飞书链接，格式更好，⭐⭐⭐：长尾 - 什么是麦克斯韦方程

基于作者的内容，做了一些扩展（问了 DeepSeek）

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最美的公式：你也能懂的麦克斯韦方程组（积分篇）
04通量的引入
用一个完全透水（水能够自由的穿过塑料袋）的塑料袋把水龙头包起来
从水龙头出来的所有的水，都必须，穿过这个塑料袋，然后才能去其他地方
从这里，我们就抽象出来了一个非常重要的概念：通量，顾名思义，就是通过一个曲面的某种流量

通过一个闭合曲面的电通量，跟曲面内，包含电荷总量，是成正比的
电荷量越大，通过这个任意闭合曲面的电通量，就越大，反之亦然
这就是麦克斯韦方程组的第一个方程——高斯电场定律的核心思想
高斯电场定律的核心思想：通过一个闭合曲面的电通量，跟【曲面包含的电荷量】，成正比

那么，我们要怎么样把这个思想数学化呢？
电荷的总量好说，就是把所有电荷的带电量加起来
那么通过一个闭合曲面的电通量，要怎么表示呢？
05电场的通量
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06矢量的点乘
矢量因为既有大小又有方向，所以你两个矢量相乘就不仅要考虑它的大小，还要考虑它的方向
我们最常用的点乘（符号为‘·’）

我现在矢量不仅有大小还有方向，那么这个方向怎么体现呢？
不让你两个矢量的大小直接相乘，而是让一个矢量的投影和另一个矢量的大小相乘，这样就既体现了大小又体现了方向
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矢量OA在OB方向上的投影OC可以表示为：OC=|OA|×cosθ。
那么矢量OA和OB的点乘就可以表示为：OA·OB=OC×|OB|=|OA||OB|cosθ。

为什么要将：量的点乘？因为电场强度也是一个矢量
如果我们从矢量的角度来看：电场E，通过一个平面a的电通量Φ，可以表示为这两个矢量（电场和平面）的点乘，即Φ=E·a

高斯电场定律的核心思想是通过闭合曲面的电通量跟曲面包含的电荷量成正比
我们这里得到的只是一个电场通过一个平面的电通量，一个平面和一个闭合曲面还是有相当大的区别的。

07闭合曲面的电通量
知道怎么求一个平面的电通量，要怎么求一个曲面的电通量呢？ 微积分
把这个曲面分割成无穷多份，这样每个小块的面积就都是无穷小，于是我们就可以认为这些小块加起来就等于这个曲面了

如果这个小块的电场强度为E，那么通过这个小块的电通量就是E·da

我们就可以 $$\oint$$ 表示通过这个曲面S的总电通量：$${\oint }_S\mathbf{E}\cdot d\mathbf{a}$$
这个拉长的大S符号就是积分符号，它的右下角那个S代表曲面S
至于这个大S中间的那个圆圈就代表这是一个闭合曲面

DeepSeek：高斯电场定律是什么，通俗易懂解释下
好的！我用一个简单的比喻来解释高斯电场定律：
想象你有一个渔网，用来捞水里的鱼（电荷）。

1. 渔网（高斯面）：你随便选一个形状的网（比如球形、盒子形），把它放在电场中。
2. 鱼的多少（电荷）：网里有多少鱼（电荷量），决定了有多少水流（电场线）穿过渔网。鱼越多，穿过网的水流越强。
3. 定律的核心：网里鱼的数目，直接决定了穿过网的水流量。数学上写为：穿过闭合面的电通量 = 面内总电荷量 ÷ 真空介电常数（ε₀）
   通俗总结：
   电场就像水流，电荷就像水源。高斯定律说——你用一个任意形状的“网”包住电荷，网里电荷越多，穿过这个网的“电场水流”就越强。网外的电荷对“总水流”没贡献（因为水流进又流出，抵消了）。
   例子：

• 如果网里包着一颗带电小球，电场线会像刺猬的刺一样从球面均匀穿出。
• 如果网里没有电荷，总电通量就是零（比如空盒子放在电场中，进去的电场线和出来的一样多）。
  注意： 高斯定律的强大在于，不需要知道电荷具体怎么分布，只要知道网里电荷的总量，就能算电场的总体效果（比如计算均匀带电球体的电场）。但实际计算时，电场对称性越好（比如球对称、无限大平面），用高斯定律越方便。

高斯电场定律 是怎么得到的，实验得到的吗？ 还是公式推导的？ —— 是公式推导的

• 高斯定律（1835年）本质上是库仑定律的积分形式推广。
• 库仑定律（1785年）是实验得出的，描述两个点电荷之间的力与电荷量的乘积成正比，与距离平方成反比：$$F=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{q_1{q}_2}{r^2}$$
  $$F=qE\to E=\frac{F}{q}=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{q}{r^2}$$
  孤立正电荷，通过的电通量为 $$\Phi =E\times 总面积=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{q}{r^2}\times 4\pi r^2=\frac{q}{{ϵ}_0}$$

08方程一：高斯电场定律
高斯电场定律的核心思想就是：通过闭合曲面的电通量跟这个曲面包含的电荷量成正比
因此，第一个方程为 $${\oint }_S\mathbf{E}\cdot d\mathbf{a}=\frac{1}{{ϵ}_0}{Q}_{enc}$$
09方程二：高斯磁场定律
我们可以仿照电场，把磁感应强度为B的磁场，通过一个平面a的磁通量Φ，表示为Φ=B·a
类比通过闭合曲面电通量的作法，我们可以把通过一个闭合曲面S的磁通量表示为：$${\oint }_S\mathbf{B}\cdot d\mathbf{a}$$
高斯磁场定律，它是核心思想似乎就应该是：通过闭合曲面的磁通量，跟这个曲面包含的“磁荷量”，成正比
但是，自然界中

• 有独立存在的正负电荷，电场线都是从正电荷出发，汇集与负电荷
• 但是自然界里并不存在（至少现在还没发现）独立的磁单极子，任何一个磁体都是南北两极共存
  所以，麦克斯韦方程组的第二个方程——高斯磁场定律的核心思想：闭合曲面包含的磁通量恒为0

10电磁感应 —— 描述通过磁通量的快慢
线圈中的一部分，在磁场中，做切割磁感线运动，会产生电流 —— 18 电磁感应原理（👈 实验的视频）
此时，通过曲面S磁通量可以写成 $${\int }_S\mathbf{B}\cdot d\mathbf{a}$$
👆 高斯磁场定律里的积分符号（拉长的S）中间有一个圆圈，我们这里却没有
我们这里不再是讨论闭合曲面的磁通量，而是一个非闭合曲面的磁通量，这个磁通量发生了改变就会产生电流
而且变化得越快，产生的电流就越大
最终决定电流大小的，并不是通过曲面的磁通量的大小，而是磁通量变化的快慢

那么这个变化的快慢我们要怎么表示呢？ $$\frac{d}{dt}{\int }_S\mathbf{B}\cdot d\mathbf{a}$$
这样，我们就把磁生电这个过程中磁的这部分说完了，那么电呢？
一个闭合回路（曲面）的磁通量，有变化，就会产生电，那这种电要怎么描述？

11电场的环流 —— 产生电流的本质是电场
串联电路，电流为什么处处相等
可能有人觉得，磁通量的变化，不是在回路里产生了电流么，那么我直接用电流来描述这种电不就行了么？
不行，我们的实验里之所以有电流，是因为我们用导线把金属棒连成了一个闭合回路
如果我们没有用导线去连金属棒呢？那肯定就没有电流了。

所以，电流并不是最本质的东西，那个最本质的东西是电场。
一个曲面的磁通量发生了变化，它就会在这个曲面的边界感生出一个电场
然后这个电场，会驱动导体中的自由电子，定向移动，从而形成电流
因此，就算没有导线没有电流，这个电场依然存在。所以，我们要想办法描述的是这个被感生出来的电场

首先，一个曲面的磁通量发生了改变，就会在在曲面的边界感应出一个电场
这个电场是环绕着磁感线的，就像是磁感线的腰部套了一个呼啦圈
而且，你这个磁通量是增大还是减小，决定了这个电场是顺时针环绕还是逆时针环绕，如下图：
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如果我们从上往下看的话，这个成闭环的感生电场就是如图所示：它在这个闭环每点的方向都不一样
这样，就刚好可以沿着回路，驱动带电粒子，好像是电场在推着带电粒子在这里环里流动一样

这里，我们就要引入一个新的概念：电场环流
电场的环流，就是电场，沿着闭合路径的线积分
这里有两个关键词：闭合路径和线积分。

• 闭合路径好说，你只有路径是闭合的，才是一个环嘛，感生电场也是一个环状的电场。
• 电场的线积分是什么意思呢？
  • 因为我们发现这个感生电场是一个环状电场，它在每一个点的方向都不一样
  • 但是，我们依然可以发动微积分的思想：这个电场在大范围内（比如上面的整个圆环）方向是不一样的
  • 但是，如果在圆环里取一个非常小的段dl，电场E就可以看做是一个恒定的了，这时候E·dl就是有意义的了
  • 然后把这个环上所有部分的E·dl都累加起来，也就是沿着这个圆环逐段把E·dl累加起来，这就是对电场求线积分
  • 而这个线积分就是电场环流，用符号表示就是这样：$${\oint }_c\dot{E}\cdot dl$$

12方程三：法拉第定律（磁生电）（电场）
麦克斯韦方程组的第三个方程——法拉第定律的最后表述就是这样的
曲面的磁通量变化率，等于感生电场的环流，用公式表述就是这样：$${\oint }_c\dot{E}\cdot dl=-\frac{d}{dt}{\int }_S\mathbf{B}\cdot d\mathbf{a}$$
为什么磁通量的变化率前面会有个负号呢？
感生电场产生的磁通量跟原来磁场的磁通量的变化会有什么关系？ 相反
为了维持一个系统的稳定，你原来的磁通量是增加的，我感生电场产生的磁通量就必然要让原来的磁通量减小，反之亦然。这就是楞次定律

