些问题通常是最简单的。您不想避免简单的考试问题，因此值得掌握这些记法符号。

许多读者已经知道级数可以使用“Σ(sigma)符号”来表示，之所以这么称呼是因为它涉及大写希腊字母sigma，写作“Σ”。我们这样写：

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^{n-1}}$ ——“从n = 1到无究大的 3 的 (n - 1) 次幂分之1的和”。

为了展开这个记法，我们一次取一个n值，并将相应的项相加。因此，这也是我们表示源级数的一种方式。

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^{n-1}}=\frac{1}{3^{1-1}}+\frac{1}{3^{2-1}}+\frac{1}{3^{3-1}}+...+= 1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^{2}}+...$

sigma表示法一开始可能看起来很麻烦，但它有一些很大的优点。首先，为级数项制定一个通用表达式迫使我们理解它们的结构。对于简单的等比级数来说，这可能不会给我们带来太多好处，但对于处理像这样的更复杂的级数来说，它就很方便：

$\displaystyle \frac{1}{2} + 1 + \frac{9}{8} + 1 + \frac{25}{32} + \frac{18}{32} +\frac{49}{128} + ... =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{2}}{2^{n}}$ 。

第二，我们可以通过改变限制来表达“始于”不同位置的级数或表达有限和：

$\displaystyle \sum_{n=5}^{\infty}\frac{n^{2}}{2^{n}}=\frac{5^{2}}{2^{5}}+\frac{6^{2}}{2^{6}}+\frac{7^{2}}{2^{7}}+...$ ；

$\displaystyle \sum_{n=1}^{5}\frac{n^{2}}{2^{n}}=\frac{1^{2}}{2^{1}}+\frac{2^{2}}{2^{2}}+\frac{3^{2}}{2^{3}}+\frac{4^{2}}{2^{4}}+\frac{5^{2}}{2^{5}}+$ ；

当然，有限和不是级数，如果有限和只有两项或三项，那么以这种方式编写有限和就没有多大意义。但当用十个相关项表示总和时，它可以节省一些精力：

$\displaystyle \frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\frac{1}{5!}+\frac{1}{6!}+\frac{1}{7!}+\frac{1}{8!}+\frac{1}{9!}+\frac{1}{10!}=\sum_{n=1}^{10}\frac{1}{n!}$ 。

如果我们想考虑大量相关的和式，也有充分的理由这样做，如下所示：

令 $\displaystyle S_{n}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i}$ 则

$\displaystyle S_{1}=\sum_{i=1}^{1}\frac{1}{i} = \frac{1}{1}$ ，

$\displaystyle S_{2}=\sum_{i=1}^{2}\frac{1}{i} = \frac{1}{1} + \frac{1}{2}$ ，

$\displaystyle S_{3}=\sum_{i=1}^{3}\frac{1}{i} = \frac{1}{1} + \frac{1}{2}+\frac{1}{3}$ 等等，通常，

$\displaystyle S_{n}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i} = \frac{1}{1} + \frac{1}{2}+\frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n}$ 。

请注意，这里使用了两个变量。其中，i 是一个索引变量：在每一项中，我们将其替换为我们想要的任何数字。另一个 n 是一种停止变量。在本节前面，我使用 n 作为索引变量。这很好，因为它只是一个名称——我们可以使用我们喜欢的任何字母或符号。但是，在处理级数时，我们有时会关心这两个变量，并且能够区分它们是很有用的，因此当我需要这两个变量时，我将使用 i 进行索引，使用 n 进行停止。我还将采用标准约定，因为我们最感兴趣的是无穷级数，记法 $\sum a_{n}$ 表示无穷级数 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + ...$ 。

无论如何，Σ表示法非常紧凑。对于专家来说，这是一个优势。但紧凑的符号隐藏了大部分含义，因此学生有时会发现自己盯着包含Σ符号的表达式，就好像它只是一堆毫无意义的符号一样。处理这种情况我有一条格言：

如有疑问，请将其写出来(译注：指将级数详细写出来)。

我意识到这听起来有点无趣(naff )(注：根据我电脑的词典，这是一个英式英语单词，意思是“缺乏品味或风格(lacking taste or style)”。我在美国住过一段时间，但从未找到合适的美国同义词)，但传达的信息是严肃的。如果您面临用 Σ 表示法书写的级数(或有限和)，写出前几项通常可以更好地理解您正在处理的内容。

6.3 部分和与收敛性(Partial sum and series)

回顾一下关于任意级数的常见问题：

这加项起来是有限的数吗？

我们已经看到了一个其和有限的例子，一个其和无限的例子(因为它有一个无限的总数)，一个例子既无有限也没有无限(因为它根本没有一个有意义的总数)：

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^{n-1}}$ , $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^{n}}$ ， $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}$ 。

我们还看到了答案不太明显的例子。例如，上一节中的这个级数怎么样？

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{2}}{2^{n}}=\frac{1^{2}}{2^{1}}+\frac{2^{2}}{2^{2}}+\frac{3^{2}}{2^{3}}+\frac{4^{2}}{2^{4}}+\frac{5^{2}}{2^{5}}+...$

它只有正项，因此其总数必须是无限或有限正数。你认为是哪一个？第 6.6 节将提供答案，但在此之前我想确保您了解一般问题的潜在复杂性。为此，引入一些符号、部分和的概念以及图形表示是有用的。

