1、前言

呃。。。好多天没更新了，最近 黑神话悟空 相当火啊，看上瘾了。本篇内容，我们来讲一下VITS。

视频：语言合成 & 变声器 ——VITS原理解析①_哔哩哔哩_bilibili

2、VITS

训练图

预测图：

2.1、条件VAE的优化目标

对于VITS，其实可以看做是一个条件VAE，所以我们直接开始求极大似然（x是音频，c是对应条件，如文本等等）
$$\begin{array}{rl}\log P(x|c)& =\log \frac{P(x,z|c)}{P(z|x,c)}\end{array}$$
等式左右都对$q(z|x)$积分
$$\begin{array}{rl}左边：& {\int }_{z}q(z|x)\log P(x|c)dz=\log P(x|c){\int }_{z}q(z|x)dz=\log P(x|c)\\ 右边：& {\int }_{z}q(z|x)\log \frac{P(x,z|c)}{P(z|x,c)}dz\end{array}$$
等式左右仍然相等
$$\begin{array}{rl}\log P(x|c)=& {\int }_{z}q(z|x)\log \frac{P(x,z|c)}{P(z|x,c)}dz\\ =& {\int }_{z}q(z|x)\log \frac{P(x,z|c)/q(z|x)}{P(z|x,c)/q(z|x)}dz\\ =& {\int }_{z}q(z|x)\left(\log \frac{P(x,z|c)}{q(z|x)}-\log \frac{P(z|x,c)}{q(z|x)}\right)dz\\ =& {\int }_{z}q(z|x)\log \frac{P(x,z|c)}{q(z|x)}dz-{\int }_{z}q(z|x)\log \frac{P(z|x,c)}{q(z|x)}dz\\ =& {\int }_{z}q(z|x)\log \frac{P(x,z|c)}{q(z|x)}dz+KL(q(z|x)\Vert P(z|x,c))\end{array}$$
注意到第二项的P(z|x,c)无法求解，故而关于参数$\varphi$最小化第二项（让q(z|x)逼近$P(z|x,c)$）。由于给定x，c，和参数$\theta$的情况下，$\log P(x|c)$是确定的。所以最小化第二项就相当于最大化第一项，不懂请看VAE变分自编码器原理解析

所以，我们有
$$\begin{array}{rl}\log P(x|c)\ge & {\int }_{z}q(z|x)\log \frac{P(x,z|c)}{q(z|x)}dz\\ =& {\int }_{z}q(z|x)\log \frac{P(x|z,c)P(z|c)}{q(z|x)}dz\\ =& {\int }_{z}q(z|x)\left(\log P(x|z,c)+\log \frac{P(z|c)}{q(z|x)}\right)dz\\ =& {\int }_{z}q(z|x)\log P(x|z,c)dz+{\int }_{z}q(z|x)\log \frac{P(z|c)}{q(z|x)}dz\\ =& {\mathbb{E}}_{z\sim q(z|x)}\left[\log P(x|z,c)\right]-KL(q(z|x)\Vert P(z|c))\end{array}$$
假设在给定z的情况下，c与x相互独立，则，我们有
$$\max \left(\log P(x|c)\right)\ge \max \left(\underset{①}{\underbrace{{\mathbb{E}}_{z\sim q(z|x)}\left[\log P(x|z)\right]}}-\underset{②}{\underbrace{KL(q(z|x)\Vert P(z|c))}}\right)$$

2.2、优化目标①

对于第一项，很显然就是重构项，所以，有
$$L_{recon}=\Vert x_{mel}-{\hat{x}}_{mel}{\Vert }_1\text{\hspace{1em}(1)}$$
其中，$x_{mel}$表示的是原始波形的梅尔谱。

为什么是L1损失呢？其实作者是假设$P(x|z)$是拉普拉斯分布，我们来详细推导一下

拉普拉斯分布的概率密度函数为
f ( x ) = 1 2 λ exp ⁡ { − ∣ x − μ ∣ λ } f(x)=\frac{1}{2\lambda}\exp\{-\frac{|x-\mu|}{\lambda}\} f(x)=2λ1​exp{−λ∣x−μ∣​}
其中参数为$\mu 、\lambda$。为了简单起见，我们只学习它的$\mu$(它是分布的中心位置)，而将$\lambda$视为常数。

