在时间序列分析中，理解平稳时间序列和非平稳时间序列是非常重要的，因为平稳性是很多时间序列模型的基础。平稳性涉及时间序列的统计性质是否随时间变化。下面是对这两种时间序列的详细解释

1. 平稳时间序列

1.1 概述

平稳时间序列是指其统计特性（如均值、方差、协方差等）不随时间变化。换句话说，平稳时间序列在不同的时间点上表现出类似的行为，没有明显的趋势或季节性变化。

平稳时间序列的关键特征包括：

• 均值恒定：时间序列的均值不随时间变化，即它的平均值保持恒定
• 方差恒定：时间序列的波动程度（方差）不会随着时间的推移而改变
• 协方差恒定：序列之间的相关性（协方差）仅取决于时间滞后，而与时间点无关

这些特性使得平稳序列能够用于许多传统的时间序列分析方法，特别是像ARMA（自回归滑动平均模型）和ARIMA（自回归积分滑动平均模型）等经典建模方法。

1.2 严平稳

如果时间序列的所有统计特性（如分布、均值、方差等）在任何时间点都保持不变，则称该时间序列为严格平稳。严格平稳要求时间序列在分布层面上是完全不变的，这意味着即使你对序列进行时移，数据的分布形式、均值、方差等都应该保持不变。严格平稳的定义较为严格，现实中很难直接观察到完全严格平稳的时间序列，因此我们在实际应用中通常关注的是宽平稳时间序列。

1.3 宽平稳

宽平稳（Weak Stationarity）：如果时间序列的均值、方差和协方差随着时间的变化是稳定的（即它们只依赖于时间间隔或滞后期数，而与具体的时间点无关），则称其为宽平稳。宽平稳是我们在实际中常用的平稳性定义。宽平稳性是大多数时间序列分析方法所要求的最基本条件，尤其是在ARMA模型和其他经典方法中应用广泛。

2. 非平稳时间序列

2.1 概述

非平稳时间序列是指其统计性质随时间变化而变化。这意味着数据的均值、方差或协方差随着时间的推移而发生变化，可能表现出趋势、季节性或其他类型的波动。

非平稳时间序列的常见特征包括：

• 趋势（Trend）：序列的均值随着时间变化而变化，表现出单调上升或下降的趋势
• 季节性（Seasonality）：序列的模式会在固定的周期内重复，具有季节性波动
• 方差变化：序列的波动随着时间变化而变化。例如，某些时期的波动较大，而其他时期则波动较小
• 单位根（Unit root）：如果一个序列具有单位根，意味着序列本身是非平稳的，通常会表现出随机游走特征

非平稳序列的分析更加复杂，通常需要进行平稳化处理，如差分、去趋势或季节性调整，以使其适合使用ARMA等模型。

2.1 非平稳转化为平稳方法

转化方法：

• 差分法（Differencing）：一种常用的将非平稳时间序列转换为平稳时间序列的方法，例如：一阶差分 $Y_t-Y_{t-1}$
• 对数变换：用于稳定方差，尤其是对于方差随着时间变化的序列
• 季节性差分：对于有季节性波动的非平稳序列，可以使用季节性差分，例如： $Y_t-Y_{t-12}$ 来消除季节性影响

3. 如何检测时间序列的平稳性

• 绘图：绘制时间序列图，观察是否有明显的趋势或季节性波动
• ACF和PACF图：平稳序列的自相关图（ACF）会迅速衰减，而非平稳序列的自相关性通常较长时间内存在显著相关性
• 单位根检验：如 ADF检验（Augmented Dickey-Fuller Test）和 Phillips-Perron检验，这些检验可以帮助确定时间序列是否具有单位根，从而判断其是否是非平稳的