INT202 例题

算法复杂度

O(n)：表示算法的渐进上界。如果一个算法的运行时间是O(n)，那么它的运行时间最多与输入规模n成正比。换句话说，当输入规模n增加时，算法的运行时间不会超过某个常数倍的n。比如，如果一个算法的时间复杂度是O(n)，那么它的运行时间可能是3n，5n，100n等。
Ω(n)：表示算法的渐进下界。如果一个算法的运行时间是Ω(n)，那么它的运行时间至少与输入规模n成正比。换句话说，当输入规模n增加时，算法的运行时间不会比某个常数倍的n小。比如，如果一个算法的时间复杂度是Ω(n)，那么它的运行时间可能是n，2n，100n等。
Θ(n)：表示算法的紧密界限。如果一个算法的运行时间是Θ(n)，那么它的运行时间与输入规模n成正比，并且上界和下界是相同的。换句话说，当输入规模n增加时，算法的运行时间将以线性方式增长。比如，如果一个算法的时间复杂度是Θ(n)，那么它的运行时间可能是3n，n，100n等，但是不会超过某个常数倍的n。

单纯判断算式

e.g1

e.g2

e.g3

e.g4

C, 应该是O(n^2)

e.g5

一般的算法复杂度

e.g1

*

e.g2*

是这样的，用n^2进行遍历，然后n进行计算，乘起来就是n^3

e.g3

e.g4*

注意第二题,log(a)+log(b) = log(ab) 我反正忘了哈哈哈哈哈

e.g5 summation表达*

递归

e.g1*

后缀运算

主要考察的是栈

注意，减号的话是栈[-2]- 栈[-1]

e.g1

(1)

(2)

(3)

e.g2

e.g3

二叉树

一个好用的数据可视化网站Data Structure Visualization

节点深度 O(n)

树深度O(n)

查找O(n)(二分法）

遍历 O(n)

pre order 前序：中左右

in order中序：左中右

post order 后序：左右中

e.g1根据遍历绘制树

Binary search tree 二叉搜索树

二叉搜索树是一种特殊的二叉树，具有以下性质：

对于每个节点 NNN：
所有左子树节点的值都小于或等于节点 N的值
所有右子树节点的值都大于节点 N的值

查找 O(logn)-O(n)

e.g1 节点能构成多少个二叉树

用这个卡塔兰公式得

. - 力扣（LeetCode）

0/3 =5

1/2 =2

2/1 = 2

3/0 = 5

5+2+2+5=14

AVL tree 平衡二叉树

Height-Balance属性: 对于任何节点n, n的左右子树的高度最多相差1

All operations (search, insertion, and removal) on an AVL tree with n elements can be performed in O(log n)time

e.g1

是的，左右节点响相差不超过1

添加节点O(log n)

是在树枝的叶节点添加，再转上去

集合进阶-11数据结构（平衡二叉树旋转机制）_哔哩哔哩_bilibili

右边多了左旋，左边多了右旋

简单情况：

以左旋为例：

1）以不平衡点节点作为支点

2）把支点左旋降级，变成左子节点，晋升原来右子节点

复杂情况：

1）以不平衡点作为支点

2）将根节点右侧往左拉

3）原先的右子节点变成新的父节点，并把多余的左子节点出让，给已经降级的根节点当右子节点

四种情况：

左-左（LL）失衡：右旋。
右-右（RR）失衡：左旋。
左-右（LR）失衡：先左旋后右旋。
右-左（RL）失衡：先右旋后左旋。

e.g1 插入节点

插入节点后检测平衡，删除节点后面的节点顶替后检查平衡

e.g3 构建AVL

(2，4)树

has height O(logn)

查找 O(logn)

(2,4)树(也称为2-4树或2-3-4树)是一种多路搜索树，具有以下属性:

节点大小属性:每个内部节点最多有四个子节点

深度属性:所有外部节点具有相同的深度

根据子节点的数量，(2,4)树的内部节点被称为2节点、3节点或4节点

注意，相同的元素产生的（2，4）树可能会不一样，取决于节点插入的顺序

e.g1 树高O（logn）

增O(logn)

e.g1

添加节点17

删O(logn)

e.g2增/删*

Heap 堆

【从堆的定义到优先队列、堆排序】 10分钟看懂必考的数据结构——堆_哔哩哔哩_bilibili

堆是一棵二叉树，在其内部节点上存储键，并满足以下属性:对于每个内部节点v，除了根节点key(v) ≥key(parent(v))

•节点中的键。
•父键不大于子键。
数组表示。
•索引从1开始。
•按等级顺序获取节点。

For any given node at position i:

•   Its Left Child is at [2*i] if available.
•   Its Right Child is at [2*i+1] if available.
•   Its Parent Node is at [⌊i/2⌋] if available.