接下来，利用蒙特卡洛近似，去近似重构项
$${\mathbb{E}}_{z\sim q(z|x)}\left[\log P(x|z)\right]\approx \frac{1}{N}\sum _{i=1}^N\log P(x|z^i)$$
其中，$z^i$采样自$q(z|x)$，$q(z|x)$被假设为高斯分布，它的期望和方差使用神经网络去逼近。我们假设$P(x|z)$服从拉普拉斯分布，参数为${\mu }_{\theta }(z),\lambda$
log ⁡ P ( x ∣ z i ) = log ⁡ { 1 2 λ exp ⁡ { − ∣ x − μ θ ( z ) ∣ λ } } = log ⁡ 1 2 λ − ∣ x − μ θ ( z ) ∣ λ ∝ − ∣ x − μ θ ( z ) ∣ \begin{aligned}\log P(x|z^i)=&\log\left\{\frac{1}{2\lambda}\exp\{-\frac{|x-\mu_{\theta}(z)|}{\lambda}\}\right\}\\=&\log \frac{1}{2\lambda}-\frac{|x-\mu_{\theta}(z)|}{\lambda}\\\propto&-|x-\mu_{\theta}(z)|\end{aligned} logP(x∣zi)==∝​log{2λ1​exp{−λ∣x−μθ​(z)∣​}}log2λ1​−λ∣x−μθ​(z)∣​−∣x−μθ​(z)∣​
其中，${\mu }_{\theta }$就是神经网络的输出，可看作是Eq.(1)的$\hat{x}$