在一般情况下讨论级数时，我会使用记法

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + ...$ 。

在这一点上，有必要明确对比级数(series)和序列(sequences)。在日常英语中，人们倾向于互换使用这两个单词。然而，在数学中，一个序列是一个无穷项列表

$(a_{n}) = a_{1} , a_{2} , a_{3} , a_{4} ,a_{5} ,a_{6 } , ... ,$

而一个级数是一个无限和

$\sum a_{n} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} + a_{6} + ...$ 。

显然，序列和级数是非常不同的，因此正确使用数学用语很重要。在这里特别重要，因为数学家们将每个级数与其部分和(partial sums)序列相关联。

定义：级数 $\sum_{i=1}^{\infty}a_{i}$ 的第 n 个部分和是 $s_{n} = \sum_{i=1}^{n}a_{i}$ 。

这给出

$s_{1} = \sum_{i=1}^{1}a_{i}= a_{1}$ ，

$s_{2} = \sum_{i=1}^{2}a_{i}= a_{1}+a_{2}$ ，

$s_{2} = \sum_{i=1}^{3}a_{i}= a_{1}+a_{2}+a_{3}$ , 等等，通常，

$s_{n} = \sum_{i=1}^{n}a_{i}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n}$ 。

你为什么认为这些被称为部分和？这不是一个棘手的问题——我只是想让你思考一下，这样你就不会无意义地去记定义。您能明白为什么坚持遣辞达意很重要吗？部分和形成一个序列 ( $s_{n}$ ) ，因此每个级数都有一个关联的序列，并且认识到哪个符号用于哪个量非常重要。

在我看来，当观察表示 $s_{n}$ 对 n 的图像的时候，这种关系变得更为清晰。该图使用点进行给制而不是曲线，因为与序列一样，值 $s_{n}$ 仅存在于 n 是自然数的情况。

请注意， $a_{n}$ 并未明确绘制在该图上，尽管我们可以将其 “看” 作 $s_{n-1}$ 和 $s_{n}$ 之间的垂直差。还应注意，当且仅当这个序列 $(s_{n})$ 收敛于一个有效值的时候，这个级数才具有有限和——观察图像并思考为什么。这导出了下面的定义。

定义：

对于级数 $\sum_{i=1}^{\infty}a_{i}$ ，当且仅当其部分和序列 $(s_{n})=\sum_{i=1}^{n}a_{i}$ 收敛时其收敛。

这里的语言有点奇怪，因为我们真正感兴趣的是级数加起来是否是有限的。但是，由于级数是无限的，我们通过部分和的序列来解决这个问题。这导致我们用收敛性来描述级数的行为。显然，您需要了解部分和的正式定义，但这里是概念信息的摘要：

• 如果级数加起来达到有限数，我们就说级数收敛。

• 如果没有，我们就说它发散。

6.4 再论等比级数(Geometric series again)

使用部分和将有关级数的问题转换为有关序列的问题。这使我们能够对之前有关等比级数的问题给出精确的答案：

对于 a 和 r 取什么值 $ar + ar^{2} + ar^{3} + ... = \frac{a}{1-r}$ ？

使用部分和意味着我们可以将熟悉的参数应用于部分和 $s_{n}$ ，它是有限的，这样我们就不会遇到无限或未定义和的问题。然后我们可以问当 n 趋于无穷大时 $s_{n}$ 会发生什么，实际上将关于无限和的问题变成关于有限和和极限的问题。这是一个完整的论证，以定理和证明的形式呈现。

定理： $ar + ar^{2} + ar^{3} + ... = \frac{a}{1-r}$ 成立的条件是当且仅当 |r|< 1 。

证明：

令 $s_{n}=a+ar + ar^{2} + ...+ar^{n-1}$ 。

则 $rs_{n}= ar + ar^{2} + ...+ar^{n-1}+ar^{n}$ 。

因此， $s_{n}-rs_{n}=a-ar^{n}$ ，

即 $s_{n}(1-r)=a-ar^{n}$ 。

因此 $s_{n}=\frac{a(1-r^{n})}{(1-r)}$ 。

现在，当且仅当 |r |< 1 时，序列 $(r^{n})$ 收敛。因此，当且仅当 |r|< 1 时，序列 $(s_{n})$ 收敛。按这样的情况， $r^{n} \rightarrow 0$ ，因此 $s_{n}\rightarrow \frac{a}{1-r}$ 。

确定了这一点后，我认为查看某些和的视觉表示很有趣。例如，想象下图中整个正方形的面积是1。最大的黑色正方形的面积是多少？那么下一个最大的呢？图中如何说明总和？

您可能见过的另一幅图像是科赫雪花(Koch snowflake)，它是通过采用等边三角形并添加三个三角形来构造六角星形，然后是更小的三角形等来迭代构造的。如果原三角形的面积为1，那么星形的面积是多少？下一次迭代的面积是多少？该构造对应于什么几何级数，其总和(极限形状的面积)是多少？而且，对于更奇怪的事情来说，该形状的周长是多少？

6.5 一个惊奇的例子(A surprising example)

对等比级数公式的证明用到了事实——仅当 |r | < 1 时，序列 $(r^{n})$ 趋近于 0 。对于一般级数 $\sum a_{n} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + ...$ 而言，若其收敛，很显然，当 n 趋近于无穷大时， $a_{n}$ 就必然趋近于 0 。可通过下列定理体现。