麦克斯韦方程组的第三个方程——法拉第定律，它刻画了变化的磁通量如何产生电场的过程
这里的磁通量变化包含了两种情况：

• 导体运动导致的磁通量变化
• 磁场变化导致的磁通量变化
  这两种情况其实是不一样的，但是它们居然又可以用一个统一的公式来表达，这其实是非常不自然的
  当时的人们也只是觉得这是一种巧合罢了，但是爱因斯坦却不认为这是一种巧合，而是大自然在向我们暗示什么
  他最终从这里发现了狭义相对论，有兴趣的同学可以这里思考一下

也因为这两种情况不一样，所以，法拉第定律还有另外一个版本：它把这两种情况做了一个区分，认为
只有磁场变化，导致的磁通量变化，才是法拉第定律，前面导体运动导致的磁通量变化只是通量法则
所以我们有时候就会看到法拉第定律的另一个版本：$${\oint }_C\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=-{\int }_S\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\cdot d\mathbf{a}$$
对比一下这两个法拉第定律，我们发现，后面这个，只是把那个变化率

• 从原来的针对整个磁通量
• 移到了，只针对磁场强度B（因为B不是只跟时间t有关，还可以跟其它的量有关，所以我们这里必须使用对时间的偏导的符号∂B/∂t）
  也就是说，它只考虑变化磁场导致的磁通量变化。这种形式跟我们后面要说的法拉第定律的微分形式对应得更好，这个后面大家会体会到。

磁生电的过程我们先讲这么多，最后我们来看看电生磁的情况。可能有些人会觉得我这个出场次序有点奇怪：明明是奥斯特先发现了电流的磁效应，大概十年后法拉第才发现了磁如何生电，为什么你却要先讲磁生电的法拉第定律，最后讲电生磁呢？

13安培环路定理
确实，是奥斯特首先爆炸性地发现了电流的磁效应，发现了原来电和磁之间并不是毫无关系的。
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如上图，假设电流从下往上，那么它在周围就会产生这样一个环形的磁场。
磁场的方向可以用所谓的右手定则直观的判断：手握着导线，拇指指向电流的方向，那么你右手四指弯曲的方向就是磁场B的方向

然后毕奥、萨伐尔和安培等人立马着手定量的研究电流的磁效应，看看一定大小的电流在周围产生的磁场的大小是怎样的
于是，我们就有了描述电流磁效应的毕奥-萨伐尔定律和安培环路定理
其中，毕奥-萨伐尔定律就类似于库伦定律，安培环路定理就类似于高斯电场定律
因为在麦克斯韦方程组里，我们使用的是后一套语言，所以我们这里就只来看看安培环路定理：$${\oint }_C\mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}={\mu }_0{I}_{enc}$$
安培环路定理的左边跟法拉第定律的左边很相似，这是很显然的。因为法拉第定律说磁通量的变化会在它周围产生一个旋转闭合的电场
而电流的磁效应，也是在电流的周围，产生一个旋转闭合的磁场
在上面我们已经说了，我们是用电场环流（也就是电场在闭合路径的线积分）来描述这个旋转闭合的电场
那我们这里一样使用磁场环流（磁场在闭合路径的线积分）来描述这种旋转闭合的磁场

安培环路定理的右边就比较简单了，μ0是个常数（真空磁导率），不用管它。I通常是用来表示电流的，enc这个右标我们在高斯电场定律那里已经说过了，它是包含的意思。所以，右边这个带enc的电流I就表示被包含在闭合路径里的总电流，哪个闭合路径呢？那自然就是你左边积分符号中间那个圈圈表示的闭合路径了。

也就是说，安培环路定理其实是在告诉我们：通电导线周围会产生旋转磁场，你可以在这个电流周围随便画一个圈
那么这个磁场的环流（沿着这个圈的线积分）就等于，这个圈里，包含的电流总量，乘以真空磁导率

那么，这样就完了么？静电、静磁分别由两个高斯定律描述，磁生电由法拉第定律描述，电生磁就由安培环路定理描述？

不对，我们看看安培环路定理，虽然它确实描述了电生磁，但是它这里的电仅仅是电流（定理右边只有电流一项）
难道一定要有电流，才会产生磁？
电磁感应被发现的原因，就是看到奥斯特发现了电流的磁效应，发现电能生磁，所以人们秉着对称性的原则，觉得既然电能够生磁，那么磁也一定能够生电。那么，继续秉着这种对称性，既然法拉第定律说“变化的磁通量能够产生电”，那么，我们实在有理由怀疑：变化的电通量是不是也能产生磁呢？
14方程四：安培-麦克斯韦定律
那么，为什么描述电生磁的安培环路定理里却只有电流产生磁，而没有变化的电通量产生磁这一项呢？难道当时的科学家们没意识到这种对称性么？当然不是，当时的科学家们也想从实验里去找到电通量变化产生磁场的证据，但是他们并没有找到。没有找到依然意味着有两种可能：不存在或者目前的实验精度还发现不了它。

如果你是当时的科学家，面对这种情况你会作何选择？如果你因为实验没有发现它就认为它不存在，这样未免太过保守。但是，如果你仅仅因为电磁之间的这样一种对称性（而且还不是非常对称，因为大自然里到处充满了独立的电荷，却没有单独的磁单极子）就断定“电通量的变化也一定会产生磁”这样未免太过草率。这种时候就是真正考验一个科学家能力和水平的时候了。

麦克斯韦选择了后者，也就是说麦克斯韦认为“变化的电通量也能产生磁”，但是他并不是随意做了一个二选一的选择，而是在他的概念模型里发现必须加入这样一项。而且，只有加上了这样一项，修正之后的安培环路定理才能跟高斯电场定律、高斯磁场定律、法拉第定律融洽相处，否则他们之间会产生矛盾（这个矛盾我们在后面的微分篇里再说）
麦克斯韦原来的模型太过复杂，我这里就不说了，这里我用一个很简单的例子告诉大家为什么必须要加入“变化的电通量也能产生磁”这一项

在安培环路定理里，我们可以随意选一个曲面，然后所有穿过这个曲面的电流会在这个曲面的边界上形成一个环绕磁场
问题的关键，就在这个曲面的选取上
按理说，只要你的这个曲面边界是一样的，那么曲面的其他部分，就随便你选
因为安培环路定理坐标的，磁场环流，只是沿着曲面的，边界的线积分而已，所以它只跟曲面边界有关。
下面这个例子就会告诉你即便曲面边界一样，使用安培环路定理还是会做出相互矛盾的结果

简单电容电路 —— 有电流通过曲面
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上图是一个包含电容器的简单电路。电容器顾名思义就是装电的容器，它可以容纳一定量的电荷。
一开始电容器是空的，当我们把开关闭合的时候，电荷在电池的驱动下，开始移动，移动到了电容器这里，就走不动了（此路不通）
然后电荷们就聚集在电容器里。因为电容器可以容纳一定量的电荷，所以，当电容器还没有被占满的时候，电荷是可以在电路里移动的，电荷的移动就表现为电流
电容器充电，在极板两边，进行电荷的累计 ---- > 看起来，像有电流
所以，我们会发现，当我们在给电容器充电的时候，电路上是有电流的，但是电容器之间却没有电流
所以，如果我们选择上图的曲面，那么明显是有电流穿过这个曲面

穿过电容的导线 —— 没有电流通过曲面，但电容量发生变化
但是，如果我们选择下面这个曲面呢（此处图片来自《麦克斯韦方程直观》）？
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没错，电场强度越来越大，那么通过这个曲面的电通量也就越来越大。
因此，我们可以看到，虽然没有电流通过这个曲面，但是通过这个曲面的电通量却发生了改变
此时，电场通量随时间变化，会产生磁场（文章没有说）
实验上可通过高频电路或电磁波观测验证这一现象。
这样，我们就可以非常合理地把“变化的电通量”这一项也添加到产生磁场的原因里
因为这项工作是麦克斯韦完成的，所以添加了这一项之后的新公式就是麦克斯韦方程组的第四个方程
安培-麦克斯韦定律：$${\oint }_C\mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}={\mu }_0\left(I_{\text{enc}}+{ϵ}_0\frac{d}{dt}{\int }_S\mathbf{E}\cdot d\mathbf{a}\right)$$

所以，我们经常能够听到别人说麦克斯韦提出了位移电流假说。
其实，它的核心就是添加了“变化的电通量也能产生磁场”这一项，因为当时并没有实验能证明这一点，所以只能暂时称之为假说。
在安培环路定理里添加了这一项之后，新生的安培-麦克斯韦定律就能跟其他的几条定律和谐相处了。而麦克斯韦之所以能够从他的方程组里预言电磁波的存在，这最后添加这项“变化的电通量产生磁场”至关重要。

因为你想想，预言电磁波的关键就是“变化的电场产生磁场，变化的磁场产生电场”
这样变化的磁场和电场就能相互感生传向远方，从而形成电磁波。而变化的电场能产生磁场，这不就是麦克斯韦添加的这一项的核心内容么？
电场变了，磁通量变了，于是就产生了磁场。至于麦克斯韦方程组如何推导出电磁波，我后面再专门写文章解释，这里知道电磁波的产生跟位移电流的假说密切相关就行了。

上面的话，应该不能证明：变化的电场能产生磁场，对吧

电容器充电的例子无法直接“证明”变化的电场产生磁场，但它揭示了安培定律的缺陷

我们可以用水管和水库的类比来理解这个问题

1. 原安培定律的“漏洞”
   想象一个环形水管（代表磁场环路），中间连接着一个水泵（代表电流）和一个水库（代表电容器）。

• 情况1：如果选择穿过水管的曲面（类似导线曲面），水流（电流）直接穿过曲面，水泵的推力（磁场）由水流决定
• 情况2：如果选择绕过水管、穿过水库的曲面（类似电容器极板间曲面），此时水管中没有水流（电流为零），但水库里的水位（电场）在上升。
  按照原安培定律，水泵的推力（磁场）在这两种情况下会不同，但这显然不合理
  同一水泵的推力，不可能因为观察角度不同而改变

2. 麦克斯韦的修正：引入“虚拟水流”
   麦克斯韦说：“虽然水库里没有实际水流，但水位上升的速度（电场变化率）可以等效为一种虚拟水流（位移电流）。”