由于我们是最大化第一项，把前面的负号去掉，就变成了最小化，故而得到Eq.(1)那个重构损失

Ps：重构的时候只随机选择其中一部分去重构，并且重构是建立在梅尔谱的基础上的

2.3、优化目标②

第二项是KL散度，即
$$\max -KL(q(z|x)||P(z|c))=\min KL(q(z|x)||P(z|c))$$
把KL散度拆开来看一下
$$\begin{array}{rl}KL(q(z|x)||P(z|c))=& {\int }_{z}q(z|x)\log \frac{q(z|x)}{P(z|c)}dz\\ =& {\int }_{z}q(z|x)\left(\log q(z|x)-\log P(z|c)\right)dz\\ =& {\int }_{z}q(z|x)\log q(z|x)dz-{\int }_{z}q(z|x)\log P(z|c)dz\\ =& \underset{①}{\underbrace{{\mathbb{E}}_{z\sim q(z|x)}[\log q(z|x)]}}-\underset{②}{\underbrace{{\mathbb{E}}_{z\sim q(z|x)}[\log P(z|c)]}}\end{array}$$
对于第①项，已知$q(z|x)$是高斯分布，假设各个维度相互独立，单个维度的期望和方差分别是${\mu }_{\varphi }(x)、{\sigma }_{\varphi }^2(x)$，使用神经网络去逼近，神经网络的输入是x。
E z ∼ q ( z ∣ x ) [ log ⁡ q ( z ∣ x ) ] = ∫ z q ( z ∣ x ) log ⁡ q ( z ∣ x ) d z = ∫ z q ( z ∣ x ) log ⁡ 1 2 π σ ϕ 2 ( x ) exp ⁡ { − ( z − μ ϕ ( x ) ) 2 2 σ 2 ( x ) ϕ } d z = ∫ z q ( z ∣ x ) ( log ⁡ 1 2 π σ ϕ 2 ( x ) − ( z − μ ϕ ( x ) ) 2 2 σ ϕ 2 ( x ) ) d z = ∫ z q ( z ∣ x ) log ⁡ 1 2 π σ ϕ 2 ( x ) d z − ∫ z q ( z ∣ x ) ( z − μ ϕ ( x ) ) 2 2 σ ϕ 2 ( x ) d z = log ⁡ 1 2 π σ ϕ 2 ( x ) ∫ z q ( z ∣ x ) d z − 1 2 σ ϕ 2 ( x ) ∫ z q ( z ∣ x ) ( z − μ ϕ ( x ) ) 2 d z = log ⁡ 1 2 π σ ϕ 2 ( x ) − 1 2 σ ϕ 2 ( x ) E [ ( z − μ ϕ ( x ) ) 2 ] = log ⁡ 1 2 π σ ϕ 2 ( x ) − 1 2 σ ϕ 2 ( x ) σ ϕ 2 ( x ) = log ⁡ 1 2 π σ ϕ 2 ( x ) − 1 2 = − log ⁡ 2 π σ ϕ 2 ( x ) − 1 2 = − log ⁡ 2 π − log ⁡ σ ϕ ( x ) − 1 2 \begin{aligned}\mathbb{E}_{z\sim q(z|x)}[\log q(z|x)]=&\int_z q(z|x)\log q(z|x)dz\\=&\int_zq(z|x)\log\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2_{\phi}(x)}}\exp\{-\frac{(z-\mu_{\phi}(x))^2}{2\sigma^2(x)_{\phi}}\}dz\\=&\int_z q(z|x)\left(\log\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2_{\phi}(x)}}-\frac{(z-\mu_{\phi}(x))^2}{2\sigma^2_{\phi}(x)}\right)dz\\=&\int_zq(z|x)\log \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2_{\phi}(x)}}dz-\int_zq(z|x)\frac{(z-\mu_{\phi}(x))^2}{2\sigma^2_{\phi}(x)}dz\\=&\log \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2_{\phi}(x)}}\int_z q(z|x)dz-\frac{1}{2\sigma^2_{\phi}(x)}\int_zq(z|x)(z-\mu_{\phi}(x))^2dz\\=&\log\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2_{\phi}(x)}}-\frac{1}{2\sigma^2_{\phi}(x)}\mathbb{E}[(z-\mu_{\phi}(x))^2]\\=&\log\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2_{\phi}(x)}}-\frac{1}{2\sigma^2_{\phi}(x)}\sigma^2_{\phi}(x)\\=&\log\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2_{\phi}(x)}}-\frac{1}{2}\\=&-\log\sqrt{2\pi\sigma^2_{\phi}(x)}-\frac{1}{2}\\=&-\log\sqrt{2\pi}-\log\sigma_{\phi}(x)-\frac{1}{2}\end{aligned} Ez∼q(z∣x)​[logq(z∣x)]==========​∫z​q(z∣x)logq(z∣x)dz∫z​q(z∣x)log2πσϕ2​(x) ​1​exp{−2σ2(x)ϕ​(z−μϕ​(x))2​}dz∫z​q(z∣x) ​log2πσϕ2​(x) ​1​−2σϕ2​(x)(z−μϕ​(x))2​ ​dz∫z​q(z∣x)log2πσϕ2​(x) ​1​dz−∫z​q(z∣x)2σϕ2​(x)(z−μϕ​(x))2​dzlog2πσϕ2​(x) ​1​∫z​q(z∣x)dz−2σϕ2​(x)1​∫z​q(z∣x)(z−μϕ​(x))2dzlog2πσϕ2​(x) ​1​−2σϕ2​(x)1​E[(z−μϕ​(x))2]log2πσϕ2​(x) ​1​−2σϕ2​(x)1​σϕ2​(x)log2πσϕ2​(x) ​1​−21​−log2πσϕ2​(x) ​−21​−log2π ​−logσϕ​(x)−21​​
对于第②项，$P(z|c)$我们不知道是什么分布（在以前的VAE中，我们曾假设为标准高斯分布，然而高斯分布太过简单，也许很难表达出编码后的特征。作者发现提高先验，也就是$P(z|c)$的复杂度，有助于提高样本生成的质量，因此，在此处，我们不把它假设成标准高斯分布了）

所以，此处，我们既要给$P(z|c)$选择一个复杂的分布，又要让他是可计算的。那该怎么办呢？我们可以使用归一化流去计算

具体来说，我们可以这样，对于②，我们使用蒙特卡洛去近似它
$${\mathbb{E}}_{z\sim q(z|x)}[\log P(z|c)]\approx \frac{1}{N}\sum _{i=1}^N\log P(z^i|c)$$
其中，$z^i$采样自$q(z|x)$

对于$P(z^i|c)$的概率分布，我们暂时不知道，所以，我们可以构造一个流模型$f_{\theta }$，将它转化为一个比较简单的概率分布
$$P(z|c)=\pi (f_{\theta }(z)|c)|\det \frac{\partial f_{\theta }(z)}{\partial z}|$$
我们假设$\pi (f_{\theta }(z)|c)$是一个比较简单的高斯分布，比如假设它是高斯分布（各个维度相互独立），所以
$$P(z|c)=N(f_{\theta }(z)|{\mu }_{\theta }(c),{\sigma }_{\theta }(c))|\det \frac{\partial f_{\theta }(z)}{\partial z}|$$
也就是说，我们现在把$P(z|c)$通过变量替换定理，将$P(z|c)$变成了一个比较简单的概率分布乘以对应的雅克比行列式的绝对值。