定理：若 $\sum a_{n}$ 收敛，则 $(a_{n}) \rightarrow 0$ 。

有时候，也称这个定理为空序列验证(null sequence test)，因为它的逆否命题(反证)(contrapositive)可以作为不收敛的检验(注：条件句“若 A 则 B”的逆否命题是“若否B则否A。” 若条件句成立，则其逆否命题总是成立。请参阅请参阅过渡到证明的教科书或者<<如何学习数学>>( How to Study for/as a Mathematics, Degree/Major)第4.6节)：

(逆否命题)若 $(a_{n}) \nrightarrow 0$ 则 $\sum a_{n}$ 不收敛。

这个定理的逆命题又怎么样呢？

(逆命题)若 $(a_{n}) \rightarrow 0$ 则 $\sum a_{n}$ 收敛。

许多人只是假设这是真的，即使他们警惕条件语句及其逆命题是不同的这一事实(参见第 2.10 节)。直觉上很自然地认为，如果项趋向于零，那么级数必须具有有限的总数。但事实上事实并非如此，如下面的反例所示。当我第一次看到它时，这确实引起了我的注意—部分原因是因为结果令我惊讶，部分原因是因为我发现相关的论点如此优雅和令人信服。

考虑调和级数(harmonic series)

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}+ \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + ...$ ，

其前面几项的部分和及图形如下：

第一次查看这些信息时，大多数人得出的结论是，该级数的总和是有限的，大约在 3 到 5 的范围内，或者在图形的界外可能是 10。但这是错误的。总和是无限大的，我们可以按如下证明。

级数的第一项是1，大于 1/2 。其第二项等于 1/2。第三项本身不大于或等于 1/2 。

但是取接下来的两项就给出：1/3 + 1/4 > 2/4 = 1/2 。取接下来的四项 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 = 1/2 。我们可以通过接下来的八项，然后是接下来的十六项，然后是接下来的三十二项，等等来加到另一半上。因为我们可以继续添加更多的一半，所以总和是无限的。

有时人们这样表达论点：

为了规范它，讲座或教科书可能会断言如下：

对于 ∀n∈ℕ ，都有 $s_{2^{n}}=\frac{n+1}{2}$ 。

你能看出为什么这成立吗？同样，格言“若怀疑，请写出来”适用于此。我会写出 n 的几个取值的不等式，像这样：

这使我确信我们的断言成立。在确立这个断言之后，我们可以观察到，序列(n + 1)/2 趋近于无穷大，序列 $(s_{n} )$ 一定也趋近于无穷大，有一些细节需要理解：因为 $(s_{2^{n}})$ 仅是 $(s_{n} )$ 的一个子序列，但这是论证的要点，您可能会在分析课程中看到详细信息。

调和级数的发散应该提醒我们，基于图或有限情况的直觉在推广到无穷情况时应当非常谨慎(您现在可以想象一下，对于前一百万项， $s_{n}$ 对n的图会是什么样子)。它还应该帮助您认识到无穷大确实很大。调和级数的项很小，而且还在不断变小，但它们的项实在是太多了，无论如何加起来都是无限的。最后，它强调了一个事实，即看起来明显相似的级数可能具有截然不同的行为：

序列 $(\frac{1}{2^{n}}) \rightarrow 0$ 和级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n}}$ 收敛

但

序列 $(\frac{1}{n}) \rightarrow 0$ 和级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{{n}}$ 发散。

你应当使你自己去琢磨其它级数的行为。例如，

$(\frac{1}{n^{2}}) \rightarrow 0$ 你认为 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}$ 是什么情况？

在一方面，级数稍微有一点“类” $\sum 1/n$

，因此，有可能它是发散的。在另一方面，它的项变小得更快，所以也许它收敛。我将把这个作为你课程的悬念(cliffhanger)。

6.6 验证收敛性(Tests for convergence)

任何分析课程都会确立“标准”级数的收敛几天或发散性，就像本章到目前为止所考虑的那样。它还将介绍并证明许多可应用于看起来更复杂的级数的收敛性验证。我不会在这里提供很多证明，但我会提供一些验证方法，以便让您注意它们之间的一些关系。例如，这是一种方法：

定理 (级数移位法则)(shift rule for series)

假设 N∈ℕ ，则级数 $\sum a_{n}$ 当且仅当级数 $\sum a_{N+n}$ 收敛时其收敛。你能看出为什么这个定理被称为移位法则吗？比如说，若 N = 10 ，它仅意味着当且仅当级数 $a_{11} + a_{12} + a_{13} + ...$ 收敛时级数 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + ...$ 收敛。

这并不意味着它们收敛到相同的数——显然，从一开始就去掉十项将使级数相加得到不同的结果，但它不会使收敛级数发散(反之亦然)。想想为什么。

以下是另一个验证：

定理 (级数相比验证法)(comparison test for series)：

假设对于 ∀N∈ℕ ，有 $0 \leq a_{n} \leq b_{n }$ 。则

(1) 若 $\sum a_{n}$ 收敛，则 $\sum b_{n}$ 收敛。

(2) 若 $\sum b_{n}$ 收敛，则 $\sum a_{n}$ 收敛。

这在直觉上是很自然的，以至于我在第 6.4 节中调用了它两次，而你可能没有注意到。到底我在哪里做到了这一点？事实上有一些相关的对比验证，包括这个：

定理 (序列极限相比验证法)(limit comparison test)：

假设 $a_{n} ,b_{n} > 0$ ，且对于 ∀N∈ℕ ，都有 $(\frac{a_{n}}{b_{n}}) \rightarrow l \neq 0$ 。

