排序算法

排序算法用于对一组数据按照特定顺序进行排列。排序算法有着广泛的应用，因为有序数据通常能够被更高效地查找、分析和处理。

排序算法中的数据类型可以是整数、浮点数、字符或字符串等。排序的判断规则可根据需求设定，如数字大小、字符 ASCII 码顺序或自定义规则。

评价维度

运行效率： 期望排序算法的时间复杂度尽量低，且总体操作数量较少（时间复杂度中的常数项变小）。对于大数据量的情况，运行效率显得尤为重要。

就地性： 顾名思义，原地排序通过在原数组上直接操作实现排序，无须借助额外的辅助数组，从而节省内存。通常情况下，原地排序的数据搬运操作较少，运行速度也更快。

稳定性： 稳定排序在完成排序后，相等元素在数组中的相对顺序不发生改变。
稳定排序是多级排序场景的必要条件。

自适应性： 自适应排序的时间复杂度会受输入数据的影响，即最佳时间复杂度、最差时间复杂度、平均时间复杂度并不完全相等。
自适应性需要根据具体情况来评估。如果最差时间复杂度差于平均时间复杂度，说明排序算法在某些数据下性能可能劣化，因此被视为负面属性；而如果最佳时间复杂度优于平均时间复杂度，则被视为正面属性。

是否基于比较： 基于比较的排序依赖比较运算符（<、=、>）来判断元素的相对顺序，从而排序整个数
组，理论最优时间复杂度为 𝑂(𝑛 log 𝑛) 。而非比较排序不使用比较运算符，时间复杂度可达 𝑂(𝑛) ，但其通用性相对较差。

理想排序算法

运行快、原地、稳定、正向自适应、通用性好。显然，迄今为止尚未发现兼具以上所有特性的排序算法。因此，在选择排序算法时，需要根据具体的数据特点和问题需求来决定。

选择排序

选择排序（selection sort）的工作原理：开启一个循环，每轮从未排序区间选择最小的元素，将其放到已排序区间的末尾。

设数组的长度为 𝑛 ，选择排序的算法流程如图：
1.初始状态下，所有元素未排序，即未排序（索引）区间为 [0, 𝑛 − 1] 。
2.选取区间 [0, 𝑛 − 1] 中的最小元素，将其与索引 0 处的元素交换。完成后，数组前 1 个元素已排序。
3.选取区间 [1, 𝑛 − 1] 中的最小元素，将其与索引 1 处的元素交换。完成后，数组前 2 个元素已排序。
4. 以此类推。经过 𝑛 − 1 轮选择与交换后，数组前 𝑛 − 1 个元素已排序。
5. 仅剩的一个元素必定是最大元素，无须排序，因此数组排序完成

/* 选择排序 */
void selectionSort(vector<int> &nums) {
    int n = nums.size();
    // 外循环：未排序区间为 [i, n-1]
    for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
        // 内循环：找到未排序区间内的最小元素
        int k = i;
        for (int j = i + 1; j < n; j++) {
            if (nums[j] < nums[k])
                k = j; // 记录最小元素的索引
        }
        // 将该最小元素与未排序区间的首个元素交换
        swap(nums[i], nums[k]);
    }
}

时间复杂度为 𝑂(𝑛^2)、非自适应排序：外循环共 𝑛 − 1 轮，第一轮的未排序区间长度为 𝑛 ，最后一轮的未排序区间长度为 2 ，即各轮外循环分别包含 𝑛、𝑛 − 1、…、3、2 轮内循环，求和为 ((𝑛−1)(𝑛+2))/2 。
空间复杂度为 𝑂(1)、原地排序：指针 𝑖 和 𝑗 使用常数大小的额外空间。
非稳定排序：如图所示，元素 nums[i] 有可能被交换至与其相等的元素的右边，导致两者的相对顺序发生改变。

冒泡排序

冒泡排序（bubble sort）通过连续地比较与交换相邻元素实现排序。这个过程就像气泡从底部升到顶部一样，因此得名冒泡排序。

冒泡过程可以利用元素交换操作来模拟：从数组最左端开始向右遍历，依次比较相邻元素大小，如果“左元素 > 右元素”就交换二者。遍历完成后，最大的元素会被移动到数组的最右端。

算法流程：
1.首先，对 𝑛 个元素执行“冒泡”，将数组的最大元素交换至正确位置；
2.接下来，对剩余 𝑛 − 1 个元素执行“冒泡”，将第二大元素交换至正确位置；
3.以此类推，经过 𝑛 − 1 轮“冒泡”后，前 𝑛 − 1 大的元素都被交换至正确位置；
4.仅剩的一个元素必定是最小元素，无须排序，因此数组排序完成。

