在控制系统的研究中，如何确保系统安全运行并实现特定控制目标一直是关键问题。Ames等人2017年发表的论文“Control Barrier Function Based Quadratic Programs for Safety Critical Systems”，深入探讨基于控制障碍函数的二次规划控制方法。

研究背景

在安全关键系统中，控制目标与安全约束紧密交织。例如在自动驾驶场景下，车辆既要精准追踪目标速度，又要时刻保证与周围车辆、行人保持安全距离，避免碰撞事故。传统控制方法在处理这类复杂的多目标约束问题时，往往存在局限性。而控制障碍函数（Control Barrier Function, CBF）和控制李雅普诺夫函数（Control Lyapunov Function, CLF）的出现，为解决此类问题提供了新的思路。CBF用于描述系统状态的安全约束，CLF则聚焦于系统的稳定性和控制目标的实现，将二者结合并通过二次规划（QP）进行求解，能够有效平衡安全与性能，为复杂控制系统设计提供有力工具。

主要贡献

障碍函数（Barrier Function）

针对自治系统
$$\dot{x}=f(x)$$
其中，$x\in {\mathbb{R}}^n$，$f$是locally Lipschitz。对于任意一个初始状态$x_0:=x(t_0)\in {\mathbb{R}}^n$，存在最大时间区间$T(x_0)=[t_0,\infty )$使得系统存在唯一解$x(t),\forall t\in I_{(}{x}_0)$

前向不变性(Forward Invariance)
对于一个集合$S\in {\mathbb{R}}^n$，如果任意的初始状态$x_0\in S$，都有区间$I(x_0)$上唯一解始终属于$S$集合，即$x(t)\in S,\forall t\in I_{(}{x}_0)$，则我们称集合$S$是前向不变的。

给出常见集合定义，分别表示有界闭集$\mathcal{C}$、边界集合$\partial \mathcal{C}$和内点开集$Int(\mathcal{C})$
C = { x ∈ R n ∣ h ( x ) ≥ 0 } ∂ C = { x ∈ R n ∣ h ( x ) = 0 } I n t ( C ) = { x ∈ R n ∣ h ( x ) > 0 } \begin{equation} \begin{aligned} \mathcal{C} = \{x \in \mathbb{R}^n | h(x) \geq 0 \} \nonumber \\ \partial \mathcal{C} = \{x \in \mathbb{R}^n | h(x) = 0 \} \nonumber \\ Int(\mathcal{C}) = \{x \in \mathbb{R}^n | h(x) > 0 \} \nonumber \\ \end{aligned} \end{equation} C={x∈Rn∣h(x)≥0}∂C={x∈Rn∣h(x)=0}Int(C)={x∈Rn∣h(x)>0}​​

其中，函数$h:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$是一个连续可导函数。同时，我们要求集合$\mathcal{C}$非空且无 孤立点 (isolated point)，即
$$Int(\mathcal{R})\ne \varnothing \text{且}\overline{Int(\mathcal{C})}=\mathcal{R}$$
这里的 $\overline{Int(\mathcal{C})}$ 表示集合$Int(\mathcal{C})$ 的 闭包。

在正式介绍障碍函数之前，给出$\mathcal{K}$类函数的定义如下

$\mathcal{K}$类函数：对于$a>0$，一个连续函数$\alpha :(0,a)\to (0,\infty )$，如果它是严格单调递增且$\alpha (0)=0$，则称其属于$\mathcal{K}$类函数。

障碍函数最核心的目标——保证集合的前向不变性。文章中给出了两种障碍函数——倒数障碍函数和归零障碍函数，并分析了其与集合 $\mathcal{C}$ 的关系，如下图

（一）倒数障碍函数（Reciprocal Barrier Function, RBF）

选取候选倒数障碍函数为$$B(x)=-\log (\frac{h(x)}{1+h(x)})$$

满足$$\underset{x\in \mathrm{int}(\mathcal{C})}{\inf }B(x)\ge 0,\underset{x\to \partial \mathcal{C}}{\lim }B(x)=\infty$$
因此，函数$B$只定义在内点集合$Int(\mathcal{C})$上，而不能定义在边界集合$\partial \mathcal{C}$。