则当且仅当 $\sum b_{n}$ 收敛时， $\sum a_{n}$ 收敛。

极限比较验证法对于确定看起来复杂的序列的结果非常有用，因为它注意到它们在某种意义上“像”更简单的序列。例如，令

$\displaystyle a_{n} = \frac{n^{2}+6}{3n^{3}-4n}$ 。

则 $\sum a_{n}$ 发散，因为 $\sum b_{n}=\sum 1/n$ 发散且

$\displaystyle \frac{a_{n}}{b_{n}}=\frac{n^{3}+6n}{3n^{3}-4n}=\frac{1+\frac{6}{n^{2}}}{3-\frac{4}{n^{2}}} \rightarrow \frac{1}{3}$ (当 n ⟶ ∞ )。

确保您可以看出这与验证陈述是如何关联起来的。

当极限相比验证法使用两个不同级数的对应项的比率时，比率验证使用同一级数的相邻项的比率：

定理 (级数比率验证法)(ratio test for series)：

假设 $a_{n}>0$ ，且对于 ∀N∈ℕ ，都有随着 n ⟶ ∞ 而 $(a_{n+1}/a_{n}) \rightarrow l$ 。则：

(1) 若 l < 1 则 $\sum a_{n}$ 收敛。

(2) 若 l > 1 (包括 l = ∞) 则 $\sum a_{n}$ 发散。

我们将在这里做两件事：将此验证应用于具体级数并检查证明。我们将把它应用到下面的级数中，这在6.3节中已经介绍过。你觉得怎么样？这个级数是收敛还是发散？

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{2}}{2^{n}}=\frac{1^{2}}{2^{1}}+\frac{2^{2}}{2^{2}}+\frac{3^{2}}{2^{3}}+\frac{4^{2}}{2^{4}}+\frac{5^{2}}{2^{5}}+...$ 。

为了使用比率验证得出答案，我们必须考虑 $a_{n+1}/a_{n}$ 。级数项的形式意味着当我们这样做时有些项会被消去：

$\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{(n+1)^{2}}{2^{n+1}}\bullet \frac{2^{n}}{n^{2}}=\frac{1}{2}\left( \frac{n+1}{n} \right )^{2}=\frac{1}{2}\left(1+ \frac{1}{n} \right )^{2}$ 。

现在，随着 n ⟶ ∞ ， $\left(1+ \frac{1}{n} \right )^{2} \rightarrow 1$ ，因此 $\frac{1}{2}\left(1+ \frac{1}{n} \right )^{2} \rightarrow \frac{1}{2}$ 。这是一个极限 l < 1 ，所以比率验证告诉我们级数收敛。这就是应用比率验证的全部内容。但人们有时会觉得它令人困惑，我认为因为它通过其项的比率序列的极限来提供有关该级数的信息，这显然是一个复杂的推理链。检查您是否明白我的意思，然后尝试应用比率验证来找出级数的收敛性或其他情况：

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{2}}{2^{n}}=\frac{1^{2}}{2^{1}}+\frac{2^{2}}{2^{2}}+\frac{3^{2}}{2^{3}}+\frac{4^{2}}{2^{4}}+\frac{5^{2}}{2^{5}}+...$ 。

为什么在这种情况下消去效果更好？为什么我们牢记使用 $a_{n+1}/a_{n}$ 而不是 $a_{n}/a_{n+1}$ 是如此地重要？

为了理解比率验证为何有效，我们需要一个证明。我将再次表述验证，以及第 1 部分的证明。我喜欢这个证明，因为它是理论构建的一个很好的例子：它使用序列 $(a_{n+1}/a_{n})$ 的收敛定义(参见第 5.5 节和5.6)、等比级数收敛结果(6.4节)以及比较检验和移位规则(本节)。它还利用 l < 1 的事实巧妙地构造了一个小于 1 的数。此图将帮助您了解如何：

考虑到这一点，尝试阅读证明(不要忘记第 3.5 节中的自我解释训练)。

级数比率验证定理(Theorem ratio test for series)：

假设 $a_{n}>0$ ，且对于 ∀N∈ℕ ，都有随着 n ⟶ ∞ 而 $(a_{n+1}/a_{n}) \rightarrow l$ 。则：

(1) 若 l < 1 则 $\sum a_{n}$ 收敛。

(2) 若 l > 1 (包括 l = ∞)则 $\sum a_{n}$ 发散。

第一部分的证明：

假设 $a_{n}>0$ ，且对于 ∀N∈ℕ ，都有随着 n ⟶ ∞ 而 $(a_{n+1}/a_{n}) \rightarrow l$ 。

则在 $(a_{n+1}/a_{n}) \rightarrow l$ 的定义中取 $\epsilon = \frac{1}{2}( 1 - l )$ 。则 ∃N∈ℕ 使得对于∀n > ℕ ，都有

$\displaystyle \left | \frac{a_{n+1}}{a_{n}} - l \right |< \frac{1}{2}(1-l) \Rightarrow \frac{a_{n+1}}{a_{n}}< l+\frac{1}{2}(1-l) =\frac{1}{2}(1+l)<1$ 。