/* 冒泡排序 */
void bubbleSort(vector<int> &nums) {
    // 外循环：未排序区间为 [0, i]
    for (int i = nums.size() - 1; i > 0; i--) {
        // 内循环：将未排序区间 [0, i] 中的最大元素交换至该区间的最右端
        for (int j = 0; j < i; j++) {
            if (nums[j] > nums[j + 1]) {
                // 交换 nums[j] 与 nums[j + 1]
                // 这里使用了 std::swap() 函数
                swap(nums[j], nums[j + 1]);
            }
        }
    }
}

效率优化：如果某轮“冒泡”中没有执行任何交换操作，说明数组已经完成排序，可直接返回结果。
增加一个标志位 flag 来监测这种情况，一旦出现就立即返回，冒泡排序的最差时间复杂度和平均时间复杂度仍为 𝑂(𝑛^2) ；但当输入数组完全有序时，可达到最佳时间复杂度 𝑂(𝑛)。

/* 冒泡排序（标志优化）*/
void bubbleSortWithFlag(vector<int> &nums) {
    // 外循环：未排序区间为 [0, i]
    for (int i = nums.size() - 1; i > 0; i--) {
        bool flag = false; // 初始化标志位
        // 内循环：将未排序区间 [0, i] 中的最大元素交换至该区间的最右端
        for (int j = 0; j < i; j++) {
            if (nums[j] > nums[j + 1]) {
                // 交换 nums[j] 与 nums[j + 1]
                // 这里使用了 std::swap() 函数
                swap(nums[j], nums[j + 1]);
                flag = true; // 记录交换元素
                cout<<"swap: "<<nums[j]<<" <-> "<<nums[j+1]<<endl;
            }
        }
        if (!flag)
            break; // 此轮“冒泡”未交换任何元素，直接跳出
    }
}

时间复杂度为 𝑂(𝑛^2)、自适应排序：各轮“冒泡”遍历的数组长度依次为 𝑛 − 1、𝑛 − 2、…、2、1 ，总和为 (𝑛 − 1)𝑛/2 。在引入 flag 优化后，最佳时间复杂度可达到 𝑂(𝑛) 。
空间复杂度为 𝑂(1)、原地排序：指针 𝑖 和 𝑗 使用常数大小的额外空间。
稳定排序：由于在“冒泡”中遇到相等元素不交换。

插入排序

插入排序（insertion sort）是一种简单的排序算法，在未排序区间选择一个基准元素，将该元素与其左侧已排序区间的元素逐一比较大小，并将该元素插入到正确的位置。

设基准元素为 base ，需要将从目标索引到 base 之间的所有元素向右移动一位，然后将 base 赋值给目标索引。

算法流程：
1.初始状态下，数组的第 1 个元素已完成排序。
2.选取数组的第 2 个元素作为 base ，将其插入到正确位置后，数组的前 2 个元素已排序。
3.选取第 3 个元素作为 base ，将其插入到正确位置后，数组的前 3 个元素已排序。
4.以此类推，在最后一轮中，选取最后一个元素作为 base ，将其插入到正确位置后，所有元素均已排序

/* 插入排序 */
void insertionSort(vector<int> &nums) {
    // 外循环：已排序元素数量为 1, 2, ..., n
    for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
        int base = nums[i], j = i - 1;
        // 内循环：将 base 插入到已排序部分的正确位置
        while (j >= 0 && nums[j] > base) {
            nums[j + 1] = nums[j]; // 将 nums[j] 向右移动一位
            j--;
        }
        nums[j + 1] = base; // 将 base 赋值到正确位置 num[0]-->j=-1
        // cout<<base<<endl;
    }
}

算法特性：
时间复杂度为 𝑂(𝑛^2)、自适应排序：在最差情况下，每次插入操作分别需要循环 𝑛 − 1、𝑛 − 2、…、2、1 次，求和得到 (𝑛 − 1)𝑛/2 ，因此时间复杂度为 𝑂(𝑛 ^2) 。在遇到有序数据时，插入操作会提前终止。当输入数组完全有序时，插入排序达到最佳时间复杂度 𝑂(𝑛) 。
空间复杂度为 𝑂(1)、原地排序：指针 𝑖 和 𝑗 使用常数大小的额外空间。
稳定排序：在插入操作过程中，会将元素插入到相等元素的右侧，不会改变它们的顺序。

插入排序的优势

插入排序的时间复杂度为 𝑂(𝑛^2) ，而快速排序的时间复杂度为 𝑂(𝑛 log 𝑛) 。尽管插入排序的时间复杂度更高，但在数据量较小的情况下，插入排序通常更快。

这个结论与线性查找和二分查找的适用情况的结论类似。快速排序这类 𝑂(𝑛 log 𝑛) 的算法属于基于分治策略的排序算法，往往包含更多单元计算操作。而在数据量较小时，𝑛^2 和 𝑛 log 𝑛 的数值比较接近，复杂度不占主导地位，每轮中的单元操作数量起到决定性作用。

