唯一分解定理

任意一个大于 1 的正整数都能被唯一地分解为质因数的乘积。

例如 8 = 2*2*2， 171 = 3*3*19， 30 = 2*3*5， 19 = 19。注意1既不是质数也不是合数。

为什么判断一个数是否是质数只要判断2-√n中有没有因数

24可以分解成 4*6，或者3*8，这两对因数中都是一个小于24的平方根，另一个大于，不可能两个数都小或者两个数都大，因此如果2-√n中找不到一个 n 的约数，那么在剩下的一半里也必定找不出两个数相乘等于 n，一定会是大于 n 的。

欧拉函数

解决的是1到 n 中有多少个数与 n 互质，函数长这样，看不懂先别急。

这一部分解释一下这个式子是怎么来的，可以跳过：

我们已知30 = 2*3*5，那么1-30中有多少个数与30互质就可以通过减去不和30互质的数得到，既然2、 3、 5不是，那他们的倍数也就不是，所以要减去 30/2、 30/3、 30/5，但是减的时候多减掉了2和3的公倍数、3和5的公倍数、2和5的公倍数，所以要再加上，就相当于有三个圆，两两相交，中间有一部分是三个圆重叠，所以还要再减去30/（2*3*5），最后整理一下就是 上面的式子了。

 下面我们来看个例子：

8可以分解成2*2*2，1-8中与8互质的数的个数应该,8*（1-1/2） = 4，恰好是1、 3 、 5 、7这四个数，同样地 6 也是如此。完整代码在后面。

 

一个正整数可以分解成素因数的乘积的形式，所以我们找到一个素因数之后要一直除这个数，例如12=2*2*3，我们发现 2 是12  的因数之后要一直除2，直到剩下3，才能找到下一个素因数，才可以根据公式乘下一个(1-1/p)。

另外还有一种情况比较特殊，即这个数本身就是一个素数，例如19只能分解成19，所以在2到平方根这个范围内没有任何素因数，for循环结束后还剩n，最后的结果就是n*(1-1/n)。其他情况下最后n应该除尽了，变成1.

#include <stdio.h>  
int main() 
{  
	int n=0;  
	scanf("%d", &n);  
	int res = n;  // 初始化结果为 n  
	for (int i = 2; i * i <= n; i++) 
	{  
		if (n % i == 0) 
		{    
			res /=  i * (i - 1);  
			while (n % i == 0) // 将 n 中的该素因子全部除尽  
			{  
				n /= i;  
			}  
		}  
	}  
	if (n > 1) 
	{    
		res = res / n * (n - 1);  
	}  
	printf("%d\n", res);  
	return 0;  

}

 学到这个是因为暴力判断有点费时间。