Day 3：枚举算法（暴力破解）
枚举算法（Brute Force）是一种 暴力搜索 方法，它通过 遍历所有可能的情况 来找到正确答案。虽然它的 时间复杂度较高，但在 数据范围较小 时，它是一种简单且有效的解法。
本日的学习目标：
- 掌握 暴力枚举 的方法
- 优化枚举范围，提高效率
- 练习 水仙花数、百钱买百鸡 等经典问题
�� 一、什么是枚举算法？
枚举算法（Brute Force）即 穷举所有可能的情况，然后筛选出符合条件的解。
�� 适用场景
- 数据规模较小（n ≤ 10^4）
- 无更优算法
- 暴力法可以解决问题
�� 二、枚举基本模板
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < m; j++) {
if (满足条件) {
处理当前解;
}
}
}
�� 如何优化枚举？
- 缩小遍历范围，减少无效计算
- 提前终止循环，避免不必要的计算
- 利用数学特性，减少不必要的枚举
�� 三、经典练习题
�� 练习 1：水仙花数
�� 题目描述
- 一个 3 位数，如果 每个数字的立方和等于它本身，就称它为 水仙花数。
- 例如：153 = 1^3 + 5^3 + 3^3，所以 153 是水仙花数。
- 求出所有 100~999 之间的水仙花数。
�� 解法分析
- 100 ≤ num ≤ 999
- 分解成 百位、十位、个位 后 求立方和
- 检查是否等于 num 本身
✅ 代码实现
public class NarcissisticNumber {
public static void main(String[] args) {
for (int num = 100; num <= 999; num++) {
int a = num / 100; // 百位
int b = (num / 10) % 10; // 十位
int c = num % 10; // 个位
if (num == (a * a * a + b * b * b + c * c * c)) {
System.out.println(num);
}
}
}
}
✅ 优化点
- 减少重复计算，a, b, c 直接计算，而不是使用 String 转换
- 时间复杂度 O(900)，可接受
�� 练习 2：百钱买百鸡问题
�� 题目描述
- 公鸡 5 钱一只，母鸡 3 钱一只，小鸡 1 钱买 3 只。
- 用 100 钱买 100 只鸡，问所有的购买方案。
�� 解法分析
- 设：
- x 为公鸡数量（0 ≤ x ≤ 20，因为 5x ≤ 100）
- y 为母鸡数量（0 ≤ y ≤ 33，因为 3y ≤ 100）
- z 为小鸡数量（z = 100 - x - y）
- 方程 5x+3y+z/3=1005x + 3y + z / 3 = 100
- 小鸡数量必须是 3 的倍数（z % 3 == 0）
✅ 代码实现
public class HundredChickens {
public static void main(String[] args) {
for (int x = 0; x <= 20; x++) { // 公鸡最多 20 只
for (int y = 0; y <= 33; y++) { // 母鸡最多 33 只
int z = 100 - x - y; // 计算小鸡数量
if (z % 3 == 0 && (5 * x + 3 * y + z / 3 == 100)) {
System.out.println("公鸡: " + x + ", 母鸡: " + y + ", 小鸡: " + z);
}
}
}
}
}
✅ 优化点
- 缩小 x 和 y 的范围
- z 必须是 3 的倍数，减少不必要的计算
�� 四、枚举优化技巧
�� 优化 1：缩小范围
- 直接枚举所有情况会超时
- 分析问题，减少不必要的枚举
- 示例：百钱买百鸡问题
- x 最大值是 100/5=20
- y 最大值是 100/3=33
- z % 3 == 0
�� 优化 2：提前终止
- 如二分查找，若找到了目标值，直接退出循环
�� 优化 3：利用数学特性
- 例如 水仙花数，如果 num < 100，就不需要检查 num == a^3 + b^3 + c^3，直接跳过。
�� 五、蓝桥杯枚举常考点
| 考点 | 典型题目 | 优化技巧 |
| 水仙花数 | 153, 370, 371, 407 | 直接计算 a^3 + b^3 + c^3 |
| 百钱买百鸡 | 5x + 3y + z/3 = 100 | 缩小 x,y 的范围 |
| 整数拆分 | 100 拆分为若干整数之和 | 动态规划 |
| 数字统计 | 统计 1-1000 里 1 出现的次数 | 数学推导优化 |
�� 六、易错点总结
❌ 误解枚举范围
for (int x = 0; x < 100; x++) { // ❌ 范围过大，浪费计算
✅ 优化
for (int x = 0; x <= 20; x++) { // ✅ 设定合理范围
❌ 忘记提前终止
if (找到目标) {
continue; // ❌ 没有提前终止，导致无意义计算
}
✅ 优化
if (找到目标) {
break; // ✅ 立即终止循环
}
❌ 计算不必要的情况
for (int x = 0; x <= 100; x++) {
for (int y = 0; y <= 100; y++) {
for (int z = 0; z <= 100; z++) { // ❌ 遍历过大
✅ 优化
for (int x = 0; x <= 20; x++) {
for (int y = 0; y <= 33; y++) {
int z = 100 - x - y; // ✅ 直接计算 z
七、枚举算法框架模板
public class EnumerationTemplate {
public static void main(String[] args) {
// 1. 确定枚举范围
for (int var1 = min1; var1 <= max1; var1++) {
// 剪枝：跳过不可能的情况
if (condition1) continue;
for (int var2 = min2; var2 <= max2; var2++) {
// 剪枝：进一步优化
if (condition2) break;
// 2. 计算候选解
int candidate = calculate(var1, var2);
// 3. 验证条件
if (isValid(candidate)) {
System.out.println(candidate);
}
}
}
}
private static int calculate(int a, int b) {
return a + b; // 根据问题定义计算
}
private static boolean isValid(int value) {
return value == target; // 根据问题定义验证
}
}
八、知识点总结
- 枚举算法的基本思想：将问题的所有可能解一一列举出来，然后逐一检查是否满足条件。
- 枚举范围的确定：根据问题的条件和约束，确定变量的取值范围，避免不必要的枚举，提高算法效率。
- 变量关系的利用：分析变量之间的关系，利用这些关系减少枚举的变量数量，简化问题。
蓝桥杯常考点
- 枚举算法的应用：在蓝桥杯的题目中，经常会出现一些需要使用枚举算法解决的问题，如寻找满足特定条件的数字组合、排列等。
- 优化枚举范围：考查选手是否能够分析问题的条件，找出变量的合理取值范围，对枚举算法进行优化，避免超时。
- 边界条件处理：在枚举过程中，需要注意边界条件的处理，确保枚举的范围正确，不遗漏可能的解。
蓝桥杯易错点
- 枚举范围过大：没有对问题进行深入分析，直接枚举所有可能的情况，导致算法效率低下，在规定时间内无法得出结果。
- 边界条件错误：在确定枚举范围时，边界条件设置错误，可能会遗漏某些解或者枚举到无效的情况。
- 逻辑错误：在检查解是否满足条件时，逻辑判断出现错误，导致结果不准确。例如，在百钱买百鸡问题中，忘记检查小鸡数量是否为 3的倍数。