那么，$\log P(z|c)$就变成了（看作是各个维度相互独立，单个维度的期望和方差分别是${\mu }_{\theta },{\sigma }_{\theta }^2$，与上面的表达有些冲突，主要是符号不够用了）
log ⁡ P ( z ∣ c ) = log ⁡ N ( f θ ( z ) ∣ μ θ ( c ) , σ θ ( c ) ) ∣ det ⁡ ∂ f θ ( z ) ∂ z ∣ = log ⁡ 1 2 π σ θ 2 ( c ) exp ⁡ { − ( f θ ( z ) − μ θ ( c ) ) 2 2 σ θ 2 ( c ) } ∣ det ⁡ ∂ f θ ( z ) ∂ z ∣ = log ⁡ 1 2 π σ θ 2 ( c ) − ( f θ ( z ) − μ θ ( c ) ) 2 2 σ θ 2 ( c ) + log ⁡ ∣ det ⁡ ∂ f θ ( z ) ∂ z ∣ = − log ⁡ σ θ ( c ) − log ⁡ 2 π − ( f θ ( z ) − μ θ ( c ) ) 2 2 σ θ 2 ( c ) + log ⁡ ∣ det ⁡ ∂ f θ ( z ) ∂ z ∣ \begin{aligned}\log P(z|c)=&\log N(f_{\theta}(z)|\mu_{\theta}(c),\sigma_{\theta}(c))|\det\frac{\partial f_{\theta}(z)}{\partial z}|\\=&\log\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_{\theta}^2(c)}}\exp\{-\frac{(f_\theta(z)-\mu_{\theta}(c))^2}{2\sigma_{\theta}^2(c)}\}|\det\frac{\partial f_{\theta}(z)}{\partial z}|\\=&\log\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_{\theta}^2(c)}}-\frac{(f_\theta(z)-\mu_{\theta}(c))^2}{2\sigma_{\theta}^2(c)}+\log |\det\frac{\partial f_{\theta}(z)}{\partial z}|\\=&-\log\sigma_{\theta}(c)-\log\sqrt{2\pi}-\frac{(f_\theta(z)-\mu_{\theta}(c))^2}{2\sigma_{\theta}^2(c)}+\log |\det\frac{\partial f_{\theta}(z)}{\partial z}|\end{aligned} logP(z∣c)====​logN(fθ​(z)∣μθ​(c),σθ​(c))∣det∂z∂fθ​(z)​∣log2πσθ2​(c) ​1​exp{−2σθ2​(c)(fθ​(z)−μθ​(c))2​}∣det∂z∂fθ​(z)​∣log2πσθ2​(c) ​1​−2σθ2​(c)(fθ​(z)−μθ​(c))2​+log∣det∂z∂fθ​(z)​∣−logσθ​(c)−log2π ​−2σθ2​(c)(fθ​(z)−μθ​(c))2​+log∣det∂z∂fθ​(z)​∣​
那么，这个归一化流$f_{\theta }$是什么呢？作者其实给了两种，一种是加性耦合层，另一种，是乘加耦合层。我们讲过了加性耦合层，它的雅克比行列式等于1，$\log 1=0$；而对于乘加耦合层，其实就是在加性耦合的基础上，再做了一个乘法，最终得到的雅克比行列式不等于1。很容易的一个东西，感兴趣的请看Neural Importance Sampling (arxiv.org)。从代码上看，作者虽然两种都提到了，但是损失函数计算的时候，却只写了加性耦合层的。所以，我们就默认使用加性耦合层了，因此我们有
$$\log |\det \frac{\partial f_{\theta }(z)}{\partial z}|=\log 1=0$$
所以
$$\log P(z|c)=-\log {\sigma }_{\theta }(c)-\log \sqrt{2\pi }-\frac{(f_{\theta }(z)-{\mu }_{\theta }(c){)}^2}{2{\sigma }_{\theta }^2(c)}$$
回忆一下我们的目标（假设蒙特卡洛近似N=1）
$$\begin{array}{rl}KL(q(z|x)||P(z|c))=& \underset{①}{\underbrace{{\mathbb{E}}_{z\sim q(z|x)}[\log q(z|x)]}}-\underset{②}{\underbrace{{\mathbb{E}}_{z\sim q(z|x)}[\log P(z|c)]}}\\ =& -\log \sqrt{2\pi }-\log {\sigma }_{\varphi }(x)-\frac{1}{2}-\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N\log P(z^i|c)\\ =& -\log \sqrt{2\pi }-\log {\sigma }_{\varphi }(x)-\frac{1}{2}-\left(-\log {\sigma }_{\theta }(c)-\log \sqrt{2\pi }-\frac{(f_{\theta }(z)-{\mu }_{\theta }(c){)}^2}{2{\sigma }_{\theta }^2(c)}\right)\\ =& \log {\sigma }_{\theta }(c)-\log {\sigma }_{\varphi }(x)-\frac{1}{2}+\frac{(f_{\theta }(z)-{\mu }_{\theta }(c){)}^2}{2{\sigma }_{\theta }^2(c)}\end{array}$$
至此，我们终于得到了KL散度的优化目标，也就是
$$L_{kl}=\log {\sigma }_{\theta }(c)-\log {\sigma }_{\varphi }(x)-\frac{1}{2}+\frac{(f_{\theta }(z)-{\mu }_{\theta }(c){)}^2}{2{\sigma }_{\theta }^2(c)}\text{\hspace{1em}(2)}$$
可惜的是，里面有一个东西，我们还不知道是什么，也就是${\mu }_{\theta }(c)、{\sigma }_{\theta }(c)$，接下来，我们来看一下，他们究竟是什么