在初始状态$x_0$满足$B(x_0)\ge 0$的情况下，为保证$Int(\mathcal{C})$的前向不变性不变，最一般的条件是要求函数的导数始终小于零，即 $$\dot{B}<0$$
但是该条件太过严苛，所以引入松弛项，重新设计条件$$\dot{B}\le \frac{\gamma }{B}(\gamma >0)$$
之后，对$B(x)$求导，$$\dot{B}=-\frac{\dot{h}}{h+h^2}$$ 代入条件可得$$\dot{h}\ge \frac{\gamma (h+h^2)}{\log (\frac{h}{1+h})}$$

由比较引理，若$x_0\in Int(\mathcal{C})$，则$$h(x(t,x_0))\ge \frac{1}{\exp (\sqrt{2\gamma t+{\log }^2(\frac{h(x_0)+1}{h(x_0)})})-1}>0$$ 即 $x(t,x_0)\in \mathrm{int}(\mathcal{C}),\forall t\ge 0$成立。

此外，还有一种候选逆形式障碍函数。$$B(x)=\frac{1}{h(x)}$$ 在$\dot{B}\le \frac{\gamma }{B}$条件下，根据比较引理可得$$h(x(t,x_0))\ge \frac{1}{\sqrt{2\gamma t+\frac{1}{h^2(x_0)}}}>0$$ 同样能保证$x(t,x_0)\in Int(\mathcal{C})$

给出如下定理

对于动态系统，如果存在类 $\mathcal{K}$ 函数 ${\alpha }_1(\cdot ),{\alpha }_2(\cdot ),{\alpha }_3(\cdot )$ 使得对于所有 $x\in Int(\mathcal{C})$，都有
$$\frac{1}{{\alpha }_1(h(x))}\le B(x)\le \frac{1}{{\alpha }_2(h(x))},$$
$$L_{f}B(x)\le {\alpha }_3(h(x)).$$
则连续可微函数 $B:\text{Int}(\mathcal{C})\to \mathbb{R}$ 是集合 $\mathcal{C}$ 的一个倒数障碍函数（RBF）。

（二）归零障碍函数（Zeroing Barrier Function, ZBF）

倒数障碍函数在接近集合边界时函数值趋于无穷大，这在实际的实时或嵌入式系统实现中可能会带来问题，例如数值计算困难或对硬件要求过高。因此引入归零障碍函数。

首先定义扩展$\mathcal{K}$类函数

扩展$\mathcal{K}$类函数：对于$a,b>0$，一个连续函数$\alpha :(-b,a)\to (-\infty ,\infty )$，如果它是严格单调递增且$\alpha (0)=0$，则称其属于扩展类$\mathcal{K}$函数。

对于动态系统 $\dot{x}=f(x)$，若存在扩展 $\mathcal{K}$ 类函数 $\alpha$ 和集合 $\mathcal{D}$（满足$\mathcal{C}\subseteq \mathcal{D}\subset {\mathbb{R}}^n$），使得对于所有$x\in \mathcal{D}$，有
$$L_{f}h(x)\ge -\alpha (h(x))$$
则连续可微函数 $h:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ 是集合$\mathcal{C}$的归零障碍函数（ZBF） 。

将$h$定义在集合$\mathcal{D}$（$\mathcal{D}$大于$\mathcal{C}$）上，这样可以考虑模型扰动的影响。当$x\in \partial \mathcal{C}$时，$h(x)=0$，此时$$L_{f}h(x)\ge -\alpha (h(x))=0$$ 根据 Nagumo定理，满足该条件时集合$\mathcal{C}$是前向不变的。

如果$h$是定义在开集$\mathcal{D}$上的ZBF，那么$h$可以诱导出一个李雅普诺夫函数$V_{\mathcal{C}}:\mathcal{D}\to {\mathbb{R}}_0^{+}$，定义为
$$V_{\mathcal{C}}(x)=\{\begin{array}{ll}0,& \text{如果 }x\in \mathcal{C}\\ -h(x),& \text{如果 }x\in \mathcal{D}\backslash \mathcal{C}\end{array}$$
容易验证：

1. 当$x\in \mathcal{C}$时，$V_{\mathcal{C}}(x)=0$；
2. 当$x\in \mathcal{D}\backslash \mathcal{C}$时，$V_{\mathcal{C}}(x)>0$；
3. 对于$x\in \mathcal{D}\backslash \mathcal{C}$，$L_f{V}_{\mathcal{C}}(x)=-L_{f}h(x)\le \alpha \circ h(x)=\alpha (-V_{\mathcal{C}}(x))<0$。

