Reference：

1. 深蓝学院：NeRF基础与常见算法解析

系列文章：

1. NeRF 其一：NeRF: Representing Scenes as Neural Radiance Fields for View Synthesis
2. NeRF 其二：Mip-NeRF

相比于 NeRF，Mip-NeRF 主要是在视觉上的改进。混叠会造成视觉质量的下降，将抗混叠应用到 NeRF 里，就生成了 Mip-NeRF。至于什么是混叠，让我们接着看看。

1. 混叠

介绍混叠之前，要介绍一个词：采样，因为混叠是伴随着采样而产生的。

• 奈奎斯特准则：假设信号的最大频率为 $B$，信号的采样频率为 $f_s$，则奈奎斯特率(Nyquist rate)为 $2B$，奈奎斯特准则是 $f_s>2B$ 时原始信号采样后不会丢失信息。
• 混叠：当采样频率设置不合理时，即采样频率 $f_s$ 低于 $2$ 倍的信号频率($f_s<2B$)，会导致原本的高频信号被采样成低频信号。这种频谱的重叠导致的失真称为混叠，也就是高频信号被混叠成了低频信号。

在图中以 ${\Delta }_t$ 的时间间隔去采样，可以得到蓝色点。很显然蓝色信号的频率只有红色信号频率的 $1/9$，本身的红色信号是一个高频信号，被采样成了一个低频信号。这样就会导致混叠：
图中的 $f_{max}$ 为现在采样频率的 $1/2$，即 $\frac{f_s}{2}$。

• 当原始信号频率<$\frac{f_s}{2}$时，即 $f_s>2B$，没有问题；
• 当原始信号频率>$\frac{f_s}{2}$时，会导致将高出来的频率部分高频信号采样成低频，原始的低频很好的保留了，而高频这部分采样成了低频，和原始的低频信号有了混合，这就是混叠。

只有在采样的问题下(采样频率不合适的情况下)才会产生混叠的概念。

图像中的混叠现象

1. 锯齿
   本来图中很细腻的图像，比如将 $320\times 240$ 采样成 $9\times 6$ 的图像。在采样率不够的时候就会产生一个个的锯齿。

2. 摩尔纹
   在左图采样率好的时候，墙面采样的很好没有产生多的东西，而当采样率设置不正确的时候，就会产生摩尔纹。原始信号是不会长这样的，这是与低频信号混叠后导致的。

2. 如何抗混叠

抗混叠有以下两种方式：

1. 增加采样频率：提高采样频率可以使信号频率 $B$ 不会超过采样频率 $f_s$ 的一半，从而避免混叠的发
   生。
2. 使用低通滤波器：将信号通过低通滤波器，可以去除信号中高于采样频率一半的频率分量，从
   而避免混叠。

首先从第一种情况说起：如果采样率已经定下来了，比如上一节锯齿的图像，就想使用 $9\times 6$ 的图像，这时候可以考虑在左图中每个框内都多采一些点，然后合并到右图，就可以让右图每个点的均值平滑一点，而不会像现在右图所示这样生硬。这种方式的缺点在于格子中那么多点得到的一个平均，效率就很低下。这就引出了第二种方法。

使用低通滤波器可以直接将超过的频率剔除掉后再采样，就不会有摩尔纹、锯齿这样的情况了。

大图像没有经过一些技术处理的采样采样，就会得到下面这样的结果。近处还好，远处出现了很明显的摩尔纹：
造成摩尔纹的原因是采样频率过低，既然采样频率不好控制，那么解决方案为：在采样之前，使用低通滤波器去除高于采样频率一半的频率分量。

去除噪声可以用到低通滤波器。噪声点和邻居长得不太像，它属于高频信息，当然除了噪声点外，图像边缘也是高频信息。

在使用低通滤波器后再进行采样，图像就正常了：
但在这里又有一个问题是，假设我们有一个物体，在相机从近往远的过程中，这个杯子所有的像素在这个相机的成像图像上所占像素会越来越小，也就意味着从高分辨率一点点往低分辨率采。如果每采一次，都需要对图像做一次低通滤波，然后再去采样，这样效率就会很差。这个系统的性能就会非常的弱。为了解决这个问题，就引入了一个新的概念，叫做 MipMap。

