函数之对决！！：数学函数 VS C++函数

前言

有人问过我，C++里的函数是否跟我们数学里的函数一样？于是，我就写下了这篇文章。

一、数学函数

1、一次函数

一次函数，也称为线性函数，是数学中函数的一种，通常表示为y=kx+b（其中k和b是常数，且k≠0），x是自变量，y是因变量。

一次函数的图像是一条直线，k决定了直线的斜率，即倾斜程度，b是直线与y轴的截距。当b=0时，一次函数简化为y=kx，此时称为正比例函数。一次函数在数学和现实生活中有广泛的应用，它可以描述许多随时间或其他因素均匀变化的现象。

比如下图,是一个一次函数。

2、二次函数

二次函数（quadratic function）的基本表示形式为y=ax²+bx+c（a≠0）。二次函数最高次必须为二次，二次函数的图像是一条对称轴与y轴平行或重合于y轴的抛物线。

二次函数表达式为y=ax²+bx+c（且a≠0），它的定义是一个二次多项式（或单项式）。

如果令y值等于零，则可得一个二次函数。该方程的解称为方程的根或函数的零点。

比如下图：

二次函数具有对称性、单调性。

$y=ax^{2}$

a>0，开口向上；a<0，开口向下。a的绝对值越大，抛物线越小。

$y=a(x-h)^{2},(a\neq 0)$

a>0,x>h时，y随着x的值增大而增大；a<0,x>h时，y随着x的增大而减小。

3、指数函数

指数函数是一类重要的数学函数，其形式为 f(x) = a^x，其中 a 是底数，x 是指数。指数函数定义在实数范围内，底数 a 必须是正数且不等于 1。

当底数 a 大于 1 时（例如 a = 2, 3, e 等），函数 f(x) = a^x 随着 x 的增大而增大，即函数图像在实数轴上是上升的。

当底数 a 在 0 和 1 之间时（例如 a = 1/2, 1/3 等），函数 f(x) = a^x 随着 x 的增大而减小，即函数图像在实数轴上是下降的。

特别地，当底数 a 等于自然对数的底数 e（约等于 2.71828）时，该函数称为自然指数函数，通常表示为 exp(x) 或 e^x。

指数函数在数学、物理、工程、经济等领域有广泛的应用。例如，在复利计算、细菌生长、放射性衰变等情境中，指数函数都是重要的数学模型。

指数函数如下

4、对数函数

对数函数是一类重要的数学函数，它描述了指数函数的反操作。对数函数以幂的形式定义，即如果 (a^x = N)（其中 (a) 是底数，(x) 是指数，(N) 是真数），那么对数函数表示为 $x = \log_a N$ 。

对数函数的一般形式为 $\log_a x$ ，其中 (a) 是底数，(x) 是真数。对数函数定义在 (x > 0) 的范围内，底数 (a) 必须是正数且 $a \neq 1$ 。对数函数和指数函数是互逆的，即 $\log_a (a^x) = x$ 和 $a^{\log_a x} = x$ 。

对数函数有一些重要的性质，例如：

换底公式： $\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_cb}$ ，其中 (c) 是另一个正数且 $c \neq 1$ 。
对数的乘积转化为加法： $\log_a(MN) = \log_aM + \log_aN$ 。
对数的商转化为减法： $\log_a\left(\frac{M}{N}\right) = \log_aM - \log_aN$ 。
对数的幂转化为乘法： $\log_a(M^n) = n\log_aM$ 。

对数函数在数学、科学、工程等领域有广泛的应用。例如，在物理学中，对数函数用于描述声音的响度级别（分贝）；在经济学和金融学中，对数函数用于复利计算和资产增长率的描述；在生物学和生态学中，对数函数用于描述种群增长等。

对数函数有两种特殊情况：

自然对数：当底数 (a) 为自然常数 (e)（约等于 2.71828）时，对数函数称为自然对数，记作 $\ln x$ 或 $\log_e x$ 。
常用对数：在科学和工程中，以 10 为底的对数称为常用对数，记作 $\log x$ 或 $\log x$ 。

对数函数和对数表在历史上曾被广泛使用，尤其是在没有电子计算器的时候，人们使用对数表来执行乘法和除法运算。现在，对数函数在计算机科学和数学软件中也扮演着重要角色。

二、编程（C++）函数

1、电脑自带函数

我在《用C++求绝对值的几种方法》这一篇文章中就有提到过，如swap(x,y)、min(x,y)、max(x,y) ......

