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AcWing 900. 整数划分

链接：https://www.acwing.com/activity/content/problem/content/1008/

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思路

1. 完全背包

完全背包的链接：https://blog.csdn.net/2301_78981471/article/details/135065651

我们可以用完全背包的思想来做：在前 i 件物品中，选出若干件，使其和正好为 j
然后根据完全背包的优化思路将其压缩至一维即可。

AC CODE

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 1010;
const int mod = 1e9 + 7;
int n;
int f[N];

int main()
{
    cin >> n;
    
    f[0] = 1;
    
    for(int i = 1; i <= n; ++i){
        for(int j = i; j <= n; ++j){
            f[j] = (f[j] + f[j - i]) % mod;
        }
    }
    
    cout << f[n] << endl;
}

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2. 计数Dp

• 将状态划分为两种：方案中的最小值是1与不是1
  • 是1：把这个1减去，也就是总和为 i - 1 且表示为 j - 1个数的方案，两者等值（f[i - 1, j - 1]）
  • 非1：值与将方案中所有数字全部-1得到的方案的方案数相同，也就是从前 j 个数中选出总和为 i - j 的方案的方案数（f[i - 1, j - i]）
• 最后要把所有方案求和。

AC CODE

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 1010;
int n;
int f[N][N];
int mod = 1e9 + 7;

int main()
{
    cin >> n;
    
    f[0][0] = 1;
    
    for(int i = 1; i <= n; ++i){
        for(int j = 1; j <= i; ++j){
            f[i][j] = (f[i - 1][j - 1] + f[i - j][j]) % mod;
        }
    }
    
    int sum = 0;
    for(int i = 1; i <= n; ++i) sum = (sum + f[n][i]) % mod;
    
    cout << sum << endl;
}