• 数学上：将水位上升的速率 $$\frac{dE}{dt}$$ 乘以水库的底面积（电场面积积分），再乘一个系数 $${ϵ}_0$$，
  • 得到虚拟水流的“流量” $$I_{\text{位移}}={ϵ}_0\frac{d}{dt}\int E\cdot da$$
• 物理上：无论你选择哪个曲面，水泵的推力（磁场环流）始终由“实际水流 + 虚拟水流”共同决定。
  这样一来：
• 情况1：实际水流 I 存在，虚拟水流为 0 → 推力由实际水流决定。
• 情况2：实际水流为 0，虚拟水流 $$I_{\text{位移}}=I$$ → 推力由虚拟水流决定。
  结果一致，矛盾消失！

3. 为什么说“变化的电场产生磁场”？
   关键点在于：

• 虚拟水流（位移电流）和实际水流（传导电流）对水泵推力（磁场）的效果完全相同。
• 即使没有电荷流动（如电容器极板间），只要电场在变化（水位在上升），虚拟水流就会产生和水流一样的推力（磁场）。
  换句话说：
  变化的电场（水位变化）→ 等效为一种“电流”（虚拟水流）→ 产生磁场（水泵推力）。
  这就是“变化的电场能像电流一样产生磁场”的核心思想。

4. 举个现实中的例子
   当你在手机充电时：

• 导线中的电流产生磁场（传统电流的贡献）。
• 充电器内部的电容器极板间电场不断变化（电场变化率 $$\frac{dE}{dt}\ne 0$$），相当于有虚拟电流（位移电流）存在，也会产生磁场。
• 总磁场 = 导线电流的磁场 + 电容器电场变化的磁场。
  如果没有麦克斯韦的修正，充电器的磁场计算会出错，甚至无法解释电磁波的存在。
  总结
  麦克斯韦通过引入“位移电流”，本质上是在说：
  变化的电场（$$\frac{dE}{dt}$$）和真实的电流（I）在产生磁场这件事上是“平权”的。
  就像虚拟水流和实际水流都能推动水车一样，变化的电场和真实电流都能产生磁场。
  这一修正不仅让理论自洽，还预言了电磁波的存在（后来被实验证实），彻底改变了人类对电磁学的理解。

15麦克斯韦方程组
麦克斯韦方程组的四个方程：
描述静电的高斯电场定律
描述静磁的高斯磁场定律
描述磁生电的法拉第定律
描述电生磁的安培-麦克斯韦定律的积分形式
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最美的公式：你也能懂的麦克斯韦方程组（微分篇）
麦克斯韦方程组的积分形式是从宏观角度来描述问题，这些曲面都是宏观可见的东西。那么微分形式呢
微分形式似乎应该从微观角度去看问题，那么我们要怎样把曲面、通量这些宏观上的东西弄到微观里来呢？
一个很简单的想法就是：我让宏观上的东西缩小缩小，直到缩小成一个点，这样不就进入微观了么？

01微分形式的静电 —— 无穷小曲面的电通量除以体积
积分中，是这样描述静电的： $${\oint }_S\mathbf{E}\cdot d\mathbf{a}=\frac{1}{{ϵ}_0}{Q}_{enc}$$
因为这个闭合曲面S是可以任何选取的，它可以大可以小，可以是球面也可以是各种乱七八糟的闭合曲面。那么我们就不妨来学习一下孙悟空，变小变小再变小，我让这个闭合曲面也一直缩小缩小，缩小到无穷小，那么这时候高斯电场定律会变成什么样呢？
一个闭合曲面缩小到无穷小，其实就是它的表面积或者体积无限趋向于0：$$\underset{\begin{array}{c}\Delta V\to 0\end{array}}{\lim }$$
这时候高斯电场定律就成了这样：$$\underset{\begin{array}{c}\Delta V\to 0\end{array}}{\lim }{\oint }_S\mathbf{E}\cdot d\mathbf{a}=\frac{1}{{ϵ}_0}{Q}_{enc}$$
如果我们把微观的高斯电场定律左右两边都同时除以体积ΔV，公式就变成了：$$\underset{\begin{array}{c}\Delta V\to 0\end{array}}{\lim }\frac{1}{\Delta V}{\oint }_S\mathbf{E}\cdot d\mathbf{a}=\frac{1}{{ϵ}_0}\frac{Q_{enc}}{\Delta }=\frac{\rho }{{ϵ}_0}$$

• 左边：通过无穷小曲面的电通量，除以一个体积ΔV之后，给它取了个新名字：散度
• 右边：电荷量Q除以体积Δ，结果为电荷密度ρ
  也就是说，电场E在一个点（被无穷小曲面围着的这个点）上的散度，被定义为
  电场通过这个无穷小曲面的电通量除以体积，散度的英文单词是divergence，即：$$div(E)=\underset{\begin{array}{c}\Delta V\to 0\end{array}}{\lim }\frac{1}{\Delta V}{\oint }_S\mathbf{E}\cdot d\mathbf{a}$$
  所以，高斯电场定律的微分形式就可以表示成这样：$$div(E)=\frac{\rho }{{ϵ}_0}$$
  它告诉我们：电场在某点的散度，跟该点的电荷密度，成正比。

这个散度到底有什么物理意义？
我要如何去计算具体的散度（你用无穷小通量去定义散度倒是好定义，但是这样计算可就麻烦了）？

02初入江湖的 $$\nabla$$
用无穷小曲面的通量和体积的比值来定义散度，这样定义是为了突出它跟通量之间的联系
也方便大家从积分的思维自然的转化到微分的思维中来
但是，这种定义在具体计算的时候是没什么用的，我们不会通过去计算无穷小曲面的通量和体积的比值来计算一个点的散度，因为这样实在是太麻烦了
我们有种更简单的方式来计算电场在某个点的散度，而这种方法，就会使用到我们熟悉的倒三角$$\nabla$$符号
在这种新的表示方法里，电场E的散度可以被写成这样：$$\nabla \cdot E$$
所以我们就可以用这个东西替换掉方程左边div(E)，那么麦克斯韦方程组的第一个方程——描述静电的高斯电场定律的微分形式
就可以写成这样：$$\nabla \cdot E=\underset{\begin{array}{c}\Delta V\to 0\end{array}}{\lim }\frac{1}{\Delta V}{\oint }_S\mathbf{E}\cdot d\mathbf{a}=\frac{1}{{ϵ}_0}\frac{Q_{enc}}{\Delta }=\frac{\rho }{{ϵ}_0}$$

微分形式的基本思想还是很简单的，它真正麻烦的地方在于如何寻找一种方便计算的方式，这种方便的计算方式自然就是 $$\nabla$$

04多个变量的偏导数
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比如，山的高度z是关于位置x,y的二元函数z=f(x,y)，这时候地面上的每一个点（x,y）都对应一个值
它的函数图像就是一个曲面（如山的表面），而不再是一条曲线
而曲面上的每一个点有无数个方向（前后左右360°都可以），x和y只是这无数方向中的两个
那我们要如何把握这无数个方向上的高度变化快慢呢？
虽然在函数曲面上的一点有无数个方向，不同方向函数变化的快慢都不一样的，但是我们只要把握了其中的两个，就能把握很多信息。

我们在z=f(x,y)上无法直接定义导数，但是如果我们把y固定起来了
这时候二元函数的曲面就变成了一元函数的曲线，那么我们就在曲线上定义导数了
这种把y的值固定在某个地方，然后计算函数在x轴方向上的导数，叫作关于x的偏导数，记做∂z/∂x
同样，如果我们把x的值固定，计算函数在y轴方向上的导数，那自然就是关于y的偏导数，记做∂z/∂y

05全微分
如果我们把y 的值固定了，那么他在x轴方向上的导数是可以用偏导数∂z/∂x来表示，那么在他沿着x轴移动的时候，他上升的高度就可以写成（∂z/∂x）·dx。同样，接下来他沿着y轴方向走的时候，他上升的高度就可以写成（∂z/∂y）·dy
我们把这两个部分上升的高度加起来，不就得到了最终爬山的高度变化dz的了么？即：$$\mathrm{d}z=\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)\mathrm{d}x+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)\mathrm{d}y$$
这个公式，我们可以把它做作全微分定理，它其实是对上面一元函数导数关系的一个自然推广
它告诉我们，虽然在曲面的一个点上有无数个方向，但是只要我们掌握了其中x和y两个方向上的偏导数，我们就能把握它的函数变化dz

06再谈矢量点乘
性质1：点乘满足交换律，也就是说OA·OB=OB·OA。这个很明显，因为根据定义，前者的结果是|OA||OB| Cosθ，后者的结果是|OB||OA| Cosθ，它们明显是相等的。
性质2：点乘满足分配律，也就是说OA·（OB+OC）=OA·OB+OA·OC。这个稍微复杂一点，我这里就不作证明了，当做习题留给大家~
性质3：如果两个矢量相互垂直，那么它们点乘的结果为0。这个也好理解，如果两个矢量垂直，那么一个矢量在另一个矢量上的投影不就是一个点了么？一个点的大小肯定就是0啊，0乘以任何数都是0。如果大家学习了三角函数，从Cos90°=0一样一眼看出来。
性质4：如果两个矢量方向一样，那么它们点乘的结果就是他们大小相乘。理解了性质3，理解4就非常容易了，从cos0°=1也能一眼便知。
此外要注意的是，点乘是不满足结合律的，也就是说没有（OA·OB）·OC=OA·（OB·OC），为什么？因为两个矢量点乘之后的结果是一个标量，你再让一个标量去点乘另一个矢量压根就没有意义，点乘是两个矢量之间的运算。

矢量的点乘除了不能用结合律以外，其它的都满足

07坐标系下的点乘
[图片]
$$(x_1,y_1)\cdot (x_2,y_{2}y)=(x_1\mathbf{x},y_1\mathbf{y})\cdot (x_2\mathbf{x},y_2\mathbf{y})=x_1{x}_2\mathbf{xx}+x_1{y}_2\mathbf{xy}+y_1{x}_2\mathbf{xy}+y_1{y}_2\mathbf{yy}$$
因为 $$xx=1$$ (因为 x = 1，而如果两个矢量方向一样，那么它们点乘的结果就是他们大小相乘)
因为 $$xy=0$$ (因为互相垂直)
因此 $$(x_1,y_1)\cdot (x_2,y_{2}y)=x_1{x}_2+y_1{y}_2$$