由上述三个性质，以及$V_{\mathcal{C}}$在其定义域上连续且在$\mathcal{D}\backslash \mathcal{C}$上连续可微，根据相关定理，当系统 $\dot{x}=f(x)$ 是前向完备的，或者集合$\mathcal{C}$是紧致的时，集合$\mathcal{C}$是渐近稳定的。这表明归零障碍函数不仅能保证集合的前向不变性，在一定条件下还能保证集合的渐近稳定性。

（三）RBF与ZBF的关系

前面介绍了RBF和ZBF与集合前向不变性的充分条件，即存在RBF（或ZBF）能保证$Int(\mathcal{C})$（或$\mathcal{C}$）的前向不变性。接下来探讨其必要性及二者之间的其他关系。

命题：考虑动态系统$\dot{x}=f(x)$和由连续可微函数$h:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$定义的非空、紧致集合$\mathcal{C}$（满足前面给出的集合定义形式）。如果$\mathcal{C}$是前向不变的，那么$h{|}_{\mathcal{C}}$是定义在$\mathcal{C}$上的ZBF。

证明：在ZBF的定义中取$\mathcal{D}=\mathcal{C}$。对于任意$r\ge 0$，集合 { x ∣ 0 ≤ h ( x ) ≤ r } \{x|0\leq h(x)\leq r\} {x∣0≤h(x)≤r}是$\mathcal{C}$的一个紧致子集。定义函数$\alpha :[0,\infty )\to \mathbb{R}$为
α ( r ) = − inf ⁡ { x ∣ 0 ≤ h ( x ) ≤ r } L f h ( x ) \alpha(r)=-\inf_{\{x|0\leq h(x)\leq r\}}L_f h(x) α(r)=−{x∣0≤h(x)≤r}inf​Lf​h(x)
利用上述紧致性性质和$L_{f}h$的连续性，可知$\alpha$是在${\mathbb{R}}_0^{+}$上定义良好的非递减函数，且满足
$$L_{f}h(x)\ge -\alpha \circ h(x),\forall x\in \mathcal{C}$$
根据Nagumo定理，$\mathcal{C}$的不变性等价于$h(x)=0\Rightarrow L_{f}h(x)\ge 0$，这意味着$\alpha (0)\le 0$。总能找到一个定义在$[0,\infty )$上的类$\mathcal{K}$函数$\hat{\alpha }$，使得$\alpha$在其上方有界，即$\dot{h}(x)\ge -\hat{\alpha }(h(x))$对于所有$x\in \mathcal{C}$成立，从而完成证明。

引理：考虑动态系统$\dot{x}=f(x)$和由连续可微函数$h:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$定义的非空、紧致集合$\mathcal{C}$。如果对于所有$x\in \partial \mathcal{C}$，都有$\dot{h}(x)>0$，那么对于每个整数$k\ge 1$，存在常数$\gamma >0$，使得
$$\dot{h}(x)\ge -\gamma h^k(x),\forall x\in Int(\mathcal{C})$$

这里的证明省略，自行观看原文

控制障碍函数（Control Barrier Function, CBF）

考虑仿射控制系统，其状态方程为
$$\dot{x}=f(x)+g(x)u$$
其中，$x\in {\mathbb{R}}^n$ 表示系统的状态向量，$u\in U\subset {\mathbb{R}}^m$ 是控制输入向量，函数 $f$ 和 $g$ 满足局部 Lipschitz 条件。

文中特别关注 $U$ 可以表示为凸多面体的情况
U = { u ∈ R m ∣ A 0 u ≤ b 0 } U = \{u \in \mathbb{R}^m | A_0 u \leq b_0\} U={u∈Rm∣A0​u≤b0​}
其中， $A_0$ 是一个 $p\times m$ 矩阵，$b_0$ 是一个 $p\times 1$ 列向量，$p$ 是某个正整数。

（一）倒数控制障碍函数（Reciprocal Control Barrier Function, RCBF）

若存在 $\mathcal{K}$ 类函数 ${\alpha }_1$、${\alpha }_2$、${\alpha }_3$，使得对于所有 $x\in Int(\mathcal{C})$，以下两个条件同时成立：