因此，堆可以用数组表示，因为堆的下标和内容是一一对应的

注意，同[2,4]树一样，同一组数可能形成不同的堆

完全二叉树？

没有左子树不能有右子树
上一层没有铺满，不能有下一层

优先队列

堆是优先级队列的一种实现，对于插入和删除都是有效的。

新的元素插入队列，弹出最小/最大元素O(logn)

可以进行排序，将队列的元素依次弹出

max heap 大根堆，min heap 小根堆

e.g1

e.g2

上/下滤 O(logn)

Up-heap bubbling 上滤

上滤用于插入新元素并维护堆的性质，将新元素逐级向上移动以确保其在正确的位置。

Down-heap bubbling 下滤

下滤用于删除堆顶元素或修改堆顶元素后，重新调整堆的结构，将堆顶元素逐级向下移动以确保其在正确的位置。

注意在堆中，通常对于节点的下沉操作是有方向性的。对于最大堆（Max Heap），节点的下沉操作是沿着较大的子节点方向进行的，类似地，对于最小堆（Min Heap），节点的下沉操作是沿着较小的子节点方向进行的。

建堆

1）从叶节点插--上滤O(nlogn)

2) 先把数组中的数依次插入堆，然后再对每个父节点进行下率O(n)

（个人感觉考试的时候还是写上滤会清楚一些）

e.g1

堆排序O(nlogn)

堆顶元素弹出后用最后一个元素堆叠到堆顶，然后下滤

大根堆下滤后变成小根堆，排序完是正序

小根堆下滤后变成大根堆，排序完是倒序

Lec8 分治法 Divide and conquer

分治法_哔哩哔哩_bilibili

将一个规模为n的问题u分解为k个规模为较小的子问题，子问题相互独立且与原问题相同，递归地求解这些子问题，然后利用子问题的解合并构造出原问题的解

设计：分解（Divide）;递归求解(Conquer);合并(Combine)

分析：

1.建立递归方程T(n) = aT(n/b)+f(n)

2.求解递归方程T(n)

Sort

MergeSort

QuickSort

Master Method 主定理

e.g1 case1

直接套公式

我写的

标答：

e.g2 case2

直接套公式

我写的

标答

e.g3 case3

标答

e.g4 注意lgn有坑！*****

标答

e.g5 同e.g4

e.g6***不符合Master method

Matrix Multiplication 矩阵乘法？？？（暂时搁）

Counting inversion？？？（暂时搁）

Lec9 最优化问题

Knapsack 背包问题

fractional 背包

e.g1

01背包

0/1背包问题-动态规划 Knapsack_problem Dynamic Programming_哔哩哔哩_bilibili

https://alchemist-al.com/algorithms/knapsack-problem

e.g1

e.g2

我做的，我习惯先按照重量排序一下再算

标答

Interval Scheduling 区间调度（暂时搁置）

动态规划——区间DP_哔哩哔哩_bilibili

大题***

Lec10 Graph

A graph𝐺=𝑉,𝐸consists of a set of vertices (nodes) V and a set of edges E, where each 𝑒∈𝐸 is specified by a pair of vertices 𝑢,𝑣∈𝑉

一些术语

End vertices:一条边的顶点

Edges incident:一个顶点相邻的边

Adjacent vertices：相邻的顶点

Degree：是指一个顶点连接的边的数量

Path：交替的顶点和边的序列，从顶点开始，以顶点结尾，每条边的前面和后面都有它的sendpoints

Simple Path:所有顶点和边都不相同的路径

subgraph:子图

acyclic graph: 没有 cycle的图。树是相互连接的acyclic graph

Directed acyclic graphs 有向无环图称为dag。不可能通过遍历这些边回到同一个节点。

最小生成树：用于找到一个图中连接所有顶点的最小权重的树。常用的算法包括Prim算法和Kruskal算法。这些算法主要关注于连接所有顶点，而不是特定的起点和终点。
最短路径：用于找到图中从一个顶点到另一个顶点的最短路径。常用的算法包括Dijkstra算法和Bellman-Ford算法。这些算法主要关注于找到从一个指定起点到一个指定终点的最短路径。

Dijkstra

记录总路径，当然是要从最短的来s

我自己做的

标答

Bellman-Ford暂时没有例题

Kruskal

从最短的边开始选逐渐选到大边

我自己做的

标答

Prim’s algorithm 找最小生成树

1.选取权值最小边的其中一个顶点作为起始点。
2.找到离当前顶点权值最小的边，并记录该顶点为已选择。
3.重复第二步，直到找到所有顶点，就找到了图的最小生成树。

e.g1

自己写的

标答

e.g2

e.g3

BFS 定理证明

要是考试考这种证明我直接表演一个暴毙！

sol

Lec11 Flow 流

增广路径（Augmenting Path）：
从起点s到t的简单路径，其中不能有回路
剩余网络（Residual Network）：
- 剩余网络是在一个流网络中，根据当前流量情况所生成的一个新的网络。这个网络中的边表示原网络中的边上还能承载的额外流量。
- 对于每条边，我们可以通过减去流量（已经通过的流量）来得到该边的剩余容量。如果一条边的剩余容量大于 0，则在剩余网络中存在一条对应的边，表示从该边可以继续传送流量。