MipMap 的做法是，先将一张大图生成一系列的小图像。在原来方法内每移动一次距离都需要 平滑+采样，这样太慢。MipMap 会将几个尺度的 平滑+采样 的图先存下来，将来相机拉到某一尺度时，就会从一个分辨率接近的图再去做处理，因为分辨率接近，这时候就不需要再做低通滤波了，也就不会再出现混叠的问题。

3. NeRF 中的解决方案

下图展示了原始 NeRF 模型，在摄像机往远离物体的方向移动时，渲染结果存在混叠。每张图下的小数代表 SSIM，是与真值间的距离，值越大，表示模型生成的越好。
为了将下面一行的图像看清，将小图放大到和上面大图一样，实际只有前面的 $1/8$。

• 第一列为相近视角下生成的模型，可以看到全分辨率的图像 SSIM 值挺高，而降低分辨率后产生了鬼影，导致了视觉质量下降的相当明显；
• 第二列将近距离视角和远距离视角混在一起训练来生成模型。这样对远处的 SSIM 确实有提升，但是原来近距离的质量出现出现了下降，这并不是所希望的。

为什么会出现这种现象呢？
因为同一个像素在不同距离上看，颜色是不一样的。下图内黄色为一个像素，当物体比较近的时候，像素是由近处时的物体投影过去的；当物体距离相机比较远时，需要把图像后面把物体更大一块映射到这个像素上(它包含了更多的内容)。假设前面一个映射到像素上的颜色为 $C$；后面一个像素映射为 $C^{\prime }$，很明显 $C$ 和 $C^{\prime }$ 的颜色不一样。

而如果在传统 NeRF 的情况下，因为视线 $d$ 上同一位置的体密度和颜色值是一样的，所以训练出来的 $C$ 和 $C^{\prime }$ 的颜色应该是一样的。而真实情况下，这两个像素的颜色是不一样的。
使用不同距离一起训练 NeRF，会使网络学出来一个中间值，它既不趋近 $C$，也不趋近 $C^{\prime }$。

那么前面我们在抗混叠的方式中提到了 增加采样频率的方法------超采样。做法是一个像素点多采样几个光线，将每个像素的体渲染和颜色的结果做一个加权平均，来得到当前像素点结果。但是需要知道的是，辐射场上一条光线的速度已经很慢了，一个像素要是计算多条光线那计算量是不能接受的，所以超采样这条路走不通。

现在考虑另一种抗混叠方案：使用低通滤波器，即 使用圆锥体取代光线：NeRF 一条射线对应 Mip-NeRF 一个圆锥体，NeRF 一个采样点对应 Mip-NeRF 一个圆锥截台。

这种方法与超采样的打很多条光线相近，思路为 ①：将圆台内的每一个点都送入神经网络，并由 $\gamma (x_1)$、$\gamma (x_2)$…$\gamma (x_n)$ 得到 ${\sigma }_1{c}_1$、${\sigma }_2{c}_2$…${\sigma }_n{c}_n$，最后求一个加权平均，得到 $\bar{\sigma }$ 和 $\bar{c}$。它相比原来的好处是考虑了邻域信息的的加权求和，相比 NeRF 方法会更加平滑。但因为每一个点都得走一次神经网络，这里的算力并没有减小。

于是就有了这种方法的进阶版 ②：既然会对神经网络的结果做一个加权平均，那么现在直接对多个 $\gamma (x)$ 做一次平均，把这个值输入到神经网络 $F(\theta )$ 内，最终得到的值应该也是逼近 $\bar{\sigma }$ 和 $\bar{c}$ 的。

这种成像过程相比 NeRF 更为真实。

4. 圆锥台近似计算与集成位置编码

4.1 圆锥台采样

在上一节末我们想实现的方法为：对圆锥台范围内的 $\gamma (x)$ 求加权平均，即求取圆锥台里面每个位置编码的期望值，那么就需要搞清楚，哪些点是属于当前圆台的：

