CH3

3.1 几种损失函数

3.2 激活函数性质

3.3 哪几种激活函数会发生梯度消失

3.4 为什么会梯度消失

3.5 如何解决梯度消失和过拟合

3.6 梯度下降的区别

3.6.1 梯度下降（GD）

• 全批量：在每次迭代中使用全部数据来计算损失函数的梯度。
• 计算成本高：对于大数据集来说，每次迭代的计算成本非常高。
• 稳定收敛：由于每次都利用全部数据，因此梯度的估计非常准确，收敛路径平滑。

3.6.2 随机梯度下降（SGD）

• 单个样本：在每次迭代中随机选择一个数据样本来计算梯度。
• 计算成本低：每次只处理一个样本，大大减少了计算量。
• 收敛波动大：由于每次只用一个样本更新，梯度估计的方差较大，导致收敛过程中有较多波动。

3.6.3 Mini-batch梯度下降

• 小批量样本：在每次迭代中使用一小部分数据样本（例如32或64个样本）来计算梯度。
• 计算成本适中：平衡了全批量的计算效率和随机梯度的更新速度。
• 收敛相对稳定：小批量的使用减少了梯度估计的方差，使得收敛过程比随机梯度下降更稳定，但又比全批量梯度下降更灵活。

3.7 DNN

3.7.1 反向传播算法过程

将输出误差以某种形式反传给各层所有的单元，各层按本层误差修正各单元连接权值。

3.7.2 训练步骤

3.8 CNN

3.8.1 CNN的组成

由卷积层、子采样层、全连接层交叉堆叠而成

3.8.2 对比DNN

3.9 GNN

3.9.1 基本GNN和GCN的公式对比

3.9.1.1 基本GNN的公式

$$h_v^k=\sigma \left(W_k\sum _{u\in \mathcal{N}(v)}\frac{h_u^{k-1}}{|\mathcal{N}(v)|}+B_k{h}_v^{k-1}\right)$$

• 核心思想：
  • 聚合节点 $v$ 的邻居节点特征 $h_u^{k-1}$ 的平均值。
  • 使用两个不同的权重矩阵 $W_k$ 和 $B_k$ 分别对邻居特征和节点自身特征进行线性变换。
  • 通过激活函数 $\sigma$（例如 ReLU 或 tanh）引入非线性。
• 特点：
  • 对所有邻居进行简单的平均（即 $\frac{1}{|\mathcal{N}(v)|}$），没有对邻居节点的重要性加权。
  • 参数共享较少，特征变换对邻居和节点自身分开处理。

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3.9.1.2 GCN的公式

h v k = σ ( W k ∑ u ∈ N ( v ) ∪ { v } h u k − 1 ∣ N ( u ) ∣ ∣ N ( v ) ∣ ) h_v^k = \sigma \left( W_k \sum_{u \in \mathcal{N}(v) \cup \{v\}} \frac{h_u^{k-1}}{\sqrt{|\mathcal{N}(u)||\mathcal{N}(v)|}} \right) hvk​=σ ​Wk​u∈N(v)∪{v}∑​∣N(u)∣∣N(v)∣ ​huk−1​​ ​

• 改进点：
  1. 归一化：
     • 替代简单的平均聚合，GCN引入对称归一化因子 $\frac{1}{\sqrt{|\mathcal{N}(u)||\mathcal{N}(v)|}}$，减小高度节点（高度数节点）对结果的影响。
  2. 参数共享：
     • 同一权重矩阵 $W_k$ 用于邻居特征和节点自身特征变换，减少参数数量，提高模型泛化能力。
  3. 自环（Self-loop）：
     • 邻域中加入节点自身（即 N ( v ) ∪ { v } \mathcal{N}(v) \cup \{v\} N(v)∪{v}），保证每层节点都能保留自身信息。
• 特点：
  • 更好的参数共享，减少了过拟合的风险。
  • 归一化权重避免了高度数节点的特征主导问题。

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3.9.2 GNN池化的概念

池化可以理解为图卷积过程中特征和节点的降维操作。以下是两种池化方式的相关描述：

3.9.2.1 全局池化

• 汇总整个图的节点特征，用于生成固定维度的图表示。
• 常见方式：
  • 平均池化：取所有节点特征的平均值。
  • 最大池化：取节点特征的最大值。
  • 加权池化：根据任务需求对节点特征加权后聚合。

3.9.2.2 局部池化

• 在每一层中，通过选择部分重要节点，逐层减少图中节点的数量，同时保留主要的结构信息。
• 常见方式：
  • Top-$k$池化：根据节点重要性评分选择得分最高的节点。
  • 可微分池化（DiffPool）：通过学习分配矩阵动态生成池化结果。

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3.9.3 GCN的改进特点

1. 参数共享（More parameter sharing）：

   • GCN使用相同的权重矩阵 $W_k$ 对邻居节点和自身节点的特征进行线性变换。
   • 减少参数数量，提升模型训练稳定性。

2. 削弱高度节点的影响（Down-weights high degree neighbors）：

   • 通过对称归一化因子 $\frac{1}{\sqrt{|\mathcal{N}(u)||\mathcal{N}(v)|}}$，减小度数大的节点对目标节点的特征贡献。
   • 防止高度数节点主导聚合特征，造成模型偏差。