这意味着，对于 ∀n > ℕ ， $a_{n+1}<\frac{1}{2}(1+l)a_{n}$ 。特别是，

$a_{N+2}<\frac{1}{2}(1+l)a_{N+1}$

和

$a_{N+3}<\frac{1}{2}(1+l)a_{N+2}< \left ( \frac{1}{2}(1+l) \right )^{2}a_{N+1}$ ，则根根归纳法，对于 ∀N∈ℕ 有

$a_{N+n}< \left ( \frac{1}{2}(1+l) \right )^{2}a_{N+1}$ 。

现在， $\left ( \frac{1}{2}(1+l) \right )^{2}a_{N+1}$ 收敛，因为其是一个公比小于1的等比级数。根据级数相比验证法，级数 $\sum a_{N+n}$ 收敛，因此，根据级数移位法则，级数 $\sum a_{n}$ 收敛。

像往常一样，我建议想象您正在向其他人解释证明。你会在哪里陷入困境(如果有的话)？对此做一些笔记，您就可以准备好聆听老师在你的课程上的解释了。如果你没有陷入困境，你能调整论证来证明第二部分吗？无论哪种方式，请准备好进行大量应用这些验证等的练习。

6.7 交替级数(Alternating series)

我们处理过的许多级数都只有正项，但我们确实研究了一个同时包含正项和负项的级数：

从图中可以明显看出，该级数收敛。事实上，它收敛于 $\ln {2}$ 。这看起来合理吗？为了回答这个问题，我们需要 $\ln {2}$ 的近似值，在这种情况下，本科生拿起计算器，然后看起来有点尴尬，因为他们知道他们应该能够算出这个值。我是这样做的： $x= \ln{ 2} \Leftrightarrow e^{x}=2$ ，e约等于 2.7 ，意味着 x 略小于 1 。因此看起来没问题。

我不会证明这个级数收敛于 $\ln {2}$ ，因为这需要一些机制。但通过观察三件事，很容易证明它确实收敛：

• 序列 $( s_{n })$ 的奇数项构成了具有下界的递减子序列 $( s_{2n-1} ) = s_{1 },s_{3},s_{5},...,$ 因此必定收敛(注：5.4 节中可能的定理之一是“每个有界单调序列都是收敛的”，这是正确的，并在 10.5 节中进一步讨论)；

• 序列 $( s_{n })$ 的偶数项构成了具有上界的递增子序列 $( s_{2n} ) = s_{2 },s_{4},s_{6},...,$ 因此必定收敛；

• 这两个子序列的项任意接近，因为 (1/n) ⟶ 0 。

下面的证明规范化了这些观察结果。阅读这本书将是思考部分求和的良好实践。如果对代数的原理有疑问，写出 $( s_{2n+1} )$ ，或许对于 n的某个具体的值，并思考 (例如 n = 3 给出

$s_{7} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + \frac{1}{7}$ ）。

断言： $\sum \frac{(-1)^{n+1}}{n}$ 收敛。

证明：如往常一样，令 $\displaystyle s_{n}=\sum_{i=1}^{n}\frac{(-1)^{i+1}}{i}$ 。

则对于 ∀n∈ℕ ，

$s_{2n+1} - s_{2n-1} = -\frac{1}{2n}+ \frac{1}{2n+1} < 0$ ，因此 $( s_{2n-1} )$ 是递降的，而

$s_{2n+2} - s_{2n} = \frac{1}{2n+1}- \frac{1}{2n+2} > 0$ ，因此 $( s_{2n} )$ 是递增的。

因此，∀n∈ℕ ，有 $s_{2} \leq s_{2n} < s_{2n-1} \leq s_{1}$ 。故而 $( s_{2n-1} )$ 和 $( s_{2n} )$ 均是单调有界的，因此它们收敛。

最后，假设 $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} s_{2n-1}=s$ 。则极限 $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} s_{2n}= \lim_{n \rightarrow \infty} \left ( s_{2n-1}-\frac{1}{2n}\right )=s-0=s$ 。因此 $s_{n} \rightarrow s$ ，故而级数收敛。

像这样的级数被称为交替级数，因为它们在正项和负项之间交替的明显原因。我们在哪里见过发散的交替级数？收敛交替级数可以分为两种具有不同行为的类型。对于某些收敛的交替级数，由项的绝对值组成的级数也收敛。例如，级数

$\sum {(-1)^{n}(\frac{3}{4})^{n}}$ 和 $\sum {(\frac{3}{4})^{n}}$

均收敛。

对于其他收敛交替级数，由项的绝对值组成的级数是发散的。例如，级数

$\sum {\frac{(-1)^{n}}{n}}$ 收敛但 $\sum {\frac{1}{n}}$ 发散。

这引发了以下两个定义：

定义：当且仅当级数 $\sum {|a_{n}|}$ 收敛时级数 $\sum {a_{n}}$ 绝对收敛。

定义：当且仅当级数 $\sum {a_{n}}$ 收敛但 $\sum {|a_{n}|}$ 不收敛时 $\sum {a_{n}}$ 条件收敛。

条件收敛级数具有非常奇特的性质，如下一节所述。

6.8 一个十分惊奇的例子(A really surprising example)

考虑级数 $\sum {a_{n}} = 1 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{5} ...$ 。

这个级数收敛于 0 (因为部分和序列 $(s_{n})$ 趋近于 0 ) 。

现在考虑级数

$\sum {b_{n}} = 1 + \frac{1}{2} - 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} - \frac{1}{3} + ...$ 。