08梯度的诞生

• $$(x_1\vec{x}+y_1\vec{y})\cdot (x_2\vec{x}+y_2\vec{y})=x_1{x}_2+y_1{y}_2$$
  • $$x_1$$和 $$x_2$$ 分开了，并分别和 $$y_1$$ 和 $$y_2$$ 加在一起了
  • 两对情侣，分别分手，然后再和另外的在一起了 ，，，然后，后面的 $$\vec{x}$$，代表他们曾经是一对，，，

于是乎，$$\mathrm{d}z=\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)\mathrm{d}x+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)\mathrm{d}y$$，仿造，得到：$$\mathrm{d}z=\left(\frac{\partial z}{\partial x}\vec{x}+\frac{\partial z}{\partial y}\vec{y}\right)\cdot (\mathrm{d}x\vec{x}+\mathrm{d}y\vec{y})$$

• 左边的，可以这样表示：$$\nabla z=\frac{\partial z}{\partial x}\vec{x}+\frac{\partial z}{\partial y}\vec{y}$$
  • $$\nabla z$$ 的名字就叫：z 的梯度
• 右边的，可以这样表示： $$d\vec{l}=\mathrm{d}x\vec{x}+\mathrm{d}y\vec{y}$$

因此，更简洁的式子：$$dz=\nabla z\cdot d\vec{l}$$

09梯度的性质
$$\nabla z$$ 是一个矢量，根据矢量点乘的定义把它们展开：$$dz=\nabla z\cdot d\vec{l}=|\nabla z||d\vec{l}|cos\theta$$
显然你要让dz取得最大值，就必须让cosθ取最大值1，也就是必须让$$\nabla z$$ 和 $$d\vec{l}$$ 这两个矢量的夹角 $$\theta =0°$$
如果我们移动的方向（$$d\vec{l}$$的方向）跟梯度$$\nabla z$$ 的方向一致的时候，dz 的变化最大，我们高度变化最大
此时，梯度$$\nabla z$$ 的方向，就是高度变化最快的方向，就是山坡最陡的方向

假设你站在一个山坡上四处遥望，那个最陡的地方就是梯度的方向，如果你去测量这个方向的斜率，那这就是梯度的大小。
所以，梯度这个名字还是非常形象的。

10 $$\nabla$$ 算子
$$\nabla z=\frac{\partial z}{\partial x}\vec{x}+\frac{\partial z}{\partial y}\vec{y}$$，这是一个矢量（这是一个矢量，但是它看起来好像是$$\nabla$$ 和一个标量z“相乘”）
我们把这个 z 提到括号的外面来，这时候这个梯度$$\nabla z$$ 就可以写成这样 $$\nabla z=(\frac{\partial }{\partial x}\vec{x}+\frac{\partial }{\partial y}\vec{y})z$$
所以，如果把$$\nabla$$单独拎出来，就得到了这样一个东西：$$\nabla =\frac{\partial }{\partial x}\vec{x}+\frac{\partial }{\partial y}\vec{y}$$

$$\nabla$$本身并不是什么具体的东西
我需要你给我一个函数，然后我对你这个函数进行一顿操作（求x和y的偏导），最后返回一个这个函数的梯度给你
这就像是有一个特定功能的模具：你给我一堆面粉，我一顿处理之后返回你一个饼
显然的，梯度，并不是面粉，也不是饼，它单独的存在没有什么意义，它一定要跟面粉结合，才能产生有具体意义的东西

这种东西叫算子，$$\nabla$$就叫$$\nabla$$算子
基于$$\nabla$$算子的巨大影响力，它又有一大堆其他的名字

• 从它的具体功能上来看，它被称为矢量微分算子
• 因为它是哈密顿引入进来的，所以它又被称为哈密顿算子
• 从读音上来说，它又被称为nabla算子或者del算子

11梯度、散度和旋度
$$\nabla$$算子不是一个矢量，除非你把它作用在一个函数上，否则它没啥意义
但是，它在各个方面的表现确实又像一个矢量，只要你把$$\nabla$$算子的“作用”，看成矢量的“相乘”

一个矢量一般来说有3种“乘法”：

• 1、矢量A和一个标量a相乘：aA。比如我把一个矢量A大小变为原来的2倍，方向不变，那么这时候就可以写成2A
• 2、矢量A和一个矢量B进行点乘：A·B。这个点乘我们上面介绍很多了，A·B=|A||B|cosθ，
• 3、矢量A和一个矢量B进行叉乘：A×B。这个叉乘跟点乘类似，也是我们单独针对矢量定义的另外一种乘法，|A×B|=|A||B|sinθ
  • 这个叉乘跟点乘唯一的区别就是：sin 和 cos

那么，同样的，我们的$$\nabla$$算子也有3种作用方式：
1、$$\nabla$$算子作用在一个标量函数z上：$$\nabla z$$（表示函数z的梯度，它表示这个函数z变化最快的方向）
2、$$\nabla$$算子跟一个矢量函数E点乘：$$\nabla \cdot E$$。这就表示 E 的散度（高斯电场定律的左边就是电场E的散度，见 02初入江湖的 $$\nabla$$ ）
3、$$\nabla$$算子跟一个矢量函数E叉乘：$$\nabla \times E$$。它叫 E 的旋度，这个我们后面会再详细说

$$\nabla$$算子的这三种作用，跟矢量的三种乘法，是非常相似的
只不过$$\nabla$$是一个算子，它必须作用在一个函数上才行，所以我们把上面的标量和矢量，换成了标量函数和矢量函数

我们在描述山的高度的函数z=f(x,y)的时候，不同的点（x,y）对应不同的山的高度
而山的高度只有大小没有方向，所以这是个标量函数，我们可以求它的梯度▽z

---

但是，电场E既有大小又有方向，这是一个矢量，所以我们可以用一个矢量函数E=f(x,y)表示空间中不同点（x,y）的电场E的分布情况
那么，对这种矢量函数，我们就不能去求它的梯度了，我们只能去求它的：散度$$\nabla \cdot E$$和旋度$$\nabla \times E$$

12电场的散度 —— 无穷小曲面的通量，和体积的比值
之前 $$\nabla \cdot E=\underset{\begin{array}{c}\Delta V\to 0\end{array}}{\lim }\frac{1}{\Delta V}{\oint }_S\mathbf{E}\cdot d\mathbf{a}=\frac{1}{{ϵ}_0}\frac{Q_{enc}}{\Delta }=\frac{\rho }{{ϵ}_0}$$ （无穷小曲面的通量，和体积的比值）
因为 $$\nabla =\frac{\partial }{\partial x}\vec{x}+\frac{\partial }{\partial y}\vec{y}$$
所以 $$\nabla \cdot E=(\frac{\partial }{\partial x}\vec{x}+\frac{\partial }{\partial y}\vec{y})\cdot E$$

电场E其实是一个矢量函数（不同点对应的电场的情况），那我们还是可以把E分解成x,y两个分量的和
所以 $$\nabla \cdot E=(\frac{\partial }{\partial x}\vec{x}+\frac{\partial }{\partial y}\vec{y})\cdot (E_x\vec{x}+E_y\vec{y})$$
展开后 $$\nabla \cdot E=\frac{\partial E_x}{\partial x}+\frac{\partial E_y}{\partial y}$$ （这就是电场E的散度的最终表达式）（全微分）
它的意思很明显：我们求电场E的散度
就是把矢量函数E，分解成x和y方向上的两个函数，然后分别对它们求偏导，最后，再把结果加起来，就行了

13为何这两种散度是等价的？
通过无穷小曲面的通量定义的散度很容易理解，跟麦克斯韦方程组的积分形式的通量也有非常大的联系，但是这种定义不好计算
所以我们需要找一种能方便计算、实际可用的方式，这样才出现了 $$\nabla \cdot$$ 形式的散度
至于为什么这两种形式是等价的，我给大家提供一个简单的思路

证明思路：我们假设有一个边长分别为 $$\Delta x、\Delta y、\Delta z$$ 的小长方体，空间中的电场为 $$E(x,y,z)$$
然后假设，在这个长方体的正中心有一个点 $$(x,y,z)$$
那么这个电场，通过这个长方体前面（沿着x轴正方向）的电场就可以表示为：$$E_x(x+\frac{\Delta x}{2},y,z)$$
Ex表示电场在x方向上的分量（因为我们是考虑长方体上表面的通量，所以只用考虑电场的x分量）
因为中心坐标为 $$(x,y,z)$$，那么沿着x轴移动到表面的坐标自然就是 $$(x+\frac{\Delta x}{2},y,z)$$
而这个面的面积为 $$\Delta y\Delta z$$，那么通过前面的电通量就可以写成：$$E_x(x+\frac{\Delta x}{2},y,z)\cdot \Delta y\Delta z$$

同样的，通过长方体后面（沿着x轴的负方向）的电通量，就可以写成 $$E_x(x-\frac{\Delta x}{2},y,z)\cdot \Delta y\Delta z$$
因为这两个面的方向是相反的（前面后面，一个沿着x轴正方向，一个沿着负方向）
所以，这两个沿着x轴方向的，面的电通量之和 $$\Phi x$$，就应该是两者相减：$$\Phi x=E_x(x+\frac{\Delta x}{2},y,z)\cdot \Delta y\Delta z-E_x(x-\frac{\Delta x}{2},y,z)\cdot \Delta y\Delta z$$
如果我们两边都除以Δv（其中，$$\Delta v=\Delta x\Delta y\Delta z$$）
那么就得到：$$\frac{\Phi x}{\Delta v}=\frac{E_x(x+\frac{\Delta x}{2},y,z)\cdot \Delta y\Delta z-E_x(x-\frac{\Delta x}{2},y,z)\cdot \Delta y\Delta z}{\Delta v}$$
然后你会发现，等式的右边刚好就是偏导数的定义（标准的极限定义）