虽然冒泡排序、选择排序和插入排序的时间复杂度都为 𝑂(𝑛 ^2) ，但在实际情况中，插入排序的使用频率显著高于冒泡排序和选择排序，主要有以下原因：
1.冒泡排序基于元素交换实现，需要借助一个临时变量，共涉及 3 个单元操作；插入排序基于元素赋值实现，仅需 1 个单元操作。因此，冒泡排序的计算开销通常比插入排序更高；
2.选择排序在任何情况下的时间复杂度都为 𝑂(𝑛^2) 。如果给定一组部分有序的数据，插入排序通常比选
择排序效率更高。
3.选择排序不稳定，无法应用于多级排序。

快速排序

快速排序（quick sort）是一种基于分治策略的排序算法，运行高效，应用广泛。
快速排序的核心操作是“哨兵划分”，其目标是：选择数组中的某个元素作为“基准数”，将所有小于基准数的元素移到其左侧，而大于基准数的元素移到其右侧。

具体来说，哨兵划分的流程如图所示：

1. 选取数组最左端元素作为基准数，初始化两个指针 i 和 j 分别指向数组的两端。
2. 设置一个循环，在每轮中使用 i（j）分别寻找第一个比基准数大（小）的元素，然后交换这两个元素。
3. 循环执行步骤 2. ，直到 i 和 j 相遇时停止，最后将基准数交换至两个子数组的分界线。

哨兵划分完成后，原数组被划分成三部分：左子数组、基准数、右子数组，且满足“左子数组任意元素 ≤ 基准数 ≤ 右子数组任意元素”。因此，我们接下来只需对这两个子数组进行排序。

/* 元素交换 */
static void swap(vector<int> &nums, int i, int j) {
    int tmp = nums[i];
    nums[i] = nums[j];
    nums[j] = tmp;
}

/* 哨兵划分 */
static int partition(vector<int> &nums, int left, int right) {
    // 以 nums[left] 为基准数
    int i = left, j = right;
    while (i < j) {
        while (i < j && nums[j] >= nums[left])
            j--; // 从右向左找首个小于基准数的元素
        while (i < j && nums[i] <= nums[left])
            i++;          // 从左向右找首个大于基准数的元素
        swap(nums, i, j); // 交换这两个元素
    }
    swap(nums, i, left); // 将基准数交换至两子数组的分界线
    return i;            // 返回基准数的索引
}

整体流程：
1.首先，对原数组执行一次“哨兵划分”，得到未排序的左子数组和右子数组；
2.然后，对左子数组和右子数组分别递归执行“哨兵划分”；
3.持续递归，直至子数组长度为 1 时终止，从而完成整个数组的排序；

/* 快速排序（尾递归优化） */
static void quickSort(vector<int> &nums, int left, int right) {
    // 子数组长度为 1 时终止
    while (left < right) {
        // 哨兵划分操作
        int pivot = partition(nums, left, right);
        // 对两个子数组中较短的那个执行快速排序
        if (pivot - left < right - pivot) {
            quickSort(nums, left, pivot - 1); // 递归排序左子数组
            left = pivot + 1;                 // 剩余未排序区间为 [pivot + 1, right]
        } else {
            quickSort(nums, pivot + 1, right); // 递归排序右子数组
            right = pivot - 1;                 // 剩余未排序区间为 [left, pivot - 1]
        }
    }
}

时间复杂度为 𝑂(𝑛 log 𝑛)、自适应排序：在平均情况下，哨兵划分的递归层数为 log 𝑛 ，每层中的总循环数为 𝑛 ，总体使用 𝑂(𝑛 log 𝑛) 时间。在最差情况下，每轮哨兵划分操作都将长度为 𝑛 的数组划分为长度为 0 和 𝑛−1 的两个子数组，此时递归层数达到 𝑛 ，每层中的循环数为 𝑛 ，总体使用 𝑂(𝑛^2) 时间。
空间复杂度为 𝑂(𝑛)、原地排序：在输入数组完全倒序的情况下，达到最差递归深度 𝑛 ，使用 𝑂(𝑛) 栈帧空间。排序操作是在原数组上进行的，未借助额外数组。
非稳定排序：在哨兵划分的最后一步，基准数可能会被交换至相等元素的右侧。

快速排序为什么快
尽管快速排序的平均时间复杂度与“归并排序”和“堆排序”相同，但通常快速排序的效率更高，主要有以下原因：
1.出现最差情况的概率很低：虽然快速排序的最差时间复杂度为 𝑂(𝑛^2) ，没有归并排序稳定，但在绝大多数情况下，快速排序能在 𝑂(𝑛 log 𝑛) 的时间复杂度下运行。
2.缓存使用效率高：在执行哨兵划分操作时，系统可将整个子数组加载到缓存，因此访问元素的效率较
高。而像“堆排序”这类算法需要跳跃式访问元素，从而缺乏这一特性。
3. 复杂度的常数系数小：快速排序的比较、赋值、交换等操作的总数量最少。这与“插入排序”比“冒泡排序”更快的原因类似。

