动态规划

动态规划五步曲

动态规划数组的含义 dp[i]

递推公式

动态规划数组的初始化

确定遍历顺序

手动模拟验证

动态规划遇到问题要打印dp数组，看和模拟结果哪里不一样

一 基础问题

斐波那契数

题干

斐波那契数 （通常用 F(n) 表示）形成的序列称为 斐波那契数列 。该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是：

F(0) = 0，F(1) = 1
F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，其中 n > 1

给定 n ，请计算 F(n) 。

思路

（1）dp[i]表示i的斐波那契数

（2）转移公式：dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2]

（3）初始条件 ：dp[0]=0 dp[1]=1

（4）从前向后遍历

要先排除不能使I-2有效的

class Solution {
public:
    int fib(int n) {
        vector<int>dp(n+1,0);
        dp[0]=0;
        if(n>=1)dp[1]=1;
        for(int i=2;i<=n;i++){
            dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2];
        }
        return dp[n];
    }
};

爬楼梯

题干

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

思路

（1）dp[i]表示到第i阶的方法数

（2）转移公式：dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2]

（3）初始条件 ：dp[0]=1 dp[1]=1 （dp[0]表示到达地面的方法数)

（4）从前向后遍历

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        if(n<2)return 1;
        vector<int>dp(n+1,0);
        dp[1]=1;
        dp[0]=1;
        for(int i=2;i<=n;i++){
            dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2];
        }
        return dp[n];
    }
};

使用最小花费爬楼梯

题干

给你一个整数数组 cost ，其中 cost[i] 是从楼梯第 i 个台阶向上爬需要支付的费用。一旦你支付此费用，即可选择向上爬一个或者两个台阶。

你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯。

请你计算并返回达到楼梯顶部的最低花费。

思路

（1）dp[i]表示走到第i个台阶（下标为i的台阶）最小花费

（2）转移公式

dp[i]=min(cost[i-1]+dp[i-1],cost[i-2]+dp[i-2])

如果一次走一个，那么从i-1出发需要支付cost[i-1]和到i-1的最小花费dp[i-1]；一次走2个，那么从i-2出发需要支付cost[i-2]和到i-2的最小花费dp[i-2]

（3）初始化：可以从下标为0或1出发，所以，dp[0]=0 dp[1]=0

（4）从前向后遍历

class Solution {
public:
    int minCostClimbingStairs(vector<int>& cost) {
        vector<int>dp(cost.size()+1,0);
        dp[0]=0;
        dp[1]=0;
        for(int i=2;i<=cost.size();i++)
        {
            dp[i]=min(cost[i-1]+dp[i-1],cost[i-2]+dp[i-2]);
        }
        return dp[cost.size()];
    }
};