也就是说，电场通过沿着x轴的两个面（前后两面）的通量之和，就等于电场的x分量，对x的偏导数：$$\frac{{\Phi }_x}{\Delta v}=\frac{\partial E_x}{\partial x}$$
同样的，我们发现电场沿着y轴的两面（左右两面）和z轴的两面（上下两面）的电通量之和
分别就等于电场的y分量和z分量对y和z的偏导：$$\frac{{\Phi }_y}{\Delta v}=\frac{\partial E_y}{\partial y}$$、$$\frac{{\Phi }_z}{\Delta v}=\frac{\partial E_z}{\partial z}$$

然后我们把这三个式子加起来

• 左边就是电场通过六个面的通量除以体积，也就是通过这个长方体的通量除以体积
• 右边就是我们▽·E的形式

这分别就是我们上面两种散度的表示方式，证明完成。
这个证明一时半会没看懂也没关系，感兴趣的可以后面慢慢去琢磨。我只是想通过这种方式让大家明白通过某一方向的两个面的通量跟这方向的偏导数之间是存在这种对应关系的，这样我们就容易接受无穷小曲面的通量和▽·这两种散度的定义方式了。
这两种散度的定义方式各有所长，比如我们在判断某一点的散度是否为零的时候，我用第一个定义，去看看包含这个点的无穷小曲面的通量是不是为零就行了

• 如果这一点有电荷，那么这个无穷小曲面的电通量肯定就不为零，它的散度也就不为零；
• 如果这个无穷小曲面没有包含电荷，那这一点的散度一定为0
  这就是高斯电场定律的微分方程想要告诉我们的东西。但是，如果你要计算这一点的散度是多少，那还是乖乖的拿起▽·去计算吧。

14散度的几何意义 —— 橡皮筋
跟梯度一样，散度这个名字也是非常形象的。
很多人会跟你说散度表示的是“散开的程度”，这种说法很容易让初学者误解或者迷惑
比如一个正电荷，产生的电场线，它看起来是散开的，所以很多就会认为这里，所有的点的散度，都是不为零的，都是正的。

但是，根据我们上面分析，散度反映的是无穷小曲面的通量，这直接跟这一点是否有电荷对应。
那么，中心有一个正电荷，那么这点的散度不为零，没毛病
但是其他地方呢？其他地方看起来也是散开的，但是其他地方并没有电荷，没有电荷的话，其他点电场的散度就应该为0（因为这个地方无穷小曲面的通量有进有出，它们刚好抵消了），而不是你看起来的好像是散开的，所以为正。

也就是说，对于一个点电荷产生的电场，只有电荷所在的点的散度不为0，其他地方的散度都为0
我们不能根据一个电场，看起来是散开的，就觉得这里的散度都不为0

那么，这个散开到底要怎么理解呢？
你可以这么操作：你把电场线都想象成水流，然后拿一个非常轻的圆形橡皮筋放到这里
如果这个橡皮筋的面积变大，我们就说这个点的散度为正，反正为负。
如果你把橡皮筋丢在电荷所在处，那么这点所有方向都往外流，那么橡皮筋肯定会被冲大（散度为正）
但是在其他地方，橡皮筋会被冲走，但是不会被冲大（散度为0），因为里外的冲力抵消了
这样的话，这种散开的模型，跟我们无穷小曲面的通量模型就不再冲突了。
15方程一：高斯电场定律
麦克斯韦方程组的第一个方程——高斯电场定律的微分形式
$$\nabla \cdot E=\underset{\begin{array}{c}\Delta V\to 0\end{array}}{\lim }\frac{1}{\Delta V}{\oint }_S\mathbf{E}\cdot d\mathbf{a}=\frac{1}{{ϵ}_0}\frac{Q_{enc}}{\Delta }=\frac{\rho }{{ϵ}_0}$$
$$\nabla \cdot E=\frac{\partial E_x}{\partial x}\vec{x}+\frac{\partial E_y}{\partial y}\vec{y}$$
16方程二：高斯磁场定律
$$\nabla \cdot B=0$$

17旋度 —— 无穷小非闭合曲面的环流和这个曲面的面积之比
法拉第定律：$${\oint }_c\dot{E}\cdot dl=-\frac{d}{dt}{\int }_S\mathbf{B}\cdot d\mathbf{a}$$ （磁生电）（电场）
旋度的另一种定义，就是，无穷小非闭合曲面的环流和这个曲面的面积之比
因为旋度的英文单词是 curl，所以我们用 $$curl(E)$$ 表示电场的旋度
$$curl(E)=\nabla \times E=\underset{\begin{array}{c}\Delta s\to 0\end{array}}{\lim }\frac{1}{S}{\oint }_c\dot{E}\cdot dl$$

18矢量的叉乘
两个矢量A和B的点乘被定义为：A·B=|A||B|Cosθ
它们的叉乘则被定义为|A×B|=|A||B|Sinθ

从它们的几何意义来说

• 点乘，表示的是投影
• 叉乘，表示的是面积

19方程三：法拉第定律
$$curl(E)=\nabla \times E=\underset{\begin{array}{c}\Delta s\to 0\end{array}}{\lim }\frac{1}{\Delta S}{\oint }_c\dot{E}\cdot dl=-\frac{1}{\Delta S}{\int }_S\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\cdot d\mathbf{a}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$$
右边本来是磁感应强度的变化率和面积的乘积，现在除以一个面积，那么剩下的就是磁感应强度的变化率了
故：$$curl(E)=\nabla \times E=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$$

20旋度的几何意义 —— 小风车
我们知道旋度的定义是无穷小曲面的环流和面积的比值，但是它既然取了旋度这个名字，那么它跟旋转应该还是有点关系的。
我们变化的磁场，感生出来的电场，也是一个旋涡状的电场
那么，是不是只要看起来像漩涡状的矢量场，它就一定有旋度呢？

在旋度这里，一个变换的磁场，会产生一个旋涡状的电场
在旋涡的中心，在磁场变化的这个中心点这里，它的旋度肯定是不为零的
但是，在其它地方呢？从公式上看，其它地方的旋度一定为零，为什么？
因为其他地方并没有变化的磁场，所以按照法拉第定律的微分形式，没有变化的磁场的地方的电场的旋度肯定是0。

跟散度一样，我们不能仅凭一个感生电场是不是旋转状的来判断这点旋度是否为0，我们也需要借助一个小道具：小风车
我们把一个小风车放在某一点上，如果这个风车能转起来，就说明这点的旋度不为0。
你只要把风车放在感生电场中心以外的地方，就会发现如果外层的电场线让小风车顺时针转，内层的电场线就会让小风车逆时针转，这两股力刚好抵消了。最终风车不会转，所以旋度为0。

21方程四：安培-麦克斯韦定律
安培-麦克斯韦定律：$${\oint }_C\mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}={\mu }_0\left(I_{\text{enc}}+{ϵ}_0\frac{d}{dt}{\int }_S\mathbf{E}\cdot d\mathbf{a}\right)$$
用同样的方法把这个曲面缩小到无穷小的时候，如果我们在方程的左右两边都除以这个曲面的面积
于是，得到方程 $$\nabla \times B={\mu }_0(J+{ϵ}_0\frac{\partial E}{\partial t})$$
电流I除以面积得到的东西是什么？这里我们定义了一个新的物理量：电流密度J

22麦克斯韦方程组
[图片]
麦克斯韦写出这套方程组以后，就从方程推导出了电磁波
当他把相关的参数代入进去算出电磁波的速度的时候，他惊呆了！他发现这个电磁波的速度跟人们实验测量的光速极为接近
于是他给出了一个大胆的预测：光就是一种电磁波
最后，这篇文章主要参考了《电动力学导论》（格里菲斯）和《麦克斯韦方程直观》（Daniel Fleisch）

见证奇迹的时刻：如何从麦克斯韦方程组推出电磁波？
01什么是波？
这些叫作波的东西有什么共同的特征？我们如何用一套统一的数学语言来描述波？
我们研究物理，就是从万千变化的自然界的各种现象里总结出某种一致性，然后用数学的语言定量、精确的描述这种一致的现象
现在我们发现了水波、绳子上的波等许多现象都有这样一种波动现象，那我们自然就要去寻找这种波动现象背后统一的数学规律，也就是寻找描述波动现象的方程，即波动方程。
波就像一种「振动的接力赛」
比如你往水里扔块石头，水面会一圈圈荡开——这就是水波
但仔细看会发现：水本身并没有跟着波跑到远处，而只是上下晃动
波传递的其实是「上下晃」这个动作，就像一群人站成一排依次举手，看起来像波浪在跑，但人并没有移动
波的核心特点：

1. 传能量不传物质（比如声波传到你耳朵，但空气分子没从喇叭飞进去）
2. 需要「接力选手」（机械波如水波、声波需要水/空气当介质，但光波是电磁波，可以在真空中跑）
3. 能绕过障碍物（你在房间能听见门外声音，因为声波会拐弯）
   eumm，波是一个抽象的东西，还是一个具体的东西
   波，某种现象的描述？？？ 意义是什么？ 为什么要有波？ 它能解决什么问题呢？

你这个问题特别棒！波确实同时具备「具体现象」和「抽象模型」双重属性，用「一体两面」来解释最合适
让我们拆开细说👇
一、波是「具体现象」
当你在现实世界中观察到能量传递但物质不动的现象时，就是波在物理层面的体现：

