典型随机过程
（１）白噪声过程
１）理想白噪声
２）限带白噪声
（2）高斯过程
（3）高斯-马尔科夫过程
理想白噪声
若N(t)为一个具有零均值的平稳随机过程，其功率谱密度均匀分布在
(
−
∞
,
+
∞
)
(-\infty,+\infty)
(−∞,+∞)的整个频率区间，即
（功率谱密度）
S
N
(
w
)
=
1
2
N
0
（功率谱密度）S_N(w)=\frac12N_0
（功率谱密度）SN(w)=21N0其中
N
0
N_0
N0为正实数，则称N(t)为白噪声过程
理想白噪声自相关函数为
R
N
(
τ
)
=
1
2
π
∫
∞
∞
S
N
(
w
)
e
j
w
τ
d
w
=
N
0
4
π
∫
∞
∞
e
j
w
τ
d
w
=
1
2
N
0
δ
(
τ
)
R_N(\tau)={ \frac{1}{2\pi}\int_{{\infty}}^{\infty} S_N(w)e^{jw\tau}}dw=\frac{N_0}{4\pi}{\int_{{\infty}}^{\infty} e^{jw\tau}}dw=\frac12N_0\delta(\tau)
RN(τ)=2π1∫∞∞SN(w)ejwτdw=4πN0∫∞∞ejwτdw=21N0δ(τ)
1、白噪声只是一种理想化的模型，是不存在的。
2、白噪声的均方值为无限大，而物理上存在的随机过程，其均方值总是有限的。
3、白噪声在数学处理上具有简单、方便等优点。
限带白噪声
若过程的功率谱密度满足
则称此过程为低通型限带白噪声。将白噪声通过一个理想低通滤波器，便可产生出低通型限带白噪声。
低通型限带白噪声的自相关函数为：
R
X
(
τ
)
=
1
2
π
∫
∞
∞
S
X
(
w
)
e
j
w
τ
d
w
=
1
2
π
∫
−
W
W
S
0
e
j
w
τ
d
w
=
W
S
0
π
s
i
n
W
τ
W
τ
R_X(\tau)={ \frac{1}{2\pi}\int_{{\infty}}^{\infty} S_X(w)e^{jw\tau}}dw=\frac{1}{2\pi}{\int_{{-W}}^{W} S_0e^{jw\tau}}dw=\frac{WS_0}{\pi}\frac{sinW\tau}{W\tau}
RX(τ)=2π1∫∞∞SX(w)ejwτdw=2π1∫−WWS0ejwτdw=πWS0WτsinWτ
图示出了低通型限带白噪声的功率谱密度和自相关函数的图形 ，注意，时间间隔为
π
W
\frac{\pi}{W}
Wπ 整数倍的那些随机变量，彼此是不相关的（均值为0，相关函数值为0)。
高斯随机过程
任一时刻的取值都服从高斯分布的随机过程，且不同时刻取值的联合分布也是多元高斯分布。
高斯-马尔科夫过程
高斯随机过程又是马尔可夫随机过程
随机信号的联合特征
生物医学信息研究中往往需要同时观察几个信号。例如，脑电图通常要在头皮的多个位置同时测量。当研究几组随机信号的相互关系时，需要采用联合特征来描述。
下面讨论两个随机信号x(t)和y(t)间的二阶统计特征:互相关函数和互谱密度。
讨论二阶统计特征时要引用的是两个变量间的二维联合概率密度函数。如果这个概率密度函数不依赖时间原点的位置，只与时间差有关，则称此两过程是广义联合平稳的。
互相关函数定义为：(
τ
\tau
τ为时间差)
R
X
Y
(
τ
)
=
E
[
X
(
t
)
Y
(
t
+
τ
)
]
=
∫
∫
x
y
p
(
x
,
y
;
τ
)
d
x
d
y
R_{XY}(\tau)=E[X(t)Y(t+\tau)]\\=\int\int xyp(x,y;\tau)dxdy
RXY(τ)=E[X(t)Y(t+τ)]=∫∫xyp(x,y;τ)dxdy
互协方差定义为：
C
X
Y
(
τ
)
=
R
X
Y
(
τ
)
−
m
X
m
Y
C_{XY}(\tau)=R_{XY}(\tau)-m_Xm_Y
CXY(τ)=RXY(τ)−mXmY
互相关函数和互协方差是衡量随机过程X和Y在不同时刻取值的相关性的联合特征
若两个联合平稳的随机过程，同时又是遍历的，则互相关函数等于时间互相关。
互相关函数的傅里叶变换称为互谱密度
若X、Y各自平稳且联合平稳，则有互谱密度与其互相关函数互为傅里叶变换对。
互谱密度一般是w的复函数，实部叫作共谱密度，虚部叫作交谱密度。注意，互谱一般并不具有功率含义。
互谱密度也可以表示成有限时间信号傅里叶变换的极限值。
考虑两个平稳实随机过程X、Y， 它们的样本函数分别为𝑥(𝑡) 和𝑦(𝑡) ，定义两个截取函数𝑥𝑇(𝑡) 、𝑦𝑇(𝑡)为：
定义互功率谱密度为：
互相关函数的应用
例题