基准数优化

快速排序在某些输入下的时间效率可能降低。
极端例子：假设输入数组是完全倒序的，由于选择最左端元素作为基准数，那么在哨兵划分完成后，基准数被交换至数组最右端，导致左子数组长度为 𝑛 − 1、右子数组长度为 0 。如此递归下去，每轮哨兵划分后都有一个子数组的长度为 0 ，分治策略失效，快速排序退化为“冒泡排序”的近似形式。

为了尽量避免这种情况发生，可以优化哨兵划分中的基准数的选取策略。例如，可以随机选取一个元素作为基准数。然而，如果运气不佳，每次都选到不理想的基准数，效率仍然不尽如人意。

为了进一步改进，可以在数组中选取三个候选元素（通常为数组的首、尾、中点元素），并将这三个候选元素的中位数作为基准数。这样一来，基准数“既不太小也不太大”的概率将大幅提升。当然，还可以选取更多候选元素，以进一步提高算法的稳健性。采用这种方法后，时间复杂度劣化至 𝑂(𝑛^2) 的概率大大降低。

/* 哨兵划分（三数取中值） */
static int partition(vector<int> &nums, int left, int right) {
    // 选取三个候选元素的中位数
    int med = medianThree(nums, left, (left + right) / 2, right);
    // 将中位数交换至数组最左端
    swap(nums, left, med);
    // 以 nums[left] 为基准数
    int i = left, j = right;
    while (i < j) {
        while (i < j && nums[j] >= nums[left])
            j--; // 从右向左找首个小于基准数的元素
        while (i < j && nums[i] <= nums[left])
            i++;          // 从左向右找首个大于基准数的元素
        swap(nums, i, j); // 交换这两个元素
    }
    swap(nums, i, left); // 将基准数交换至两子数组的分界线
    return i;            // 返回基准数的索引
}

尾递归优化

在某些输入下，快速排序可能占用空间较多。以完全有序的输入数组为例，设递归中的子数组长度为 𝑚 ，每轮哨兵划分操作都将产生长度为 0 的左子数组和长度为 𝑚 − 1 的右子数组，这意味着每一层递归调用减少的问题规模非常小（只减少一个元素），递归树的高度会达到 𝑛−1 ，此时需要占用 𝑂(𝑛) 大小的栈帧空间。

为了防止栈帧空间的累积，可以在每轮哨兵排序完成后，比较两个子数组的长度，仅对较短的子数组进行递归。
由于较短子数组的长度不会超过 𝑛/2 ，因此这种方法能确保递归深度不超过 log 𝑛 ，从而将最差空间复杂度优化至 𝑂(log 𝑛) 。代码如下所示：

/* 快速排序（尾递归优化） */
static void quickSort(vector<int> &nums, int left, int right) {
    // 子数组长度为 1 时终止
    while (left < right) {
        // 哨兵划分操作
        int pivot = partition(nums, left, right);
        // 对两个子数组中较短的那个执行快速排序
        if (pivot - left < right - pivot) {
            quickSort(nums, left, pivot - 1); // 递归排序左子数组
            left = pivot + 1;                 // 剩余未排序区间为 [pivot + 1, right]
        } else {
            quickSort(nums, pivot + 1, right); // 递归排序右子数组
            right = pivot - 1;                 // 剩余未排序区间为 [left, pivot - 1]
        }
    }
}

归并排序

归并排序（merge sort）是一种基于分治策略的排序算法，包含“划分”和“合并”阶段。
1.划分阶段：通过递归不断地将数组从中点处分开，将长数组的排序问题转换为短数组的排序问题。
2.合并阶段：当子数组长度为 1 时终止划分，开始合并，持续地将左右两个较短的有序数组合并为一个较长的有序数组，直至结束。

“划分阶段” 从顶至底递归地将数组从中点切分为两个子数组。
1.计算数组中点 mid ，递归划分左子数组（区间 [left, mid] ）和右子数组（区间 [mid + 1, right] ）。
2.递归执行步骤 1. ，直至子数组区间长度为 1 时终止。

“合并阶段” 从底至顶地将左子数组和右子数组合并为一个有序数组。需要注意的是，从长度为 1 的子数组开始合并，合并阶段中的每个子数组都是有序的。


观察发现，归并排序与二叉树后序遍历的递归顺序是一致的：
后序遍历：先递归左子树，再递归右子树，最后处理根节点。
归并排序：先递归左子数组，再递归右子数组，最后处理合并。
归并排序的实现如以下代码所示。请注意，nums 的待合并区间为 [left, right] ，而 tmp 的对应区间为 [0, right - left] 。