若 $\mathbf{x}$ 位于由相机位置 $\mathbf{o}$、视线方向 $\mathbf{d}$、圆台半径 $\dot{r}$、以及圆台深度区间 $[t_0,t_1]$ 定义的圆台中，定义 $F(\mathbf{x},\cdot )=1$，
$$F\left(\mathbf{x},\mathbf{o},\mathbf{d},\dot{r},t_0,t_1\right)=1\left\{\left(t_0<\frac{{\mathbf{d}}^T(\mathbf{x}-\mathbf{o})}{\Vert \mathbf{d}{\Vert }_2}<t_1\right)\wedge \left(\frac{{\mathbf{d}}^T(\mathbf{x}-\mathbf{o})}{\Vert \mathbf{d}{\Vert }_2\Vert \mathbf{x}-\mathbf{o}{\Vert }_2}>\frac{1}{\sqrt{1+{\left(\dot{r}/\Vert \mathbf{d}{\Vert }_2\right)}^2}}\right)\right\}$$该公式的意思是，如果满足条件 ①: $t_0<\frac{{\mathbf{d}}^T(\mathbf{x}-\mathbf{o})}{\Vert \mathbf{d}{\Vert }_2}<t_1$ 以及 ②: $\frac{{\mathbf{d}}^T(\mathbf{x}-\mathbf{o})}{\Vert \mathbf{d}{\Vert }_2\Vert \mathbf{x}-\mathbf{o}{\Vert }_2}>\frac{1}{\sqrt{1+{\left(\dot{r}/\Vert \mathbf{d}{\Vert }_2\right)}^2}}$，则该公式 $=1$。

• ① $t_0<\frac{{\mathbf{d}}^T(\mathbf{x}-\mathbf{o})}{\Vert \mathbf{d}{\Vert }_2}<t_1$：上面很明显为内积公式，即 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}={\mathbf{a}}^T\mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos ⟨\mathbf{a},\mathbf{b}⟩$，整个公式的意思就是一个模长为 $\mathbf{x}-\mathbf{o}$ 的 $\mathbf{d}$ 方向向量映射到 $\mathbf{x}-\mathbf{o}$ 方向的长度，表示 $\mathbf{x}$ 位于下图 $t_0$ 和 $t_1$ 两个圆所在的这个区间之间；

• ② $\frac{{\mathbf{d}}^T(\mathbf{x}-\mathbf{o})}{\Vert \mathbf{d}{\Vert }_2\Vert \mathbf{x}-\mathbf{o}{\Vert }_2}>\frac{1}{\sqrt{1+{\left(\dot{r}/\Vert \mathbf{d}{\Vert }_2\right)}^2}}$：左边和公式 ① 近似，这里多除了一个 $\Vert \mathbf{x}-\mathbf{o}{\Vert }_2$，表示这里计算的是教教的余弦值。右式可从下图中得到：
  即 $\cos \theta =\frac{\Vert \mathbf{d}{\Vert }_2}{\sqrt{{\mathbf{d}}^2+{\left(\dot{r}\right)}^2}}=\frac{1}{\sqrt{1+{\left(\dot{r}/\Vert \mathbf{d}{\Vert }_2\right)}^2}}$

  又因为 $\cos$ 越大角度越小，所以这里得到的是两夹角的范围。

综上，整个公式的就将三维点区间限制在了圆台内。
圆锥台位置编码的期望可以定义为：
$${\gamma }^{\ast }\left(\mathbf{o},\mathbf{d},\dot{r},t_0,t_1\right)=\frac{\int \gamma (\mathbf{x})F\left(\mathbf{x},\mathbf{o},\mathbf{d},\dot{\mathbf{r}},t_0,t_1\right)dx}{\int F\left(\mathbf{x},\mathbf{o},\mathbf{d},\dot{r},t_0,t_1\right)dx}$$可知这里的 ${\gamma }^{\ast }=E(\gamma (\mathbf{x}))$，分子为圆台内位置编码的和，分母为圆台内总个数。因为这里是对圆台内所有位置的积分，所以这个位置编码又称为 集成位置编码。