这个级数与 $\sum {a_{n}}$ 具有相同的项，仅仅按不同的次序排列。确保您相信没有遗漏任何一个。然后请注意，如果我们将这些项分成三个一组，我们可以按更简单的方式重写 $\sum {b_{n}}$ :

$\begin{array}{rlc} \sum {b_{n}} &= (1 + \frac{1}{2} - 1) + ( \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{2} ) + ( \frac{1}{5} + \frac{1}{6} - \frac{1}{3} ) + ... \\ \\ &= (1 - \frac{1}{2}) + ( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} ) + ( \frac{1}{5} - \frac{1}{6} ) + ... \end{array}$

结果是第 6.7 节中的交替级数，加起来为 $\ln {2}$ 。 因此，通过以不同的顺序将各项相加，我们会得到不同的总和。

这不是诡计。确实有可能以不同的顺序将该级数的项相加并得到不同的总数。如果您之前不相信无限和与有限和的表现不同，那么现在您应该相信了。

我认为这是早期分析中最奇怪、最违反直觉的结果，这使得级数成为我最喜欢教授的主题。我从中得到了乐趣，因为我喜欢惊喜，而且我特别喜欢理解这种违反直觉的结果是如何产生的。有些学生不太喜欢它，因为违反直觉的结果让他们怀疑自己的理解并变得有点紧张。我会尽力以这样一种方式来解释它，让你可以避免紧张并分享我的魅力。

首先，不要惊慌。 3 + 5 = 5 + 3 仍然是正确的，而且事实上，对于任何有限的和来讲，顺序并不重要——以任何顺序将一百万个数字相加都会得到相同的总数。这种特殊的行为只发生在无穷级数中。事实上，它只发生在条件收敛级数中。您的分析老师可能会制定一个完整的代数论证来解释原因，但可以通过理解条件收敛级数的一个重要特征来了解其要点。

在条件收敛级数中，项趋于零。它们必须这样做，因为条件收敛级数是收敛的，因此它满足第 6.4 节中的零序列验证。此外，单独的正项加起来为 +∞，单独的负项加起来为 -∞。您可以在本节的级数中检验这一点，并且您可能会在课程中证明这一点。但这意味着条件收敛级数确实令人惊奇。假设c是任意实数。然后，因为条件收敛级数的正项加起来为 +∞，所以我们可以将它们相加，保持它们的顺序，直到超过 c 。然后，因为负项加起来为 –∞，我们可以添加负项，再次保持它们的顺序，直到我们再次低于 c。然后我们可以添加正数以再次达到 c 以上，依此类推。保持项的顺序意味着我们肯定会将它们全部包含在内，因此该级数的最终重新排列包含与原始项相同的项。这些项趋于零的事实意味着这个过程产生了一个收敛于 c 的级数。这意味着我们可以重新排列一个条件收敛级数，使其加起来达到我们想要的任何数。

6.9 幂级数和函数(Power series and functions)

本章的其余部分介绍幂级数，它在数学中随处可见。在某些课程中，您将学习操纵幂级数并将其应用于实际问题；在其他课程中，包括分析，您将了解有关该理论的更多信息。在这里，我想确保您了解什么是幂级数，如何使用我们已经见过的技术来研究它们，以及它们与函数的关系。

定义：一个中心位于 a 点的幂级数是形如

$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}c_{n}(x-a)^{n} = c_{0} + c_{1}(x - a) + c_{2} (x-a)^{2} + c_{3}(x-a)^{3} + ...$

的级数，特别是，一个中心位于 0 点的幂级数是形如

$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}c_{n}x^{n} = c_{0} + c_{1}x + c_{2} x^{2} + c_{3}x^{3} + ...$

的级数。

注意形如 $c_{n}(x-a)^{n}$ 或 $c_{n}x^{n}$ 的每一项，其中 $c_{n}$ 是系数；x 或 x – a 的幂给出了幂级数的名字。另请注意，对于幂级数，我们通常从 n = 0 开始，因为这允许我们有一个常数项，这是可取的，因为幂级数就像一个无限多项式。

一个简单的幂级数是 $\sum_{n=0}^{\infty}x^{n} =1 + x + x^{2} + x^{3} + ...$ 。

这就是第一项为 1、公比为 x 的等比级数。如果您学过微积分，您可能也熟悉这些幂级数(每种情况下的系数 $c_{n}$ 是多少？)：

$1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + ...$ ----------------------------- $1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} - \frac{x^{6}}{6!}...$

以上第一个是由函数 $f(x)=e^{x}$ 给出的函数 f ：ℝ ⟶ ℝ 的 Maclaurin 级数；第二个是由函数 $g(x)=\cos {x}$ 给出的函数 g ：ℝ ⟶ ℝ 的Maclaurin 级数。

但是你真的知道级数是函数的Maclaurin级数是什么意思吗？许多学生不知道，所以我们将解决这个问题，首先澄清有关此类级数收敛的一些问题。

再次考虑级数 $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!} =1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + ...$ 。

对于每个实数 x 都会收敛(您可以使用比率验证法进行检查)，这意味着对于每个 x，它加起来都是有限数。对于 x = 2，它相加为一个数，对于 x = –5，它相加为另一个数，依此类推。这意味着我们可以将级数视为 x 的函数，通过