• 物理实例🌊 水波（水分子原地振动，能量向外传）
• 🔊 声波（空气分子前后推挤，形成疏密振动）
• 🌞 光波（电磁场振动，无需介质也能传播）
  这些是可测量、可观察的真实波动，比如用仪器测声波的频率，用眼睛看水波的扩散。
  二、波是「抽象模型」
  科学家为了描述规律，把波抽象成数学方程和理论工具：
• 数学表达
  • 📐 波动方程：$$\frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=v^2\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}$$
  • 📈 正弦波函数：$$y=A\sin (kx-\omega t)$$（描述振幅、波长、频率等参数）
• 概念延伸
  • 量子力学中的「概率波」、经济学中的「波动周期」……这些是用波的特性隐喻抽象规律
    三、为什么人类需要「波」这个概念？
    1️⃣ 解决实际问题
• 传递信息📡 无线电波（手机信号、WiFi）🩺 超声波（B超检查体内结构）🔊 声呐（潜艇探测海底地形）
• 解释自然现象🌊 海啸预警（研究水波传播规律）🌍 地震波分析（探测地球内部结构）
  2️⃣ 突破感知局限
• 人眼只能看到可见光波（400-700纳米），但通过「波」的概念
  • 🔭 红外线望远镜看恒星诞生🦠 X射线观察微观晶体结构📡 微波雷达追踪天气变化
    3️⃣ 统一科学规律
• 麦克斯韦用波动方程统一电、磁、光
• 量子力学用波函数描述粒子行为
• 广义相对论中引力以「引力波」形式传播
  四、波的终极意义：理解世界的语言
  波的本质是能量和信息的传递方式。它像一把钥匙：
• 🔑 解释「看不见的能量流动」（比如阳光如何穿越太空温暖地球）
• 🔑 设计「跨维度的通信技术」（从烽火台到5G基站，本质都是操控波）
• 🔑 探索「宇宙的运行规则」（从琴弦振动到黑洞合并的引力波，背后都是波动方程）
  🌰 举个栗子：WiFi信号
• 具体现象：路由器发射电磁波
• 抽象模型：用麦克斯韦方程计算信号覆盖范围
• 解决问题：不用网线也能传输数据
  下次连WiFi时，可以想象自己正浸泡在「波」的海洋里——它既是真实的物理存在，又是人类智慧的抽象结晶 🌟
  我们知道一个波是在不停地移动的，上图只是波在某个时刻的样子，它下一个时刻就会往右边移动一点。
  移动了多少也很好计算：因为波速为v，所以Δt时间以后这个波就会往右移动v·Δt的距离

另外，我不管这个时刻波是什么形状的曲线，反正我可以把它看成一系列的点（x,y）的集合
这样我们就可以用一个函数y=f(x)来描述它
然后，y=f(x)只是描述某一个时刻的波的形状，如果我们想描述一个完整动态的波，就得把时间t考虑进来
也就是说，我们的波形，是随着时间变化的
即：我绳子上某个点的纵坐标y，不仅跟横轴x有关，还跟时间t有关，这样的话我们就得用一个二元函数y=f(x,t)来描述一个波

这一步很好理解，它无非告诉我们波是随时间（t）和空间（x）变化的。
但是这样还不够，世界上到处都是随着时间、空间变化的东西，比如苹果下落、篮球在天上飞，它们跟波的本质区别又在哪呢？

高中物理选修一：观察波的产生和传播-哔哩哔哩

02波的本质
既然用f(x,t)来描述波，那么波的初始形状（t=0时的形状）就可以表示为f(x,0)
经过了时间t之后，波速为v，那么这个波就向右边移动了vt的距离
也就是把初始形状f(x,0)往右移动了vt，那么这个结果可以这样表示：f(x-vt,0)
见：后面的变量，代入，得到前面的

如果我们用f(x,t)描述波，那么初始时刻（t=0）的波可以表示为f(x,0)
经过时间t之后的波的图像就等于初始时刻的图像往右移动了vt，也就是f(x-vt,0)
从数学上给出波运动的本质：$$f(x,t)=f(x-vt,0)$$
只要有一个函数满足f(x,t)=f(x-vt,0)，满足任意时刻的形状都等于，初始形状，平移一段，那么它就表示一个波
水波、声波、绳子上的波、电磁波、引力波都是如此，这也很符合我们对波的直观理解
这里我们是从纯数学的角度给出了波的一个描述，下面我们再从物理的角度来分析一下波的形成原因，看看能不能得到更多的信息
03张力
一根绳子放在地上的时候是静止不动的，我们甩一下就会出现一个波动
我们想一想：这个波是怎么传到远方去的呢？
我们的手只是拽着绳子的一端，并没有碰到绳子的中间
但是当这个波传到中间的时候绳子确实动了，绳子会动，就表示有力，作用在它身上
那么这个力是哪里来的呢？

稍微分析一下我们就会发现：这个力，只可能来自，绳子相邻点之间的相互作用
每个点，把自己隔壁的点“拉”一下，隔壁的点就动了（就跟我们列队报数的时候只通知你旁边的那个人一样）
这种绳子内部之间的力叫张力

张力的概念也很好理解，比如我们用力拉一根绳子，我明明对绳子施加了一个力，但是这根绳子为什么不会被拉长？
跟我的手，最近的那个点，为什么不会被拉动？
答案自然是，这个点附近的点，给这个质点，施加了一个相反的张力
这样这个点，一边被我拉，另一边被它邻近的点拉，两个力的效果抵消了
但是力的作用，又是相互的

• 附近的点，给端点施加了一个张力
• 那么这个附近的点，也会受到一个来自端点的拉力
  这个过程可以一直传播下去，最后的结果就是这根绳子所有的地方都会张力

1. 张力本质
   张力，是物体内部，相邻部分之间的，相互作用力
   当绳子被拉伸时，其内部各质点间，会产生相互牵拉的弹性力，这种力的传递，形成了张力
2. 力的平衡机制（以端点为示例）

• 当手拉绳子时，端点（接触手的质点）受到两个力：
  • a. 向外的拉力（手施加的力）
  • b. 向内的拉力（相邻质点通过分子间作用力提供的张力）
• 这两个力大小相等、方向相反，合力为零，因此端点保持静止。
  而且，我们还可以断定：如果绳子的质量忽略不计，绳子也没有打结没有被拉长，那么绳子内部的张力处处相等
  （只要有一个点两边的张力不等，那么这个点就应该被拉走了，绳子就会被拉变形），这是个很重要的结论。

通过上面的分析，我们知道了

• 当一根理想绳子处于紧绷状态的时候，绳子内部存在处处相等的张力
• 当一根绳子静止在地面的时候，它处于松弛状态，没有张力
  • 但是当一个波传到这里的时候，绳子会变成一个波的形状，这时候就存在张力了
    正是这种张力，让绳子上的点，上下振动
    所以，分析这种，张力对绳子的影响，就成了分析波动现象的关键

04波的受力分析
我们就从，处于波动状态的绳子中，选择很小的一段AB
我们来分析一下，这个小段绳子，在张力的作用下，是如何运动的

我们想知道一个物体是怎么动的，只要去去分析它受到了什么力就行了

我们从处于波动状态的绳子里选取很小的一段AB，我们想知道AB是怎么运动的，就要分析它受到的合外力
因为不考虑绳子的质量，所以就不用考虑绳子的重力，那么，我们就只要分析绳子AB两端的张力T就行了
[图片]
B点处向上的张力为T·sin（θ+Δθ），A点向下的张力为T·sinθ
那么，整个AB段在竖直方向上受到的合力就等于这两个力相减：F= T·sin（θ+Δθ）-T·sinθ。

05波的质量分析
当我们取的绳长非常短，波动非常小的时候，我们就可以近似用Δx代替Δl
这样绳子的质量就可以表示为：μ·Δx
06波的加速度分析
用距离的差除以时间差就得到了速度
再用速度的差除以时间差就得到了加速度
这两个过程都是除以时间差
那么，如果我把这两个过程合到一块呢？那是不是就可以说：距离的差除以一次时间差，再除以一次时间差就可以得到加速度？
把一个关于距离（位置）的函数对时间求两次导数，就可以得到加速度的表达式。

波的函数f(x,t)不就是描述绳子上某一点在不同时间t的位置么？
那我们，对f(x,t)，求两次关于时间的导数，自然就得到了这点的加速度a

因为函数f是关于x和t两个变量的函数，所以我们只能对时间的偏导 ∂f/ ∂t
于是我们就可以这样表示这点的加速度 $$a=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial t^2}$$
于是，AB 的运动方程 $$T[sin(\theta +\Delta \theta )-sin\theta ]=\mu \Delta x\frac{{\partial }^{2}f}{\partial t^2}$$

07方程的改造
[图片]
当 $$\theta$$很小的时候，$$a\approx b$$，于是有 $$sin\theta \approx tan\theta =\frac{dy}{dx}$$（代表一条直线的斜率，代表曲线在某一点的导数）

因为波的函数f(x,t)是关于x和t的二元函数，所以我们只能求某一点的偏导数
那么正切值就等于它在这个点的偏导数：$$tan\theta =\frac{\partial f}{\partial x}$$
故，波动方程的公式，可以写成： $$T[\frac{\partial f}{\partial x}{|}_{x+\Delta x}-\frac{\partial f}{\partial x}{|}_x]=\mu \Delta x\frac{{\partial }^{2}f}{\partial t^2}$$
再对方程的两边同时除以Δx
波动方程的公式，可以写成： $$T[\frac{\partial f}{\partial x}{|}_{x+\Delta x}-\frac{\partial f}{\partial x}{|}_x]=\mu \Delta x\frac{{\partial }^{2}f}{\partial t^2}$$，再对方程的两边同时除以Δx
$$T[\frac{\frac{\partial f}{\partial x}{|}_{x+\Delta x}-\frac{\partial f}{\partial x}{|}_x}{\Delta x}]=\mu \frac{\Delta x}{\Delta x}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial t^2}$$，就等于 $$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}=\frac{\mu }{T}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial t^2}$$

经典波动方程的推导过程中
这里我不理解，为什么 牛二，如果 方程的两边同时除以Δx，这是什么东西

除以 Δx 的目的是将方程从“总力与总加速度”的关系，转化为“单位长度上的力与单位质量加速度”的关系
关键总结

1. 除以 Δx 的作用：将总力转化为单位长度上的力，使方程适用于连续介质
2. 极限过程的意义：通过 Δx→0 将差分转化为导数，揭示波动方程的本质是微分方程
3. 牛顿第二定律的连续性推广：从离散微元的力学关系，过渡到连续弦的波动行为
   这一过程完美体现了微积分在物理学中的应用：通过局部离散分析，结合极限思想，最终得到全局连续的动力学方程
   左边就变成了函数∂f/ ∂x在x+Δx和x这两处的值的差除以Δx，这其实就是∂f/ ∂x这个函数的导数表达式
   也就是说，两边同时除以一个Δx之后，左边就变成了偏导数∂f/ ∂x对x再求一次导数，那就是f(x,t)对x求二阶偏导数了
   $$T[\frac{\frac{\partial f}{\partial x}{|}_{x+\Delta x}-\frac{\partial f}{\partial x}{|}_x}{\Delta x}]=\mu \frac{\Delta x}{\Delta x}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial t^2}$$
   就等于 $$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}=\frac{\mu }{T}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial t^2}$$
   08经典波动方程
   绳子的质量为 $$\mu \Delta x$$，张力为 T，那么 $$\frac{\mu }{T}$$代表什么？