那么问题又来了，上面这个公式的计算是非常不容易的，所以需要对它做近似。

4.2 三维高斯逼近圆锥台

因为圆台不好算，所以用一个三维高斯球逼近圆台，让这个三维高斯球里包含的 $\mathbf{x}$ 个数尽量和圆台内的重叠。这样做是因为使用高斯来计算 $\gamma (\mathbf{x})$ 的期望值是很容易的。(这里应该就不是平均，而是加权平均了吧，即中心点的权重会更高)
定义 ${\mu }_t$ 表示对应圆锥截台到相机的平均距离，${\sigma }_t^2$ 为沿光线方向的距离方差，${\sigma }_r^2$ 为垂直于光线方向的距离方差：
$${\mu }_t=t_{\mu }+\frac{2t_{\mu }{t}_{\delta }^2}{3t_{\mu }^2+t_{\delta }^2}{\sigma }_t^2=\frac{t_{\delta }^2}{3}-\frac{4t_{\delta }^4\left(12t_{\mu }^2-t_{\delta }^2\right)}{15{\left(3t_{\mu }^2+t_{\delta }^2\right)}^2}{\sigma }_r^2={\dot{r}}^2\left(\frac{t_{\mu }^2}{4}+\frac{5t_{\delta }^2}{12}-\frac{4t_{\delta }^4}{15\left(3t_{\mu }^2+t_{\delta }^2\right)}\right)$$其中，$t_{\mu }=(t_0+t_1)/2$，$t_{\delta }=(t{1}_1-t_0)/2$，$\dot{r}$ 设置为 $1/\sqrt{3}$ 倍的像素大小。详细推导请浏览原论文。
从图中可以看出，${\mu }_t$、${\sigma }_t^2$、${\sigma }_r^2$ 三个值确定了，高斯球也就确定下来了。

那么为什么要将 $\dot{r}$，即圆台半径设置为 $1/\sqrt{3}$ 倍的像素大小(单位像素面积)呢？
Ans：圆的面积为 $\pi r^2=1\to r=\frac{1}{\sqrt{\pi }}\approx 1/\sqrt{3}$

还要将圆台从圆台坐标转换到世界坐标系：
$$\mathbf{\mu }=\mathbf{o}+{\mu }_t\mathbf{d},\Sigma ={\sigma }_t^2(\mathbf{d}{\mathbf{d}}^T)+{\sigma }_r^2(\mathbf{I}-\frac{\mathbf{d}{\mathbf{d}}^T}{\Vert \mathbf{d}{\Vert }_2^2})$$其中，$\mathbf{o}$ 表示相机位置，$\mathbf{d}$ 表示观察方向。

这里得到的 $\mathbf{\mu }$ 就是 $E(X)$，但是我们要求的是 $E(\gamma (X))$，所以接下来继续介绍集成位置编码的概念。

4.3 集成位置编码

在上一章内提到的 NeRF 的位置编码 如下：
$$\gamma (q)=\left(\sin \left(2^0\pi q\right),\cos \left(2^0\pi q\right),\cdots ,\sin \left(2^{L-1}\pi q\right),\cos \left(2^{L-1}\pi q\right)\right)$$该公式在计算上还是比较麻烦，所以想采用一种更简洁的形式表示。
将位置编码写为矩阵的形式：
$$\mathbf{P}={\left[\begin{array}{cccccccccc}1& 0& 0& 2& 0& 0& & 2^{L-1}& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 2& 0& \cdots & 0& 2^{L-1}& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0& 2& & 0& 0& 2^{L-1}\end{array}\right]}^{\mathrm{T}},\gamma (x)=\left[\begin{array}{c}\sin (Px)\\ \cos (Px)\end{array}\right]$$$P$ 的维度为 $3L\times 3$，$\mathbf{x}$ 的维度为 $3\times 1$，最终 $P\mathbf{x}$ 的维度 $3L\times 1$，与原 NeRF 保持一致。