/* 合并左子数组和右子数组 */
void merge(vector<int> &nums, int left, int mid, int right) {
    // 左子数组区间为 [left, mid], 右子数组区间为 [mid+1, right]
    // 创建一个临时数组 tmp ，用于存放合并后的结果
    vector<int> tmp(right - left + 1);
    // 初始化左子数组和右子数组的起始索引
    int i = left, j = mid + 1, k = 0;
    // 当左右子数组都还有元素时，进行比较并将较小的元素复制到临时数组中
    while (i <= mid && j <= right) {
        if (nums[i] <= nums[j])
            tmp[k++] = nums[i++];
        else
            tmp[k++] = nums[j++];
    }
    // 将左子数组和右子数组的剩余元素复制到临时数组中
    while (i <= mid) {
        tmp[k++] = nums[i++];
    }
    while (j <= right) {
        tmp[k++] = nums[j++];
    }
    // 将临时数组 tmp 中的元素复制回原数组 nums 的对应区间
    for (k = 0; k < tmp.size(); k++) {
        nums[left + k] = tmp[k];
    }
}

时间复杂度为 𝑂(𝑛 log 𝑛)、非自适应排序：划分产生高度为 log 𝑛 的递归树，每层合并的总操作数量为 𝑛 ，因此总体时间复杂度为 𝑂(𝑛 log 𝑛) 。
空间复杂度为 𝑂(𝑛)、非原地排序：递归深度为 log 𝑛 ，使用 𝑂(log 𝑛) 大小的栈帧空间。合并操作需要借助辅助数组实现，使用 𝑂(𝑛) 大小的额外空间。
稳定排序：在合并过程中，相等元素的次序保持不变。

链表排序

对于链表，归并排序相较于其他排序算法具有显著优势，可以将链表排序任务的空间复杂度优化至 𝑂(1) 。
划分阶段：可以使用“迭代”替代“递归”来实现链表划分工作，从而省去递归使用的栈帧空间。
合并阶段：在链表中，节点增删操作仅需改变引用（指针）即可实现，因此合并阶段（将两个短有序链表合并为一个长有序链表）无须创建额外链表。

堆排序

堆排序（heap sort）是一种基于堆数据结构实现的高效排序算法。可以利用已经学过的“建堆操作”和“元素出堆操作”实现堆排序。
1.输入数组并建立小顶堆，此时最小元素位于堆顶；
2.不断执行出堆操作，依次记录出堆元素，即可得到从小到大排序的序列。

以上方法虽然可行，但需要借助一个额外数组来保存弹出的元素，比较浪费空间。
在实际中，通常使用一种更加优雅的实现方式。

算法流程
1.输入数组并建立大顶堆。完成后，最大元素位于堆顶；
2.将堆顶元素（第一个元素）与堆底元素（最后一个元素）交换。完成交换后，堆的长度减 1 ，已排序元素数量加1；
3.从堆顶元素开始，从顶到底执行堆化操作（sift down）。完成堆化后，堆的性质得到修复；
4.循环执行第 2. 步和第 3. 步。循环 𝑛 − 1 轮后，即可完成数组排序。

实际上，元素出堆操作中也包含第 2. 步和第 3. 步，只是多了一个弹出元素的步骤。

在代码实现中，使用了与“堆”相同的从顶至底堆化 sift_down() 函数。值得注意的是，由于堆的长度会随着提取最大元素而减小，因此需要给 sift_down() 函数添加一个长度参数 𝑛 ，用于指定堆的当前有效长度。代码如下所示：

/**
 * File: heap_sort.cpp
 * Created Time: 2023-05-26
 * Author: Krahets (krahets@163.com)
 */

#include "../utils/common.hpp"

/* 堆的长度为 n ，从节点 i 开始，从顶至底堆化 */
void siftDown(vector<int> &nums, int n, int i) {
    while (true) {
        // 判断节点 i, l, r 中值最大的节点，记为 ma
        int l = 2 * i + 1;
        int r = 2 * i + 2;
        int ma = i;
        if (l < n && nums[l] > nums[ma])
            ma = l;
        if (r < n && nums[r] > nums[ma])
            ma = r;
        // 若节点 i 最大或索引 l, r 越界，则无须继续堆化，跳出
        if (ma == i) {
            break;
        }
        // 交换两节点
        swap(nums[i], nums[ma]);
        // 循环向下堆化
        i = ma;
    }
}

/* 堆排序 */
void heapSort(vector<int> &nums) {
    // 建堆操作：堆化除叶节点以外的其他所有节点
    for (int i = nums.size() / 2 - 1; i >= 0; --i) {
        siftDown(nums, nums.size(), i);
    }
    // 从堆中提取最大元素，循环 n-1 轮
    for (int i = nums.size() - 1; i > 0; --i) {
        // 交换根节点与最右叶节点（交换首元素与尾元素）
        swap(nums[0], nums[i]);
        // 以根节点为起点，从顶至底进行堆化
        siftDown(nums, i, 0);
    }
}

