环：

定义：  加法交换群 + 乘法半群 + 分配律

域的定义：

加法交换群 + 乘法群（去掉0元是交换群） + 分配律

Eg:比如整数集合不是域，因为对于乘法来说，去掉0后没有单位元了，但是是环

Eg:n>1的实数矩阵群也不是域，因为乘法没有交换律 ，但是是一个环

注意：环or域可以只包含1个元素

环的性质：

(1)所有整数在整数的加法与乘法下作成一个环，叫做整数环。{0,1,…..,n-1}在模n加法与乘法下也作成环，叫做模n整数环。

(2)所有n阶矩阵在矩阵的加法与乘法下作成一个环，叫做矩阵环。

(3)实数域上的所有多项式在多项式加法与乘法下作成一个环，叫做多项式环。

(4)整数模n的所有剩余类集合{0,1,…..,n-1}在剩余类加法与乘法下作成一个环。叫做模n剩余类环。

(5)所有有理数、所有实数、所有复数在数的加法和乘法下都可作成环。

性质 a(c-b)=ac-ab,(c-b)a=ca-ba。

性质 a0=0，0a=0.

性质a(-b)=-(ab),(-a)b=-(ab),(-a)(-b)=ab

性质 对任意整数m，都有a(mb)=(ma)b=m(ab)。

性质a^ma^n=a^(m+n),(a^m)^n=a^mn

交换环:

乘法满足交换律,满足交换律才有 (ab)^n=a^n*b^n 和 二项式定理

含1环:

如果R不只有一个元素而且有一个元素1,对任意a属于R都满足,且这个1唯一确定

 (元素数量至少为2) 而且1!=0

性质:
任何一个环可以扩充为1个含1环

子环:R的子集R’仍是环:

判定: 非空 +  加法可逆 + 乘法存在 a*b

如果环中有1.子环未必有1

零因子:

对于a!=0,b!=0 -> a*b=0 .则a,b是0因子

如果R没有这样的元素,R叫做无零因子环

练习题:

整数环是无零因子环;

矩阵环不是无零因子环有零因子

如果是模n的整数群,如果n是素数就是无零因子群,反过来就不是

消去环：

如果是无零因子环 等价于 消去律成立 ---> 无零因子环也叫消去环

性质:
1.0的加法周期是1

2,其他元素的加法周期是一样的  是0(无限)或者是质数

整区:

是有 乘法单位元 无零因子 的交换环  大小至少是2

练习题:

以下哪些是整区? ACD

整数环 偶整数环 模2整数环 模5整数环 模6整数环

体:

环 + 乘法群(去掉0之后)

体有1 且 任意非0元有逆元 且 无零因子 (消去)

练习题:
以下哪些是体? C

整数环 偶整数环 模5整数环 模6整数环

域也叫做交换体(乘法有交换律)

体and 域的大小至少2

以下哪些是域?CE

(A)整数环(Z,+,x) (B)偶整数环 模5整数环 模6整数环 (E)有理数环

练习题:
下述集合在规定运算下是环、整区、体、域吗?

(1){a+b√2|a,b属于Z}关于数的加法和乘法;

(2){a+b√2|a,b属于Q}关于数的加法和乘法;

(3){a+b * 3√2|a,b属于Z}关于数的加法和乘法;

(4){a+bi l a,b属于Z}关于复数的加法和乘法;

(5)所有n(n>2)阶实矩阵集合M.(R)关于矩阵的加法和乘法;

(6)x的实系数多项式集合关于多项式的加法和乘法;

(7)实数集合R关于加法+和乘法*，其中+是普通加法，*规定对R中任意a、b,有a*b=|a|* b。

试证:有限的无零因子环R中不只有一个元素(去掉0)，则R必为体。

体=无零因子环 + 有单位元 + 非零元有逆

子群的判定之一:有限的消去,半群就是群

所以这里是非0的乘法群 得证

这里也说明了有限的整区域就是域 -->整区是 无零因子 + 交换 + 1  ->交换体 -> 域

有限域的例子:
First模5整数群中

1,2,3,4的加法周期是:5,5,5,5

1,2,3,4的乘法周期:1,4,4,2 (拉格朗日定理)

Second:Zp,p为质数,都是域

质数可以推出时无零因子,而且交换 有 1 所以是 域

子体,子环,子域

显然 {0}不是子体,子域,因为没有e

有理数域无真子域

四元数体--是体但不是域:

四元数:取三个符号i、j、k，以实数a、b、c、d为系数而作形式的线性组合a+bi+ci+dk，称为一个四元数。

有1:1

有逆

但是不是交换环:i*j!=j*i

子环:

加法子群+ 乘法子半群

任意群都是两个平凡子群 : {0}和G

理想子环/理想

”加法子群 + a属于子群 ,b属于原群 ,存在 ax,xa都属于 子群

任意群都是两个平凡理想:{0}和 G

理想一定是子环,但是子环不一定是理想

.设R=(Z,+,*)是整数环，则nZ是R的子环，其中n为自然数

显然(nZ, +)是(Z,+)的子群。

任取k属于Z、nz属于nZ，有k(nz)属于nZ和(nz)k属于nZ 。

所以n乙是R的理想。

结论1:任意的体只有平凡理想

因为如果理想r不为{0},就一定存在a和a^-1,所以有单位元e,可以推出r=G

若R为有壹的交换环，a€R，看aR={ar|r属于R}:是R的理想?

(1)aR非空，因为0=a0属于aR，a=a1属于aR。

(2)对任意x属于aR，y属于aR,

存在r1,r2属于R，使得x=ar1，y=ar2 ,x-y= a(r1-r2)∈aR

(3)对任意z属于aR，r属于R

存在r3属于R，使得z=ar3,

zr=ar3r=a(r3r)属于aR,

rz=rar3=a(rr3)属于aR

aR是R的理想

主理想

:R有1交换环,aR生成的理想叫做由a生成的主理想 (a)

整数环的任意一个理想都是主理想

同理:mod m的环和剩余类的任意一个理想都是主理想

我们将这样的环叫做主理想环

对于模12的整数群,他是含1的交换环,根据拉格朗日定理,他含有6个理想,

{0}

{0,6}

{0,4,8}

{0,3,6,9,12}

{0,2,4,6,8,10}

{Z12}

对于模4的整数群,他有3个理想

{0}

{0,2}

Z4

域也可以表示为含1,且只有平凡理想的交换环

证明过程就是找逆元,得到体后用交换的性质证明域

不一定有1属于a*R

当1属于aR.(a)=aR=R

当1不属于aR.(a)=aR!=R

有1交换环由a生成的是包含a的最小理想

合同:

环R和理想N,a和bmod(n) 这里面 a,b属于R,n属于N (根据加法划分的)

性质:

(1)反身性:a=a;

(2)对称性:若a=b，则b=a;

(3)传递性:若a=b、b=c，则a=c;

(4)可加性:若a=b、c=d，则a±c=b士d;

(5)可乘性:若a=b、c=d，则ac=bd。

练习题

例20.设环R=(Z,+,x)是整数环，则:4Z={4k|keZ}是R的理想

0+4Z=1..., -4, 0, 4,8,...}

1+4Z={..., -3, 1, 5, 9,...}

2+4Z={..., -2,2,6, 10,...}

3+4Z={.., -1, 3, 7, 11,...}

都是4Z的剩余类

更一般地，如果R是有壹交换环，而N=(c)是主理想则a和b模N合同也可以说是a和b模c合同，

B因为有个2,所以f(a*b)=2*a*b ,f(a)*f(b)= 4*a*b

同态核

和之前的定义是一样的

设R是环，N是R的理想，对R的关于N的剩余类:由于(R,+)为加法群，故剩余类加法运算为(a+N)+(b+N)=(a+b)+N

现规定剩余类乘法运算如下

a+N)(b+N)=ab+N

此时的理想N是商群中的加法单位元乘法0元

对于R->R’的同态映射,a’的逆映射是R的一个剩余类

剩余环:

按照剩余类的加法和乘法，R对于理想N的所有剩余类的集合RN是一个环，RN叫做R对于N的剩余环(商环)。规定σ(a)=a+N，则是R到RN上的一个同态映射:其核为N。

商群R/N和R’同构

单纯环:

理想只有(0)和自己 ,如果p是质数,那么就是单纯环

所以可以进一步,域是有1的单纯交换环

极大理想:

如果R和N之间没有其他的理想

设R是模12的整数环:{0,1,2,…,11}。

设N1=6R=(0,6}，则N,是主理想，但非极大理想:

N2=2R={0,2,4,6,8,10}，且N1属于N2属于R，是R的极大理想。

N3=3R={0,3,6,9}，也是R的极大理想。

极大理想未必存在,比如和{0}之间理想都没有,有也未必唯一

N属于R,则N是R的极大理想 只要其商集是单纯环

极大理想和域的关系:R是含1交换环,N是R的理想.有R/N是域,如果N是R的极大理想

所以对于整数环,当且仅当Zp,p为质数是,为极大理想

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