• μ 代表绳子的线密度，即单位长度的质量

波速公式 $$v=\sqrt{\frac{T}{\mu }}$$，是 数学推导，和实验验证，结合 的结果（直观理解，确实如此，张力大、线密度小，波速就大）
“张力 T” 和 “线密度 μ” 的物理意义：

• 张力 T：绳子绷紧的程度。张力越大，绳子越“硬”，波动传递时受到的回复力越强，波传播得越快。
• 线密度 μ：单位长度的质量。线密度越大，绳子越“重”，惯性越大，波动传播时需要克服的“阻力”越大，波速越慢。
  通俗类比：
• 想象抖动一条轻软的丝带（μ 小），波会传得很快
• 如果换成一条粗重的铁链（μ 大），波会传得很慢

所以 $$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}=\frac{\mu }{T}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial t^2}$$就可以写成 $$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial t^2}$$ （这就是，我们最终要找的，经典波动方程）
为什么把它作做经典的波动方程呢？因为它没有考虑量子效应啊，在物理学里，经典就是非量子的同义词
如果我们要考虑量子效应，这个经典的波动方程就没用了，我们就必须转而使用量子的波动方程，那就是大名鼎鼎的薛定谔方程。

薛定谔就是从这个经典波动方程出发，结合德布罗意的物质波概念，硬猜出了薛定谔方程
这个方程，让物理学家们，从被海森堡的矩阵支配的恐惧中，解脱了出来，重新回到了微分方程的美好世界
薛定谔方程虽然厉害，但是它并没有考虑狭义相对论效应，而高速运动（近光速）的粒子，在微观世界是很常见的
我们也知道，当物体接近光速的时候，就必须考虑相对论效应，但是薛定谔方程并没有做到这一点

最终让薛定谔方程相对论化是狄拉克，狄拉克把自己关在房间三个月，最终逼出了同样大名鼎鼎的狄拉克方程
狄拉克方程，首次从理论上预言了反物质（正电子），虽然当时的科学家们认为狄拉克这是在胡闹
但是我国的物理学家赵忠尧先生，却几乎在同时，就首次在实验室里，观测到了正负电子湮灭的情况

另外，狄拉克的工作也推动了量子场论的诞生，打开了一扇让人无比神往的新世界大门
物理学家们沿着这条路驯服了电磁力、强力、弱力，建立起了粒子物理的标准模型
于是四海清平，天下大定，除了那该死的引力
“除了那该死的引力”，指的是物理学中一个至今未解的终极难题：如何将引力，纳入量子力学的框架，实现“量子力学”和“爱因斯坦广义相对论”的统一
通俗版解释：
想象物理学家们用“标准模型”这把钥匙，一口气打开了电磁力、强核力、弱核力三扇大门，把它们全装进了量子理论的盒子里
但到了引力这扇门前，钥匙突然卡住了——引力死活不肯进这个盒子

• 为什么引力特殊？
  1. 极度“微弱”：在微观粒子层面（比如电子、夸克），引力比其他三种力弱了$$10^{30}$$倍（1后面30个零！），实验上几乎无法探测量子级别的引力效应。
  2. 时空的“柔软性”：爱因斯坦说，引力是时空弯曲的结果，但量子世界要求时空本身也得“量子化”（变成离散的小块）。这两套描述剧烈冲突，就像硬要把橡皮泥（柔软时空）和乐高积木（量子时空）拼在一起。
• 后果是什么？
  在黑洞中心、宇宙大爆炸瞬间等极端场景，引力和量子效应同时变得极强，但现有理论（广义相对论+标准模型）会同时崩溃，算不出合理结果。物理学家需要一套新理论——量子引力理论。
  现状：
• 尝试过的方案：超弦理论、圈量子引力、全息原理……但这些理论要么缺乏实验证据，要么数学太复杂，尚未被公认。
• 最直接的矛盾：广义相对论是“光滑的经典舞台”，而量子力学是“舞台上跳动的粒子演员”。当舞台本身（时空）也开始“跳动”（量子涨落）时，没人知道怎么描写这场戏。
  类比：
  如果把四大基本力比作武侠世界的四大门派：
• 电磁、强、弱力：已被标准模型“招安”，规矩听话（能用数学描述）。
• 引力：像是一个身怀绝技但性格孤傲的游侠（广义相对论），拒绝和其他门派共用一套武功秘籍（量子理论）。江湖（物理学界）至今没人能说服它入伙。
  这就是为什么物理学家一边为标准模型的成功欢呼，一边盯着引力咬牙切齿：“你这该死的，怎么还不就范！” 😤
  这些精妙绝伦的故事我们后面再讲，如果把这些故事写成一本《量子英雄传》，嗯，一定不比金庸的武侠逊色~

这个看着很复杂的，包含了二阶偏导数的方程其实就只是告诉我们：
我们把这根绳子，极小的一段，看作一个质点，那么这个质点，满足牛顿第二定律F=ma，仅此而已

10真空中的麦克斯韦方程组

• $$\nabla \cdot \mathbf{E}=\frac{\rho }{{\epsilon }_0}$$
• $$\nabla \cdot \mathbf{B}=0$$
• $$\nabla \times \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$$
• $$\nabla \times \mathbf{B}={\mu }_0\left(\mathbf{J}+{\epsilon }_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\right)$$
  $$\nabla =\frac{\partial }{\partial x}\vec{x}+\frac{\partial }{\partial y}\vec{y}$$
  如何从这组方程里，推出电磁波的方程

首先，如果真的能形成波，那么这个波肯定就要往外传，在远离了电荷、电流（也就是没有电荷、电流）的地方它还能自己传播
所以，我们先让电荷密度ρ和电流密度J都等于0，当ρ=0，J=0时，我们得到的就是真空中的麦克斯韦方程组

• $$\nabla \cdot \mathbf{E}=0$$
• $$\nabla \cdot \mathbf{B}=0$$
• $$\nabla \times \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$$
• $$\nabla \times \mathbf{B}={\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$$
  问题：散度 $$\nabla \cdot \mathbf{E}=0$$，那不就等于说电场强度 E 等于 0，没有电场了么？没有电场还怎么来的电磁波？
  其实，电场的散度等于0，只是告诉你通过包含这一点的无穷小曲面的电通量为0，电通量为0，不代表电场E为0啊
  因为我可以进出这个曲面的电通量（电场线的数量）相等。
  这样有多少正的电通量（进去的电场线数量）就有多少负的电通量（出来的电场线数量），进出正负抵消了，所以总的电通量还是0
  于是，这点的散度$$\nabla \cdot \mathbf{E}=0$$就可以为 0，而电场强度 E 却不为 0

电场E的散度为0，不代表电场E为0，它只是要求电通量为0而已，磁场也一样

这样我们再来审视一下真空中（ρ=0，J=0）的麦克斯韦方程组

• 方程1和2告诉我们真空中电场和磁场的散度为0

• 方程3和4告诉我们电场和磁场的旋度等于磁场和电场的变化率

• 前两个方程都是独立的描述电和磁

• 后两个方程则是电和磁之间的相互关系
  我们隐隐约约也能感觉到：如果要推导出电磁波的方程，你肯定得把上面几个式子综合起来，因为波是要往外传的，而你上面单独的方程都只是描述某一点的旋度或者散度
  有一个很简单的把它们都综合在一起的方法：对方程3和方程4两边同时再取一次旋度

• $$\nabla \times \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$$

• $$\nabla \times \mathbf{B}={\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$$
  方程3的左边是电场的旋度 $$\nabla \times \mathbf{E}$$，对它再取一次旋度就变成了 $$\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})$$
  方程3的右边是磁场的变化率，对右边取一次旋度也可以得到磁场B的旋度$$\nabla \times \mathbf{B}$$，这样不就刚好跟方程4联系起来了么？
  在物理场足够光滑的条件下，空间导数（如旋度）和时间导数可以交换顺序，即：$$\nabla \times \left(\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\right)=\frac{\partial }{\partial t}\left(\nabla \times \mathbf{B}\right)$$
  这是数学分析中的Clairaut定理（混合偏导数对称性）的推广
  因为 $$\nabla \times \mathbf{B}={\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$$，所以有 $$\frac{\partial }{\partial t}(\nabla \times \mathbf{B})={\mu }_0{\epsilon }_0\frac{{\partial }^2\mathbf{E}}{\partial t^2}$$
  对方程4两边取旋度看起来也一样，这看起来是个不错的兆头

为什么不取散度？电场E的旋度取散度 $$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{E})$$的结果恒等于 0

• $$\nabla \times \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$$
• $$\nabla \cdot E=(\frac{\partial }{\partial x}\vec{x}+\frac{\partial }{\partial y}\vec{y})\cdot (E_x\vec{x}+E_y\vec{y})$$ 展开后 $$\nabla \cdot E=\frac{\partial E_x}{\partial x}+\frac{\partial E_y}{\partial y}$$
  $$\nabla \times \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$$，即：$$\nabla \times \mathbf{E}=-\frac{\partial B_x}{\partial t}\hat{\mathbf{x}}-\frac{\partial B_y}{\partial t}\hat{\mathbf{y}}-\frac{\partial B_z}{\partial t}\hat{\mathbf{z}}$$
  $$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{E})=\frac{\partial }{\partial x}\left(-\frac{\partial B_x}{\partial t}\right)+\frac{\partial }{\partial y}\left(-\frac{\partial B_y}{\partial t}\right)+\frac{\partial }{\partial z}\left(-\frac{\partial B_z}{\partial t}\right)$$
  时间导数 $$\frac{\partial }{\partial t}$$ 和空间导数 $$\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z}$$ 可交换：$$=-\frac{\partial }{\partial t}\left(\frac{\partial B_x}{\partial x}+\frac{\partial B_y}{\partial y}+\frac{\partial B_z}{\partial z}\right)$$
  根据麦克斯韦方程 $$\nabla \cdot \mathbf{B}=0$$：$$\frac{\partial B_x}{\partial x}+\frac{\partial B_y}{\partial y}+\frac{\partial B_z}{\partial z}=0$$
  最终结果，代入后得到：$$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{E})=-\frac{\partial }{\partial t}(\nabla \cdot \mathbf{B})=-\frac{\partial }{\partial t}(0)=0$$
  “旋度的散度恒为 0”是数学的铁律，与物理定律无关。强行降维会破坏这一恒等式的成立条件，需格外小心！