$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}$ 定义函数 f ：ℝ ⟶ ℝ 。

因为级数是 x 的无限多项式，所以这看起来应该很自然。

现在再次考虑级数 $\sum_{n=0}^{\infty}x^{n} =1 + x + x^{2} + x^{3} + ...$ 。

这也可以被认为是 x 的无限多项式，但它不会对 x 的所有值收敛。具体来说，仅当 x ∈ (–1, 1) 时，它的总和才为有限数。因此我们可以将其视为仅对于这些值的 x 函数，通过

$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}$ 定义函数 f ：(–1, 1)⟶ ℝ 。

定义域不同，因为函数仅针对 x ∈ (–1, 1) 定义。

这应该澄清了将幂级数视为函数的含义，但它没有解释这样的函数如何与熟悉的函数相关，例如 g : ℝ ⟶ ℝ 由 $g(x)=\cos{x}$ 给出。我们可以通过考虑部分和来解释这一点。

对于级数 $1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} - \frac{x^{6}}{6!}...$ ，前面几个(不同的)部分和分别是

$1$ ， $1 - \frac{x^{2}}{2!}$ ， $1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!}$ ， $1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} - \frac{x^{6}}{6!}$ 。

其中每一个都可以被视为 x 的函数。所以我们可以在与 g 相同的图上绘制一些图。哪个图是哪个？

请注意，具有更多项的部分和为函数提供了更好的近似值：它们与曲线的更多部分“匹配”得更好。如果您可以使用图形计算器或计算机代数系统，您可能想绘制一些 n 的更高次幂的图形。本章末尾有一些关于执行此操作的方法的说明，您现在可能想向前浏览并查看第 8.8 节中的图表，我们将在Taylor定理工作的背景下回到这个主题。

6.10 收敛半径(Radius of convergence)

我们已经确定，有些幂级数对于每个 x ∈ ℝ 收敛，有些则不然。分析中解决的一个问题是，我们如何判断幂级数对于哪个 x 收敛？为了获得对此的一些直觉，考虑一个说明性示例将有所帮助，该示例通过比率验证的扩展版来解决：

定理 (级数比率验证法)(ratio test for series)：

假设 $a_{n}>0$ ，且对于 ∀N∈ℕ ，都有随着 n ⟶ ∞ 而 $( a_{n+1} /a_{n} ) \rightarrow l$ 。则：

(1) 若 l < 1 则 $\sum {a_{n}}$ 收敛。

(2) 若 l > 1 (包括 l = ∞)则 $\sum {a_{n}}$ 发散。

应用以上验证法到级数 $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x-3)^{n}}{2n}$ ，我们得到

$\displaystyle \left | \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \right |=\left | \frac{(x-3)^{n+1}}{2(n+1)}\bullet \frac{2n}{(n-3)^{n}}\right | = \left |(x-3)\bullet \left ( \frac{n}{n+1} \right ) \right |$ ，

上式随着 n ⟶ ∞ 而趋近于 |x - 3|(想想为什么？)。因此，根据比率验证法，若 |x - 3| < 1 则级数收敛，若 |x - 3| > 1 则级数发散，即意味着当 2 < x < 4 时级数收敛，而当 x > 4 或 x < 2 时级数发散。

对于其他幂级数也会发生同样的情况——可能您的课程将涉及大量示例。按常规表述结果给出了这个定理：

定理：

对于幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}(x-a)^{n}$ ，恰有下列属性之一成立：

(1) 对于 ∀x ∈ ℝ ，幂级数收敛。

(2) 仅当 x = a 时幂级数收敛。

(3) ∃R > 0 使得当| x - a|< R时，幂级数收敛，当 | x - a| > R时，幂级数发散。

这个数 R就称为这个幂级数的收敛半径。

聪明的学生此时会问两个问题。第一个是，如果 | x - a |= R 会怎样？事实证明，在这种情况下，比率验证法并不能提供决定性信息。为了深入了解原因，请考虑一下如果 x = 2 和 x = 4 时我们刚刚查看的幂级数会发生什么。

第二个问题是，当它不涉及任何圆时，为什么称为收敛半径？答案非常令人高兴：它确实涉及圆，它们只是被隐藏了。如果我们将 x 设为复数，本节中的所有内容也适用。在复平面中，| x - a | < R 定义了一个以 a 为圆心、半径为 R 的圆——在处理实数时，我们只看它的实线片段(real-line bit)：

6.11 Taylor级数(Taylor series)

许多读者会熟悉第 6.9 节中的Maclaurin级数，并且许多读者会知道我们可以使用此公式找到关于点 a 的一般函数 f 的Taylor级数(其中，记法 $f^{(n)}(a)$ 指的是函数 f 在a处的 n阶导数,应区别于 $f^{n}(a)$ , 其指的是 f (a)自乘 n次所构成的 n 次幂)：

$\displaystyle f (x) = f (a) + f^{'}(a)( x - a) + \frac{f^{''} (a)}{2!} (x - a)^{2} + ... + \frac{f^{(n)} (a)}{n! }(x - a)^{n} + ...$ 。

为了推导该公式，假设我们可以将 f 表示为幂级数，即写成

$f(x)=\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}c_{n}(x-a)^{n} = c_{0} + c_{1}(x - a) + c_{2} (x-a)^{2} + c_{3}(x-a)^{3} + ...$ 。