这些我们是可以直接使用的。它给我们带来了巨大的方便。

比如说swap()函数吧，按照原理，我们交换两个数要通过第三方变量进行交换。

int a = 2 , b = 3;
int temp = a;
a = b;
b = temp;

那么，是用swap()就比较方便了

int a = 2 , b = 3;
swap (a , b);

有时候也可以套用函数，如：我们要求出三个数的最大值。那使用max()是最好不过了。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main(){
	int a, b, c;
	cin >> a >> b >> c;
	cout<< max(a, max(b, c));
    return 0;
}

2、非电脑自带函数

这些函数需要我们自己写，有些函数可直接使用。以下是函数的基本框架。

在C++中，函数的定义是指创建一个函数的具体实现，包括函数名、返回类型、参数列表以及函数体。函数的定义必须在一个源文件中，而不能在声明中进行。

函数定义的一般形式如下：

返回类型 函数名(参数列表) {
    // 函数体
    // 执行的代码
    return 返回值;
}

（一）有返回值函数

有返回值的函数是将某个数进行一些处理所得到的结果。

下面是一个简单的C++函数定义示例：

// 函数定义：计算两个整数的和
int add(int a, int b) {
    return a + b;
}

在这个例子中，add 是函数名，它接受两个 int 类型的参数，返回它们的和。函数的定义以关键字 int 开始，后面是函数名 add 和参数列表 (int a, int b)，接着是函数体，最后是返回语句 return a + b;。

递推（与函数息息相关）

在C++编程中，递推（Recursion）是一种解决问题的方法，它涉及到函数直接或间接地调用自身来解决较小规模的子问题，然后将这些子问题的解组合起来以解决原问题。递推通常用于解决可以分解为相似子问题的问题，这些子问题的解决方案是构建原问题解决方案的基础。

递推与迭代不同，迭代使用循环来逐步逼近解，而递推则是通过函数调用栈来逐步求解。递推通常更加简洁和易于理解，但也可能导致更高的计算复杂性和内存消耗，因为它需要维护函数调用栈。

递推的一个关键点是必须有一个或多个基本情况（Base Cases），这些情况是递归可以直接解决而不需要再次调用自身的。当递归调用到达这些基本情况时，它会停止并返回结果，然后这个结果会被用来构建更大问题的解。

下面是一个简单的C++递推函数示例，用于计算阶乘：

#include <iostream>
using namespace std;
// 递推函数用于计算阶乘
int factorial(int n) {
    // 基本情况
    if (n == 0 || n == 1) {
        return 1;
    }
    // 递推情况
    else {
        return n * factorial(n - 1);
    }
}

int main() {
    int number;
    cin >> number;
    cout << "此数的阶乘是：" << factorial(number) << endl;
    return 0;
}

factorial 函数是一个递推函数，它接受一个整数 n 并返回 n 的阶乘。当 n 是0或1时，函数返回1，这是基本情况。否则，它递归地调用自身来计算 (n-1) 的阶乘，然后将结果乘以 n。

需要注意的是，对于非常大的 n，这个递推函数可能会导致栈溢出，因为函数调用栈可能变得非常深。在实际应用中，递推函数需要谨慎使用，特别是当涉及到大量递归调用时。

（二）无返回值函数

无返回值的函数，是指那些不返回任何值的函数。这种函数通常用于执行某种操作，例如修改全局变量、打印输出、调用其他函数等，而不是计算并返回一个值。

无返回值函数的返回类型被指定为 void。

void 关键字表示函数不返回任何值。

无返回值函数的定义形式如下：

void 函数名(参数列表) {
    // 函数体
    // 执行的代码
}

下面是一个无返回值函数的例子，该函数用于打印一条消息到控制台：

#include <iostream>
using namespace std;
// 无返回值函数：打印消息到控制台
void printMessage() {
    cout << "Hello, world!" << endl;
}

int main() {
    printMessage(); // 调用无返回值函数
    return 0;
}

在这个例子中，printMessage 函数不接受任何参数（参数列表为空），并且没有返回任何值（返回类型为 void）。当调用 printMessage() 时，它会执行函数体内的代码，将字符串 "Hello, world!" 打印到控制台。

无返回值函数在C++编程中非常常见，它们用于执行各种任务，如设置配置、执行初始化操作、处理用户输入、更新数据结构等。

三、数学函数与C++函数的异同点

共同点：

目的：二者都是为了根据给定的输入（或称为参数）来计算并返回一个输出（或称为返回值）。
关系映射：数学函数和C++函数都可以视为一种从输入到输出的映射关系。

差异点：

严格性：数学函数通常更为严格。在数学上，同一个输入必须总是产生相同的输出，即函数是确定的。相比之下，C++函数允许在相同的输入下产生不同的输出，尤其是当函数包含随机性或依赖于外部状态时。
应用领域：数学函数通常用于描述自然规律、归纳总结和做出预测。而C++函数主要用于编程，用于处理数据、执行计算任务和组织代码逻辑。
表示方法：数学函数通常以数学公式或表达式表示，而C++函数则是以程序代码的形式实现。
性质：数学函数可能具有特定的性质，如有界性、单调性、奇偶性和周期性。而C++函数则可能具有其他特性，如内联函数、递归函数等。
错误处理：在数学中，函数通常不处理错误或异常情况。然而，在C++中，函数可能需要处理各种错误条件，如无效输入或资源不足等。

综上所述，数学函数和C++函数在目的和关系映射方面有共同点，但在严格性、应用领域、表示方法、性质和错误处理等方面存在差异。