文章目录
- 一、奇偶性定义
- 例题
- 二、运算性质
- 1、两个函数的`和差积商`
- 2、复合函数
- 3、画草图
- 4、对称中心与对称轴
- 三、奇偶性判断
- 例题
- 四、根据奇偶性求解析式
- 例题
- 五、单调性与奇偶性的综合应用
- 例题
一、奇偶性定义
1、定义域都是关于原点对称。
2、解析式关系
奇函数：
f
(
x
)
=
−
f
(
−
x
)
f(x) = - f(-x)
f(x)=−f(−x);偶函数：
f
(
x
)
=
f
(
−
x
)
f(x) = f(-x)
f(x)=f(−x)
3、图像特点
奇函数：关于原点中心对称；偶函数：关于y轴对称。
补充：如果奇函数在原点有定义，即奇函数的定义域包含0，则 f ( 0 ) = 0 f(0) =0 f(0)=0
例题
1、先求定义域，看看定义域是否关于原点对称，可以解得定义域为{-1,1}。
2、在根据定义验证，即
f
(
x
)
与
f
(
−
x
)
f(x) 与f(-x)
f(x)与f(−x)的关系。
二、运算性质
1、两个函数的和差积商
2、复合函数
口诀：内偶外偶合为偶，内奇外奇合为奇，内奇外偶合为偶，内偶外奇合为偶。
3、画草图
一般我们只要知道奇偶性和增减性就可以画出函数草图。
4、对称中心与对称轴
下面式子的特点是，两个f中的值之和，可以消除x。
三、奇偶性判断
1、定义法。
2、验证法。
f
(
x
)
±
f
(
−
x
)
=
0
f(x) ±f(-x)=0
f(x)±f(−x)=0
3、图像法。
4、运算性质法。
例题
例题1
解析：直接利用定义法求参数值即可。
4、
f
(
x
)
≠
−
f
(
−
x
)
f(x) ≠ - f(-x)
f(x)=−f(−x)且
f
(
x
)
≠
f
(
−
x
)
f(x) ≠ f(-x)
f(x)=f(−x)，前者证明非奇，后者证明非偶。
四、根据奇偶性求解析式
例题
解析：给出的是x>0的解析式，所以，我们要设x<0，那么，-x>0，代入后，根据奇偶性求解。
五、单调性与奇偶性的综合应用
例题
例题1
解析：根据图像的左加右减性质，可知，fx的对称轴是x=8，在根据单调性，可知，函数有最大值。
于是，类比开口朝下的二次函数，离对称轴越近值越大。
例题2
解析：可知，对称轴是x=0，根据增减性知道有最小值。
类比二次函数图像性质，距离对称轴越近值越小。
于是得：
∣
a
−
2
∣
<
∣
4
−
a
2
∣
|a-2|<|4-a^2|
∣a−2∣<∣4−a2∣
那么，这个方程式怎么解答？直接，两边平方
解得：
(
a
+
1
)
2
>
1
,
且
a
≠
2
，最终：
a
≠
2
且
a
<
−
3
且
a
>
−
1
(a+1)^2>1,且a≠2，最终：a≠2且a<-3且a>-1
(a+1)2>1,且a=2，最终：a=2且a<−3且a>−1
另外，根据定义域在得出两个方程。
∣
a
−
2
∣
<
1
|a-2|<1
∣a−2∣<1，
∣
4
−
a
2
∣
<
1
|4-a^2|<1
∣4−a2∣<1
例题3
解析，前面2小问比较简单
第三问，先求出fx的最大值，然后得出：
m
2
−
2
a
m
+
1
>
f
m
a
x
m^2-2am+1>f_{max}
m2−2am+1>fmax
在用分离常数法，对m分三类情况讨论：m=0,m>0,m<0。(同类取交集，分类取并集)
对结果求并集即可。
例题4
解析：本题是较难的。
思路：
1、先去绝对值，得出x≥0区域的解析式。
2、结合奇偶性，单调性，画出草图，得出区间上的最值。
3、正确理解
f
(
x
−
1
)
≤
f
(
x
)
f(x-1)≤f(x)
f(x−1)≤f(x)的含义，这一步是最难的。
x
≥
0
，
f
(
x
)
=
{
−
x
0
≤
x
≤
a
2
−
a
2
a
2
<
x
≤
2
a
2
x
−
3
a
2
x
>
2
a
2
x≥0，f(x) = \begin{cases} -x &{ 0 \leq x \leq a^2}\\ -a^2 &{ a^2 \lt x \leq 2a^2}\\ x-3a^2 &{ x \gt 2a^2} \end{cases}
x≥0，f(x)=⎩
⎨
⎧−x−a2x−3a20≤x≤a2a2<x≤2a2x>2a2
画图
第3步，理解
f
(
x
−
1
)
≤
f
(
x
)
f(x-1)≤f(x)
f(x−1)≤f(x)，就是将R划分为(-∞，x)，(x,+∞)
求出(-∞，x)中的最大值max，(x,+∞)区间上的最小值min，且min＞max
那么，这个x怎么确定？
从图中我们可以看出，
x
≤
2
a
2
x \leq 2a^2
x≤2a2时，区间上的最大值为
a
2
a^2
a2，此时，
x
=
−
2
a
2
x=-2a^2
x=−2a2
而
x
>
2
a
2
x \gt 2a^2
x>2a2区间是单调增的，则，找出
y
=
a
2
y=a^2
y=a2时的x即可。此时，
x
=
4
a
2
x=4a^2
x=4a2
在根据
f
(
x
−
1
)
≤
f
(
x
)
f(x-1)≤f(x)
f(x−1)≤f(x)，得
4
a
2
−
(
−
2
a
2
)
≤
1
4a^2-(-2a^2) \leq 1
4a2−(−2a2)≤1
例题5
解析：本题和例题2是一个类型的。
例题6
抽象函数类型
例题7
解析：本题类型和例题4相同。