我们需要找到系数，并且可以立即确定一个：设置 x = a 得到 $f(a) = c_{0}$ ，因此我们求得了 $c_{0}$ 。

我们可以通过一些明智的微分和替换找到其他系数。两边微分给出

$f^{'}(x) = c_{1} + 2c_{2}(x - a) + 3c_{3} (x-a)^{2} + 4c_{4}(x-a)^{3} + ...$ 。

设 x = a 得到 $f^{'}(x) = c_{1}$ ，因此我们求得 $c_{1}$ 。

在一阶导数的基础上再次进行微分给出

$f^{''}(x) = 2c_{2} + 6c_{3} (x - a) + 12c_{4}(x-a)^{2} + 20c_{5}(x-a)^{3} + ...$ 。

同样设 x = a 得到 $f^{''}(x) = 2c_{2}$ ，因此我们求得 $c_{2}=\frac{1}{2}f^{''}(a)$ 。

明白了吗？值得再求一个：

$f^{(3)}(x) = 6c_{3}+ 24c_{4}(x - a) + 60c_{5} (x-a)^{2} + 120c_{6}(x-a)^{3} + ...$ 。

设 x = a 得到 $f^{(3)}(a) = 6c_{3}$ ，因此 $c_{3}=\frac{1}{6}f^{(3)}(a)$ 。

我没有将数字相乘，因为如果不这样做的话，结构会更容易看出。再尝试几个步骤，您会发现这会导致

$\displaystyle c_{n} = \frac{f^{(n)}(a)}{n(n-1)...3.2} = \frac{f^{(n)}(a) }{n!}$ ，

意味着整个级数一定是 Taylor 级数

$\displaystyle f (x) = f (a) + f^{'}(a)( x - a) + \frac{f^{''} (a)}{2!} (x - a)^{2} + ... + \frac{f^{(n)} (a)}{n! }(x - a)^{n} + ...$ 。

现在，这是一个很好的推导，做过大量微积分的读者可能以前见过它。但在分析中，我们所做的不仅仅是微分和代数，我们还考虑论证有效的条件。这个推导表明，如果一个函数等于关于点 a 的幂级数，那么该幂级数一定是Taylor级数。但这并没有告诉我们“如果”在什么条件下适用。我们已经研究了几种情况(您可能知道更多)，其中完整的Taylor级数完全等于所有 x 值的函数。但我们也研究了一个并非如此的函数。如果您对 f (x) = 1/(1 – x) 给出的关于点 a = 0 的函数进行上述微分和代入过程，您将得到结果

$\displaystyle \frac{1}{1-x} = 1 + x + x^{2} + x^{3} + ...$ 。

但我们知道这个等式仅适用于 x ∈ (–1, 1)。对于 x 的许多其他值，函数 f (x) = 1/(1 – x) 也可以毫无问题地定义，但它不等于这些值的幂级数。除了 x = a 之外，还存在不等于其Taylor级数的函数。这些超出了本书的范围，但是这些说明应该足以让你意识到这里有很多东西需要学习。

6.12 前瞻(Looking ahead)

与前一章一样，前面的部分只是您将在分析中学习的材料的一个尝试。涵盖级数的课程将涉及关于“标准”级数如

$\sum {x^{n}}$ 和 $\sum {\frac{1}{n^{\alpha}}}$

的收敛或其他方面的完全正式的工作，以及本章提到的许多结果的证明。例如绝对收敛性和条件收敛性的比较验证和结果。您还可以研究积分验证，它提供了图表下的级数和面积之间的联系。这里用一张显示具体情况 f (x) = 1/x 的附图来说明这一点——验证这一点并思考为什么它是正确的(方框的面积是多少？)将为所使用的思想提供一些将在第 9 章中研究可积性的早期经验。

定理(积分验证)：

假设 f ：[1 , ∞] ⟶ ℝ 为正且递降。

则级数 $\sum_{n=0}^{\infty}f(n)$ 和序列 $(\int_{1}^{n}f(x)dx)$ 要么同收敛，要么同时趋近于无穷大。

当这些规则和验证与有关几个标准级数的知识相结合时，可以用于建立更多标准级数的收敛或其他方面。您将获得大量实践来确定应用哪些验证来建立一般级数的收敛性并求得幂级数的收敛半径。

关于级数的思想也用于更高级和更具应用的课程。例如，Fourier分析发展了使用无穷级数逼近函数的思想，特别是结合余弦和正弦函数来逼近其他周期函数。复分析将许多结果推广到级数和幂级数，其中项可以是复数，并发展出一些联系级数和函数的深刻结果。本书坚持限定在实数范围，但我们将在第 8 章中回到该联系。同时，这里是关于如何生成余弦函数的多项式逼近的承诺描述(使用 geogebra，您可以从 <http ://www.geogebra.org>下载)。

(1) 在底部输入线上，键入 f(x) = cos(x) 并回车。

(2) 单击顶部右数第二个按钮添加滑块。单击屏幕上您想要放置的位置。调用数“n”并使其从 0 到 100 以 1 为增量运行，然后单击“应用”。

(3) 在底行中，键入 Taylorpolynomial[f ，0，n] 并按回车键。这将生成关于点 a = 0 的 f(x) = cos(x) 幂级数近似的第 n 次部分和的图。

(4) 单击左侧顶部按钮以获取指针，并使用它通过滑块更改 n 。这很有趣，所以不要忘记想想你在看什么。

(5) 如果您想缩小，请单击右上角的按钮找到该选项。单击绘图板上的放大镜光标即可使用它。

(6) 当然，您可以调整所有输入来探索其他函数、点和部分和。