1. 函数值范围条件
   $$\frac{1}{{\alpha }_1(h(x))}\le B(x)\le \frac{1}{{\alpha }_2(h(x))}$$
2. 导数相关条件
   $$\underset{u\in U}{\inf }[L_{f}B(x)+L_{g}B(x)u-{\alpha }_3(h(x))]\le 0$$
   则连续可微函数 $B:\mathrm{int}(\mathcal{C})\to \mathbb{R}$ 被称为集合 $\mathcal{C}$ 的倒数控制障碍函数（RCBF）。

这里，$L_{f}B(x)$ 表示函数 $B$ 关于向量场 $f$ 的 李导数，即 $L_{f}B(x)=\frac{\partial B}{\partial x}f(x)$；$L_{g}B(x)$ 表示函数 $B$ 关于向量场 $g$ 的 李导数，即 $L_{g}B(x)=\frac{\partial B}{\partial x}g(x)$。

进一步，定义集合
K rcbf ⁡ ( x ) = { u ∈ U ∣ L f B ( x ) + L g B ( x ) u − α 3 ( h ( x ) ) ≤ 0 } K_{\operatorname{rcbf}}(x)=\{u\in U|L_fB(x)+L_gB(x)u - \alpha_3(h(x))\leq0\} Krcbf​(x)={u∈U∣Lf​B(x)+Lg​B(x)u−α3​(h(x))≤0}

对于任意局部 Lipschitz 连续的控制器 $u:Int(\mathcal{C})\to U$，只要 $u(x)\in K_{\mathrm{rcbf}}(x)$，就能够保证集合 $Int(\mathcal{C})$ 的前向不变性。这意味着对于任意初始状态 $x_0\in Int(\mathcal{C})$，系统的状态 $x(t)$ 在后续的时间里始终保持在集合 $Int(\mathcal{C})$ 内。

（二）归零控制障碍函数（Zeroing Control Barrier Function, ZCBF）

同样针对仿射控制系统 $\dot{x}=f(x)+g(x)u$。

若存在扩展 $\mathcal{K}$ 类函数 $\alpha$，使得对于所有 $x\in \mathcal{D}$（其中 $\mathcal{C}\subseteq \mathcal{D}\subset {\mathbb{R}}^n$），满足
$$\underset{u\in U}{\sup }[L_{f}h(x)+L_{g}h(x)u+\alpha (h(x))]\ge 0$$
则函数 $h$ 被定义为集合 $\mathcal{D}$ 上的归零控制障碍函数（ZCBF）。

这里，$L_{f}h(x)=\frac{\partial h}{\partial x}f(x)$，$L_{g}h(x)=\frac{\partial h}{\partial x}g(x)$。

定义集合
K zcbf ⁡ ( x ) = { u ∈ U ∣ L f h ( x ) + L g h ( x ) u + α ( h ( x ) ) ≥ 0 } K_{\operatorname{zcbf}}(x)=\{u\in U|L_fh(x)+L_gh(x)u+\alpha(h(x))\geq0\} Kzcbf​(x)={u∈U∣Lf​h(x)+Lg​h(x)u+α(h(x))≥0}

对于任意局部 Lipschitz 连续的控制器 $u:\mathcal{D}\to U$，当 $u(x)\in K_{\mathrm{zcbf}}(x)$ 时，能够保证集合 $\mathcal{C}$ 的前向不变性。也就是说，从集合 $\mathcal{C}$ 内的任意初始状态出发，系统的状态在后续时间里都不会离开集合 $\mathcal{C}$。

二次规划（Quadratic Programming, QP）设计

（一）指数稳定控制李雅普诺夫函数（ES - CLF）

设有连续可微函数 $V:X\times Z\to \mathbb{R}$，若存在正常数 $c_1$、$c_2$、$c_3$，使得对于所有 $x=(x_1,x_2)\in X\times Z$，满足以下两个条件：

1. 函数值上下界条件
   $$c_1\Vert x_1{\Vert }^2\le V(x)\le c_2\Vert x_1{\Vert }^2$$
2. 导数相关条件
   $$\underset{u\in U}{\inf }[L_{f}V(x)+L_{g}V(x)u+c_{3}V(x)]\le 0$$
   则函数 $V$ 被称为指数稳定控制李雅普诺夫函数（ES - CLF）。

这里，$L_{f}V(x)=\frac{\partial V}{\partial x}f(x)$，$L_{g}V(x)=\frac{\partial V}{\partial x}g(x)$。