/* Driver Code */
int main() {
    vector<int> nums = {4, 1, 3, 1, 5, 2};
    heapSort(nums);
    cout << "堆排序完成后 nums = ";
    printVector(nums);

    return 0;
}

算法特性
时间复杂度为 𝑂(𝑛 log 𝑛)、非自适应排序：建堆操作使用 𝑂(𝑛) 时间。从堆中提取最大元素的时间复杂度为 𝑂(log 𝑛) ，共循环 𝑛 − 1 轮。
空间复杂度为 𝑂(1)、原地排序：几个指针变量使用 𝑂(1) 空间。元素交换和堆化操作都是在原数组上进行的。
非稳定排序：在交换堆顶元素和堆底元素时，相等元素的相对位置可能发生变化。

桶排序

基于比较的排序算法”，它们通过比较元素间的大小来实现排序。
此类排序算法的时间复杂度无法超越 𝑂(𝑛 log 𝑛) 。
“非比较排序算法”，它们的时间复杂度可以达到线性阶。

桶排序（bucket sort）是分治策略的一个典型应用。它通过设置一些具有大小顺序的桶，每个桶对应一个数据范围，将数据平均分配到各个桶中；然后，在每个桶内部分别执行排序；最终按照桶的顺序将所有数据合并。

考虑一个长度为 𝑛 的数组，其元素是范围 [0, 1) 内的浮点数。
桶排序的流程如图所示：
1.初始化 𝑘 个桶，将 𝑛 个元素分配到 𝑘 个桶中。
2.对每个桶分别执行排序（这里采用编程语言的内置排序函数）。
3.按照桶从小到大的顺序合并结果。

/**
 * File: bucket_sort.cpp
 * Created Time: 2023-03-30
 * Author: Krahets (krahets@163.com)
 */

#include "../utils/common.hpp"

/* 桶排序 */
void bucketSort(vector<float> &nums) {
    // 初始化 k = n/2 个桶，预期向每个桶分配 2 个元素
    int k = nums.size() / 2;
    vector<vector<float>> buckets(k);
    // 1. 将数组元素分配到各个桶中
    for (float num : nums) {
        // 输入数据范围为 [0, 1)，使用 num * k 映射到索引范围 [0, k-1]
        int i = num * k;
        // 将 num 添加进桶 bucket_idx
        buckets[i].push_back(num);
    }
    // 2. 对各个桶执行排序
    for (vector<float> &bucket : buckets) {
        // 使用内置排序函数，也可以替换成其他排序算法
        sort(bucket.begin(), bucket.end());
    }
    // 3. 遍历桶合并结果
    int i = 0;
    for (vector<float> &bucket : buckets) {
        for (float num : bucket) {
            nums[i++] = num;
        }
    }
}

/* Driver Code */
int main() {
    // 设输入数据为浮点数，范围为 [0, 1)
    vector<float> nums = {0.49f, 0.96f, 0.82f, 0.09f, 0.57f, 0.43f, 0.91f, 0.75f, 0.15f, 0.37f};
    bucketSort(nums);
    cout << "桶排序完成后 nums = ";
    printVector(nums);

    return 0;
}

算法特性
桶排序适用于处理体量很大的数据。例如，输入数据包含 100 万个元素，由于空间限制，系统内存无法一次性加载所有数据。此时，可以将数据分成 1000 个桶，然后分别对每个桶进行排序，最后将结果合并。

时间复杂度为 𝑂(𝑛 + 𝑘) ：假设元素在各个桶内平均分布，那么每个桶内的元素数量为 𝑛/𝑘 。
假设排序单个桶使用 𝑂( 𝑛/𝑘 log 𝑛/𝑘) 时间，则排序所有桶使用 𝑂(𝑛 log 𝑛/𝑘) 时间。当桶数量 𝑘 比较大时，时间复杂度则趋向于 𝑂(𝑛) 。合并结果时需要遍历所有桶和元素，花费 𝑂(𝑛 + 𝑘) 时间。
自适应排序：在最差情况下，所有数据被分配到一个桶中，且排序该桶使用 𝑂(𝑛^2) 时间。
空间复杂度为 𝑂(𝑛 + 𝑘)、非原地排序：需要借助 𝑘 个桶和总共 𝑛 个元素的额外空间。
桶排序是否稳定取决于排序桶内元素的算法是否稳定。

如何实现平均分配?
桶排序的时间复杂度理论上可以达到 𝑂(𝑛) ，关键在于将元素均匀分配到各个桶中，因为实际数据往往不是均匀分布的。

为实现平均分配，可以先设定一条大致的分界线，将数据粗略地分到几个桶中。分配完毕后，再将数据较多的桶继续划分为几个桶，直至所有桶中的元素数量大致相等。
可以根据数据概率分布设置每个桶的分界线。值得注意的是，数据分布并不一定需要特意统计，也可以根据数据特点采用某种概率模型进行近似。