与原位置编码的差异如下：

1. 常数 $\pi$ 被干掉了，前面只是从周期的角度理解，加上 $\pi$ 更自然，但一个固定量对性能的影响并不大；
2. 原 NeRF 是以 $\sin$、$\cos$、$\sin$、$\cos ...$ 的排列方式。现在将 $\sin$ 放在一起，然后将 $\cos$ 放在一起，这种形式更简单。

已知：
$$E(\gamma (x))=\left[\begin{array}{c}E(\sin (Px))\\ E(\cos (Px))\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}E(\sin (p_1))\\ E(\sin (p_2))\\ ⋮\\ E(\cos (p_n))\end{array}\right]$$当 $p$ 服从高斯分布时，计算 $\sin (p)$ 和 $\cos (p)$ 的期望：
$$\begin{array}{rl}{E}_{p\sim \mathcal{N}(\mu ,{\sigma }^2)}[sin(p)]& =sin(\mu )exp(-(\frac{1}{2}){\sigma }^2)\\ E_{p\sim \mathcal{N}(\mu ,{\sigma }^2)}[cos(p)]& =cos(\mu )exp(-(\frac{1}{2}){\sigma }^2)\end{array}$$这样就知道了每一项的计算方式，但这时还没有考虑 $P$ 带来的影响。
将高斯分布映射到经过位置编码后的空间：
$${\mathbf{\mu }}_{\mathbf{\gamma }}=\mathbf{P}\mathbf{\mu },{\Sigma }_{\gamma }=\mathbf{P}\Sigma {\mathbf{P}}^T\text{(对角矩阵)}$$那么集成位置编码 $\gamma (\mathbf{\mu },\Sigma )$ 的期望计算公式如下，其中 $\circ$ 表示逐元素相乘，$diag$ 表示取对角线元素：
$$\gamma (\mu ,\Sigma )=E_{x\sim \mathcal{N}({\mu }_{\gamma },{\Sigma }_{\gamma })}[\gamma (x)]=\left[\begin{array}{c}\sin ({\mathbf{\mu }}_{\gamma })\circ \exp (-(\frac{1}{2})diag({\Sigma }_{\gamma }))\\ \\ \cos ({\mathbf{\mu }}_{\gamma })\circ \exp (-(\frac{1}{2})diag({\Sigma }_{\gamma }))\end{array}\right]$$集成位置编码 $\mathbf{\gamma }(\mathbf{x})$ 的方差计算公式：
$$\begin{array}{rl}diag({\Sigma }_{\gamma })& =[diag(\Sigma ),4diag(\Sigma ),\dots ,4^{L-1}diag(\Sigma ){]}^T\\ diag(\Sigma )& ={\sigma }_t^2(\mathbf{d}\circ \mathbf{d})+{\sigma }_r^2(1-\frac{\mathbf{d}\circ \mathbf{d}}{\Vert \mathbf{d}{\Vert }_2^2})\end{array}$$

5. Mip-NeRF 与 NeRF 的比较

5.1 位置编码与集成位置编码

• NeRF：位置编码，从图中可以看到，高频位置总是有值，所以会产生混叠；
• Mip-NeRF：集成位置编码，理论上越往前的圆锥台越小，就越有可能近似到一个点上(当然遇到空气等另说)。越小的时候，积分区域就越小，表明累加得圆锥台越小，就越容易落到一个点上，高频区域就会有信号值；距离远的时候，平均的数量就变多了，本来差别很大的，就给拉平了，导致更不容易学到高频信息，越高频越没有值-----这样就可以自适应的调节了。
  

5.2 采样差异

• NeRF：以传统方式看一个点，图中都是一个个小圆点，远处和近处看到的都是一样的；
• Mip-NeRF：看到的圆锥台大小都不一样，说明近处看远处看这个点的内容是不一样的。
  

5.3 网络数量

• NeRF：使用了两套网络，先取粗再取细。一个网络关注粗粒度，另一个关注细粒度。这两个网络如果放在一起，就粗不粗细不细；
• Mip-NeRF：因为使用了圆锥台的概念，所有的区域位置信息都会被利用上，所以就没有必要再用两套网络。