定义集合
K clf ⁡ ( x ) = { u ∈ U ∣ L f V ( x ) + L g V ( x ) u + c 3 V ( x ) ≤ 0 } K_{\operatorname{clf}}(x)=\{u\in U|L_fV(x)+L_gV(x)u + c_3V(x)\leq0\} Kclf​(x)={u∈U∣Lf​V(x)+Lg​V(x)u+c3​V(x)≤0}

对于局部 Lipschitz 控制器 $u:X\times Z\to U$，若 $u(x)\in K_{\mathrm{clf}}(x)$，则系统的状态分量 $x_1$ 满足以下指数衰减关系：
$$\Vert x_1(t)\Vert \le \sqrt{\frac{c_2}{c_1}}{e}^{-\frac{c_3}{2}t}\Vert x_1(0)\Vert$$
这表明系统的状态 $x_1$ 能够以指数速度收敛到零，体现了系统的指数稳定性。

（二）CLF - CBF QP

1. 基于 RCBF 的 QP

考虑如下形式的二次规划（QP）问题：
$$u^{\ast }(x)=\underset{u=(u,\delta )\in {\mathbb{R}}^m\times \mathbb{R}}{\mathrm{argmin}}\frac{1}{2}{u}^{T}H(x)u+F(x{)}^{T}u$$
约束条件为
$$\{\begin{array}{l}{L}_{f}V(x)+L_{g}V(x)u+c_{3}V(x)-\delta \le 0\\ L_{f}B(x)+L_{g}B(x)u-\alpha (h(x))\le 0\end{array}$$
其中：

• $c_3>0$ 是一个正常数；
• $\alpha$ 是 $\mathcal{K}$ 类函数；
• $H(x)\in {\mathbb{R}}^{(m+1)\times (m+1)}$ 是正定矩阵，它决定了目标函数中二次项的权重；
• $F(x)\in {\mathbb{R}}^{m+1}$ 是向量，用于调整目标函数的线性项。

在一定条件下，例如 $f$、$g$、$B$、$V$、$H$、$F$ 都满足局部 Lipschitz 连续，并且对于所有 $x\in \mathrm{int}(\mathcal{C})$，有 $L_{g}B(x)\ne 0$，该 QP 问题的解 $u^{\ast }(x)$ 在 $\mathrm{int}(\mathcal{C})$ 上是局部 Lipschitz 连续的，并且可以写成闭环解析式。这意味着可以根据系统当前的状态 $x$ 实时计算出最优的控制输入 $u^{\ast }(x)$。

2. 基于 ZCBF 的 QP

考虑如下的 QP 问题：
$$u^{\ast }(x)=\underset{u=(u,\delta )\in {\mathbb{R}}^m\times \mathbb{R}}{\mathrm{argmin}}\frac{1}{2}{u}^{T}H(x)u+F^T(x)u$$
约束条件为
$$\{\begin{array}{l}{L}_{f}V(x)+L_{g}V(x)u+c_{3}V(x)-\delta \le 0\\ -L_{f}h(x)-L_{g}h(x)u-\alpha (h(x))\le 0\end{array}$$
在类似的条件下，即 $f$、$g$、$h$、$V$、$H$、$F$ 都局部 Lipschitz 连续，并且对于所有 $x\in \mathcal{D}$，有 $L_{g}h(x)\ne 0$，该 QP 问题的解 $u^{\ast }(x)$ 在 $\mathcal{D}$ 上是局部 Lipschitz 连续的，同样可以写成闭环解析式。

通过上述基于 CLF - CBF 的 QP 设计，能够在满足安全约束（由 CBF 保证）的同时，实现系统的控制目标（由 CLF 引导）。在实际应用中，可以根据具体系统的特点和需求，灵活选择和调整相关参数，如 $c_1$、$c_2$、$c_3$、$\alpha$、$H(x)$ 和 $F(x)$ 等，以达到最佳的控制效果。

通过上述基于CLF - CBF的QP设计，能够在满足安全约束（由CBF保证）的同时，实现系统的控制目标（由CLF引导），为安全关键系统的控制提供了一种有效的方法。在实际应用中，可根据具体系统的特点和需求，灵活选择和调整相关参数，以达到最佳的控制效果。

参考文献

[1] Ames A D , Xu X , Grizzle J W ,et al.Control Barrier Function Based Quadratic Programs with Application to Automotive Safety Systems[J]. 2016.DOI:10.48550/arXiv.1609.06408.