我们现在的问题变成了：如何求电场E的旋度的旋度（$$\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})$$）？因为旋度毕竟和叉乘密切相关，所以我们还是先来看看叉乘的叉乘

11叉乘的叉乘
标量三重积A·（B×C）其实很简单，两个矢量的叉乘的大小，等于它们组成的平行四边形的面积
那么这个面积，再和一个矢量点乘一把，你会发现这刚好就是三个矢量A、B、C 组成的平行六面体的体积

矢量三重积A×（B×C），跟我们上面说电场E旋度的旋度$$\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})$$形式相近，密切相关
它没有上面标量三重积那样简单直观的几何意义，我们好像只能从数学上去推导，这个推导过程
$$A\times (B\times C)=B(A\cdot C)-C(A\cdot B)$$
记这个公式有个简单的口诀：B 前 - C 前

12旋度的旋度
$$\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})=\nabla (\nabla \cdot E)-E(\nabla \cdot \nabla )$$

如果是一个标量和一个矢量相乘，那么这个标量放在矢量的前面后面都无所谓 $$3C=C3$$，也就是说 $$C(A\cdot B)=(A\cdot B)C$$
那么，同样的，$$E(\nabla \cdot \nabla )$$ 就可以换成$$(\nabla \cdot \nabla )E$$，而它还可以写成$${\nabla }^{2}E$$
这样就牵扯出了另一个大名鼎鼎的东西：拉普拉斯算子$${\nabla }^2$$
13拉普拉斯算子 $${\nabla }^2$$
拉普拉斯算子$${\nabla }^2$$在物理学界可谓大名鼎鼎，它看起来好像是哈密顿算子$$\nabla$$的平方，其实它的定义是梯度的散度
$${\nabla }^{2}T=\nabla \cdot (\nabla T)=\left(\frac{\partial }{\partial x}\hat{x}+\frac{\partial }{\partial y}\hat{y}+\frac{\partial }{\partial z}\hat{z}\right)\cdot \left(\frac{\partial T}{\partial x}\hat{x}+\frac{\partial T}{\partial y}\hat{y}+\frac{\partial T}{\partial z}\hat{z}\right)=\frac{{\partial }^{2}T}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}T}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}T}{\partial z^2}$$
再对比一下三维的 $$\nabla$$ 算子：$$\nabla =\frac{\partial }{\partial x}\hat{x}+\frac{\partial }{\partial y}\hat{y}+\frac{\partial }{\partial z}\hat{z}$$
所以，我们把上面的结果（梯度的散度）写成$${\nabla }^2$$也是非常容易理解的，它跟$$\nabla$$算子的差别也就是每项多了一个平方
于是，拉普拉斯算子$${\nabla }^2$$就自然可以写成这样：$${\nabla }^2=\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}$$
从拉普拉斯算子$${\nabla }^2$$的定义我们可以看到，似乎它只能对作用于标量函数（因为你要先取梯度）
但是我们把$${\nabla }^2$$稍微扩展一下，就能让它也作用于矢量函数V（x,y,z）
我们只要让矢量函数的每个分量分别去取$${\nabla }^2$$，就可以定义矢量函数的$${\nabla }^2$$：$${\nabla }^{2}v=({\nabla }^2{v}_x)\hat{x}+({\nabla }^2{v}_y)\hat{y}+({\nabla }^2{v}_z)\hat{z}$$

我们在求电场旋度的旋度的时候，不就刚好出现了$$(\nabla \cdot \nabla )E$$这个东西么？
现在我们就可以理直气壮地把它替换成$${\nabla }^{2}E$$了
于是，电场旋度的旋度就可以写成这样：$$\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})=\nabla (\nabla \cdot E)-E(\nabla \cdot \nabla )=\nabla (\nabla \cdot E)-({\nabla }^2)E$$
它告诉我们：电场的旋度的旋度，等于电场散度的梯度，减去电场的拉普拉斯
有了它，电磁波的方程立马就可以推出来了
14见证奇迹的时刻
法拉第定律：$$\nabla \times \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$$
左边取旋度：$$\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})=\nabla (\nabla \cdot E)-E(\nabla \cdot \nabla )=\nabla (\nabla \cdot E)-({\nabla }^2)E$$
右边取旋度：$$\nabla \times \left(-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\right)=-\frac{\partial }{\partial t}\left(\nabla \times \mathbf{B}\right)$$
于是有：$$\nabla (\nabla \cdot E)-({\nabla }^2)E=-\frac{\partial }{\partial t}\left(\nabla \times \mathbf{B}\right)$$
因此真空中的麦克斯韦方程组 $$\nabla \cdot \mathbf{E}=0$$、$$\nabla \times \mathbf{B}={\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$$
所以有：$$0-({\nabla }^2)E=-\frac{\partial }{\partial t}\left({\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\right)$$，即：$${\nabla }^{2}E={\mu }_0{\epsilon }_0\frac{{\partial }^2\mathbf{E}}{\partial t^2}$$
经典波动方程： $$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial t^2}$$（一维的情况）
三维的情况，波动方程的左边应该写成三项，这三项刚好就是 f 的三维拉普拉斯：$${\nabla }^{2}f=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial z^2}$$
经典波动方程其实可以用拉普拉斯算子写成如下更普适的形式：$${\nabla }^{2}f=\frac{1}{v^2}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial t^2}$$

• $${\nabla }^{2}E={\mu }_0{\epsilon }_0\frac{{\partial }^2\mathbf{E}}{\partial t^2}$$
• $${\nabla }^{2}f=\frac{1}{v^2}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial t^2}$$
  形式一模一样的，于是认为：电场E，是一个波

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关于电生磁：$$\nabla \times \mathbf{B}={\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$$
左边取旋度：$$\nabla \times (\nabla \times \mathbf{B})=\nabla (\nabla \cdot B)-B(\nabla \cdot \nabla )=\nabla (\nabla \cdot B)-({\nabla }^2)B$$
右边取旋度：$$\nabla \times \left({\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\right)={\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial }{\partial t}\left(\nabla \times \mathbf{E}\right)$$
于是有：$$\nabla (\nabla \cdot B)-({\nabla }^2)B={\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial }{\partial t}\left(\nabla \times \mathbf{E}\right)$$
因此真空中的麦克斯韦方程组 $$\nabla \cdot \mathbf{B}=0$$、$$\nabla \times \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$$
所以有：$$0-({\nabla }^2)B={\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial }{\partial t}\left(-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\right)$$，即：$${\nabla }^{2}B={\mu }_0{\epsilon }_0\frac{{\partial }^2\mathbf{B}}{\partial t^2}$$

• $${\nabla }^{2}B={\mu }_0{\epsilon }_0\frac{{\partial }^2\mathbf{B}}{\partial t^2}$$
• $${\nabla }^{2}f=\frac{1}{v^2}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial t^2}$$
  形式一模一样的，于是认为：磁场B，是一个波
  15电磁波的速度
  对比式子发现：$${\mu }_0ϵ0=\frac{1}{v^2}\to v=\frac{1}{\sqrt{{\mu }_0ϵ0}}$$
  $$\mu 0=4\pi \times 10^{-7}N/A^2，\epsilon 0=8.854187818\times 10^{-12}(F/m)$$，代入具体数字，可得
  $$v=\sqrt{\frac{1}{(4\pi \times 10^{-7}\text{m}\cdot \text{kg}/{\text{C}}^2)\left[8.8541878\times 10^{-12}{\text{C}}^2\cdot {\text{s}}^2/(\text{kg}\cdot {\text{m}}^3)\right]}}=\sqrt{8.987552\times 10^{16}{\text{m}}^2/{\text{s}}^2}=2.9979\times 10^8\text{m/s}$$
  再查一下真空中的光速 c=299792458m/s。
  前者是我们从麦克斯韦方程组算出来的电磁波的速度，后者是从实验里测出来的光速
  有这样的数据做支撑，麦克斯韦当年才敢大胆的预测：光就是一种电磁波

麦克斯韦（大概印象）（之前记录的一些的内容，没删）
麦克斯韦方程组是什么？电场和磁场有什么重要联系？李永乐老师讲最美物理公式
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• 通量：法线 E x S，或者积分形式（垂直来看）
• 路径积分：沿路径的分量 x 路径长度（同向，水平来看）

第一个式子
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闭合面，将电荷，包起来（电荷越多，产生电场越强，这个闭合面的，电通量，越大）
如果，一个闭合面，不包电荷，穿过该闭合面的电场，还会出来，故，电通量为 0
故，一个闭合面的电通量，取决于，内部，包多少电荷
电场，有出发点，出发点 —— 电荷，故，为：有源
第二个式子
磁场，闭合的线
每一根磁感线，既要穿出，也要穿出（这里，要想象成三维而不是二维的）（是一个体积，或者干脆想象成一个球）（因此，磁场是闭合的，所以，这个球，不能，完全把 “磁场” 给包起来，故，任何进入球的磁场，一定会从球的另一端，出去）
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故，磁感线，为 0
第三个公式
变化的磁场，产生电流（电流的产生：因此电荷运动，进一步来说，是因为电场）
所以，麦克斯韦认为，磁场变化的时候，就会产生电场
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路径积分：圆圈上，电场 x 周长
电场的路径积分，取决于，磁场的变化率

第四个式子
电流，或变化的电场，能产生磁场
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