计数排序

计数排序通过统计元素数量来实现排序，通常应用于整数数组。

给定一个长度为 𝑛 的数组 nums ，其中的元素都是“非负整数”，计数排序的整体流程：
1.遍历数组，找出其中的最大数字，记为 𝑚 ，然后创建一个长度为 𝑚 + 1 的辅助数组 counter 。
2.借助 counter 统计 nums 中各数字的出现次数，其中 counter[num] 对应数字 num 的出现次数。统计方法很简单，只需遍历 nums（设当前数字为 num），每轮将 counter[num] 增加 1 即可。
3.由于 counter 的各个索引天然有序，因此相当于所有数字已经排序好了。接下来，遍历 counter ，根据各数字出现次数从小到大的顺序填入 nums 即可。

/**
 * File: counting_sort.cpp
 * Created Time: 2023-03-17
 * Author: Krahets (krahets@163.com)
 */

#include "../utils/common.hpp"

/* 计数排序 */
// 简单实现，无法用于排序对象
void countingSortNaive(vector<int> &nums) {
    // 1. 统计数组最大元素 m
    int m = 0;
    for (int num : nums) {
        m = max(m, num);
    }
    // 2. 统计各数字的出现次数
    // counter[num] 代表 num 的出现次数
    vector<int> counter(m + 1, 0);
    for (int num : nums) {
        counter[num]++;
    }
    // 3. 遍历 counter ，将各元素填入原数组 nums
    int i = 0;
    for (int num = 0; num < m + 1; num++) {
        for (int j = 0; j < counter[num]; j++, i++) {
            nums[i] = num;
        }
    }
}

从桶排序的角度看，可以将计数排序中的计数数组 counter 的每个索引视为一个桶，将统计数量的过程看作将各个元素分配到对应的桶中。本质上，计数排序是桶排序在整型数据下的一个特例。

完整实现

如果输入数据是对象，上述步骤 3. 就失效了。
首先计算 counter 的“前缀和”。顾名思义，索引 i 处的前缀和 prefix[i] 等于数组前 i 个元素之和：

前缀和具有明确的意义，prefix[num] - 1 代表元素 num 在结果数组 res 中最后一次出现的索引。
它告诉我们各个元素应该出现在结果数组的哪个位置。接下来，我们倒序遍历原数组 nums 的每个元素 num ，在每轮迭代中执行以下两步：
1.将 num 填入数组 res 的索引 prefix[num] - 1 处。
2.令前缀和 prefix[num] 减小 1 ，从而得到下次放置 num 的索引。
遍历完成后，数组 res 中就是排序好的结果，最后使用 res 覆盖原数组 nums 即可。

/* 计数排序 */
// 完整实现，可排序对象，并且是稳定排序
void countingSort(vector<int> &nums) {
    // 1. 统计数组最大元素 m
    int m = 0;
    for (int num : nums) {
        m = max(m, num);
    }
    // 2. 统计各数字的出现次数
    // counter[num] 代表 num 的出现次数
    vector<int> counter(m + 1, 0);
    for (int num : nums) {
        counter[num]++;
    }
    // 3. 求 counter 的前缀和，将“出现次数”转换为“尾索引”
    // 即 counter[num]-1 是 num 在 res 中最后一次出现的索引
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        counter[i + 1] += counter[i];
    }
    // 4. 倒序遍历 nums ，将各元素填入结果数组 res
    // 初始化数组 res 用于记录结果
    int n = nums.size();
    vector<int> res(n);
    for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
        int num = nums[i];
        res[counter[num] - 1] = num; // 将 num 放置到对应索引处
        counter[num]--;              // 令前缀和自减 1 ，得到下次放置 num 的索引
    }
    // 使用结果数组 res 覆盖原数组 nums
    nums = res;
}

算法特性

时间复杂度为 𝑂(𝑛 + 𝑚) ：涉及遍历 nums 和遍历 counter ，都使用线性时间。一般情况下 𝑛 ≫ 𝑚 ，时间复杂度趋于 𝑂(𝑛) 。
空间复杂度为 𝑂(𝑛 + 𝑚)、非原地排序：借助了长度分别为 𝑛 和 𝑚 的数组 res 和 counter 。
稳定排序：由于向 res 中填充元素的顺序是“从右向左”的，因此倒序遍历 nums 可以避免改变相等元素之间的相对位置，从而实现稳定排序。实际上，正序遍历 nums 也可以得到正确的排序结果，但结果是非稳定的。

局限性

仅通过统计数量就可以实现高效的排序。然而，使用计数排序的前置条件相对较为严格。

计数排序只适用于非负整数。若想将其用于其他类型的数据，需要确保这些数据可以转换为非负整数，并且在转换过程中不能改变各个元素之间的相对大小关系。例如，对于包含负数的整数数组，可以先给所有数字加上一个常数，将全部数字转化为正数，排序完成后再转换回去。
计数排序适用于数据量大但数据范围较小的情况。比如，在上述示例中 𝑚 不能太大，否则会占用过多空间。而当 𝑛 ≪ 𝑚 时，计数排序使用 𝑂(𝑚) 时间，可能比 𝑂(𝑛 log 𝑛) 的排序算法还要慢。