3.9.4 总结

• 基本GNN：通过简单平均的方式聚合邻居特征，参数较多，但未对邻居节点的贡献权重进行优化。
• GCN：引入对称归一化和参数共享机制，使模型更稳定、高效，同时减少过拟合。
• GNN池化：可以进一步通过全局或局部池化操作提取图或节点的高层次特征，适应更复杂的任务需求。

3.9.5 邻接节点个数不确定如何解决？

• 邻居信息聚合：
  • 核心思想：将目标节点的特征更新为其自身特征和邻居特征的组合。
• 参数共享：
  • GNN采用共享的权重矩阵（如图中的 $W_k$ 和 $B_k$），即在同一层中所有节点使用相同的参数。
• 邻接节点特征聚合：
  • 对每个节点的邻域进行聚合，生成一个固定维度的邻域表示（如 $W_k{h}^{k-1}$）。

实心节点（蓝色圆点）代表的是实心结点（实际节点），它们是对应的实心结点的邻接结点聚集。

• 在原始图结构(左图)中，每个节点都有其自然的邻接关系(通过灰色线连接)
• 对于层次 $h^k$ 到 $h^{k-1}$ 之间的信息传递：
  • 设定了锚点（实心节点）
  • 使用注意力机制或聚合函数（图中通过 $W_k$ 和 $B_k$ 表示）来学习和聚集信息
  • 将相邻节点的信息聚集到这些锚点上
• 具体的聚集过程：
  • 通过权重矩阵 $W_k$ 来计算注意力分数或重要性权重
  • 使用 $B_k$ 来转换或投影特征
  • 最终将邻域节点的信息加权聚合到固定数量的锚点上

3.9.6 GNN训练，卷积步骤

在最后一层（K层）得到每个结点的表示后，可以根据任务将其代入任何损失函数，然后用梯度下降法训练参数。

3.10 RNN

• DNN、CNN 输入、输出定长；处理输入、输出变长问题效率不高。而自然语言处理中的语句通常其长度不固定。
• 单一DNN、CNN 无法处理时序相关序列问题

RNN核心思想：

• 将处理问题在时序上分解为一系列相同的“单元”，单元的神经网络可以在时序上展开，且能将上一时刻的结果传递给下一时刻，整个网络按时间轴展开。即可变长。
  

3.10.1 训练中的问题以及解决方式

会出现和深度前馈神经网络类似的梯度消失问题。在训练循环神经网络时，更经常出现的是梯度消失问题，训练较难

距当前节点越远的节点对当前节点处理影响越小，无法建模长时间的依赖

3.10.2 BPTT和BP的区别

参考链接

3.10.3 LSTM, GRU

3.10.4 设计题参考结构

补充

反向传播算法中第 L-1 层的误差项表达式：

$${\delta }^{(L-1)}={\sigma }^{\prime }(Z^{(L-1)})\cdot (W^{(L)}{)}^{\top }{\delta }^{(L)}$$

其中：

• ${\sigma }^{\prime }$ 表示激活函数的导数
• $Z^{(l)}$ 是第 l 层的加权输入
• $W^{(l)}$ 是第 l 层的权重矩阵
• ${\delta }^{(l)}$ 是第 l 层的误差项

推导步骤：

1. 前向传播定义
   第 l 层的输出 $A^{(l)}$ 表示为：
   $$A^{(l)}=\sigma (Z^{(l)})=\sigma (W^{(l)}{A}^{(l-1)}+b^{(l)})$$

2. 损失函数定义
   使用均方误差(MSE)作为损失函数 J：
   $$J=\frac{1}{2}\Vert A^{(L)}-Y{\Vert }^2$$

3. 计算输出层误差项 ${\delta }^{(L)}$：
   $${\delta }^{(L)}=\frac{\partial J}{\partial Z^{(L)}}=(A^{(L)}-Y)\cdot {\sigma }^{\prime }(Z^{(L)})$$

4. 递推计算隐藏层误差项
   对于第 l 层 (l = L-1, L-2, …, 1)：
   $${\delta }^{(l)}=\frac{\partial J}{\partial Z^{(l)}}=(W^{(l+1)}{)}^{\top }{\delta }^{(l+1)}\cdot {\sigma }^{\prime }(Z^{(l)})$$

具体到 l = L-1：
$${\delta }^{(L-1)}=(W^{(L)}{)}^{\top }{\delta }^{(L)}\cdot {\sigma }^{\prime }(Z^{(L-1)})$$

通过链式法则详细推导：

1. 误差项 ${\delta }^{(l)}$ 可表示为：
   $${\delta }^{(l)}=\frac{\partial J}{\partial Z^{(l)}}=\frac{\partial J}{\partial A^{(l)}}\cdot \frac{\partial A^{(l)}}{\partial Z^{(l)}}$$

2. 其中：

   • $\frac{\partial A^{(l)}}{\partial Z^{(l)}}={\sigma }^{\prime }(Z^{(l)})$
   • $\frac{\partial J}{\partial A^{(l)}}=(W^{(l+1)}{)}^{\top }{\delta }^{(l+1)}$

3. 最终得到第 L-1 层的误差项：
   $${\delta }^{(L-1)}={\sigma }^{\prime }(Z^{(L-1)})\cdot (W^{(L)}{)}^{\top }{\delta }^{(L)}$$

第 L-1 层的误差是由第 L 层的权重矩阵和误差项传递，并与第 L-1 层激活函数的导数相乘得到的。