基数排序

基数排序的核心思想与计数排序一致，也通过统计个数来实现排序。
在此基础上，基数排序利用数字各位之间的递进关系，依次对每一位进行排序，从而得到最终的排序结果。

以学号数据为例，假设数字的最低位是第 1 位，最高位是第 8 位，基数排序的流程如图：

对于一个 𝑑 进制的数字 𝑥 ，要获取其第 𝑘 位 𝑥_𝑘 ，可以使用以下计算公式：

其中 ⌊𝑎⌋ 表示对浮点数 𝑎 向下取整，而 mod 𝑑 表示对 𝑑 取模（取余）。对于学号数据，𝑑 = 10 且 𝑘 ∈ [1, 8]。

/**
 * File: radix_sort.cpp
 * Created Time: 2023-03-26
 * Author: Krahets (krahets@163.com)
 */

#include "../utils/common.hpp"

/* 获取元素 num 的第 k 位，其中 exp = 10^(k-1) */
int digit(int num, int exp) {
    // 传入 exp 而非 k 可以避免在此重复执行昂贵的次方计算
    return (num / exp) % 10;
}

/* 计数排序（根据 nums 第 k 位排序） */
void countingSortDigit(vector<int> &nums, int exp) {
    // 十进制的位范围为 0~9 ，因此需要长度为 10 的桶数组
    vector<int> counter(10, 0);
    int n = nums.size();
    // 统计 0~9 各数字的出现次数
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int d = digit(nums[i], exp); // 获取 nums[i] 第 k 位，记为 d
        counter[d]++;                // 统计数字 d 的出现次数
    }
    // 求前缀和，将“出现个数”转换为“数组索引”
    for (int i = 1; i < 10; i++) {
        counter[i] += counter[i - 1];
    }
    // 倒序遍历，根据桶内统计结果，将各元素填入 res
    vector<int> res(n, 0);
    for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
        int d = digit(nums[i], exp);
        int j = counter[d] - 1; // 获取 d 在数组中的索引 j
        res[j] = nums[i];       // 将当前元素填入索引 j
        counter[d]--;           // 将 d 的数量减 1
    }
    // 使用结果覆盖原数组 nums
    for (int i = 0; i < n; i++)
        nums[i] = res[i];
}

/* 基数排序 */
void radixSort(vector<int> &nums) {
    // 获取数组的最大元素，用于判断最大位数
    int m = *max_element(nums.begin(), nums.end());
    // 按照从低位到高位的顺序遍历
    for (int exp = 1; exp <= m; exp *= 10)
        // 对数组元素的第 k 位执行计数排序
        // k = 1 -> exp = 1
        // k = 2 -> exp = 10
        // 即 exp = 10^(k-1)
        countingSortDigit(nums, exp);
}

/* Driver Code */
int main() {
    // 基数排序
    vector<int> nums = {10546151, 35663510, 42865989, 34862445, 81883077,
                        88906420, 72429244, 30524779, 82060337, 63832996};
    radixSort(nums);
    cout << "基数排序完成后 nums = ";
    printVector(nums);

    return 0;
}

为什么从最低位开始排序？
在连续的排序轮次中，后一轮排序会覆盖前一轮排序的结果。举例来说，如果第一轮排序结果 𝑎 < 𝑏 ，而第二轮排序结果 𝑎 > 𝑏 ，那么第二轮的结果将取代第一轮的结果。由于数字的高位优先级高于低位，因此应该先排序低位再排序高位。

算法特性

相较于计数排序，基数排序适用于数值范围较大的情况，但前提是数据必须可以表示为固定位数的格式，且位数不能过大。例如，浮点数不适合使用基数排序，因为其位数 𝑘 过大，可能导致时间复杂度 𝑂(𝑛𝑘) ≫ 𝑂(𝑛^2)。

时间复杂度为 𝑂(𝑛𝑘)：设数据量为 𝑛、数据为 𝑑 进制、最大位数为 𝑘 ，则对某一位执行计数排序使用 𝑂(𝑛 + 𝑑) 时间，排序所有 𝑘 位使用 𝑂((𝑛 + 𝑑)𝑘) 时间。通常情况下，𝑑 和 𝑘 都相对较小，时间复杂度趋向 𝑂(𝑛) 。
空间复杂度为 𝑂(𝑛 + 𝑑)、非原地排序：与计数排序相同，基数排序需要借助长度为 𝑛 和 𝑑 的数组 res 和 counter 。
稳定排序：当计数排序稳定时，基数排序也稳定；当计数排序不稳定时，基数排序无法保证得到正确的
排序结果。

小结

学习地址

学习地址：https://github.com/krahets/hello-algo
重新复习数据结构，所有的内容都来自这里。