2.4、条件输入

在进行归一化流转化之后，我们当时得到
$$P(z|c)=N(f_{\theta }(z)|{\mu }_{\theta }(c),{\sigma }_{\theta }(c))|\det \frac{\partial f_{\theta }(z)}{\partial z}|\text{\hspace{1em}(3)}$$
显然，这里的${\mu }_{\theta }(c)、{\sigma }_{\theta }(c)$是由神经网络输出的，神经网络的输入是条件c。

那么，这里的条件c，是什么呢？ 我们先假设它是语音所对应的文本 。于是，很显然的，我们只需要把文本送给神经网络，然后神经网络输出与${\sigma }_{\varphi }$维度相同的${\mu }_{\theta }(c)、{\sigma }_{\theta }(c)$。

**可以吗？当然不行！**在训练的时候，你知道${\sigma }_{\varphi }$的维度（指时间帧那一维，以下同理）。但是预测的时候，你可没有，这样的话，你就不知道${\mu }_{\theta }(c)$应该是什么维度。所以，论文并没有这样去做

$f_{\theta }(z)\in [batch\_size,t_{audio},dim]$，${\mu }_{\theta }(c)\in [batch\_size,t_{text},dim]$

论文Glow-TTS: A Generative Flow for Text-to-Speech via Monotonic Alignment Search (arxiv.org)提到，人类的阅读文本的时候，是不会跳过任何一个单词的。作者希望，能够找到一个文本与语音之间的对齐关系（文本与语音的长度往往不一样，一个单词就对应了一大段的语音）。

也就是说，$f_{\theta }(z)$相当于是语音编码后的结果。而${\mu }_{\theta }(c)、{\sigma }_{\theta }(c)$则是文本编码后的结果。我们曾假设过，他们的各个维度都相互独立，那么，我们希望可以得出，文本和语音编码后的维度的对齐关系（比如语音编码后的第一个维度，对应文本编码后的第一个维度的均值跟方差）

问题是，我们该如何找出这种对应关系呢？所用到的，其实就是单调对齐搜索（MAS），我们需要找到一个对齐矩阵A，以表示他们的对应关系

到了这里，我事先声明一下，条件c其实不再是文本，而是文本+对齐矩阵A，也就是$c=[c_{text},A]$

这样一来
$$\log N(f_{\theta }(z)|{\mu }_{\theta }(c),{\sigma }_{\theta }(c))=\log N(f_{\theta }(z)|{\mu }_{\theta }(c_{text},A),{\sigma }_{\theta }(c_{text},A))$$

当燃了，此处的对齐矩阵A，并不是需要我们送进神经网络的，我们需要重新定义一下${\mu }_{\theta }、{\sigma }_{\theta }$的由来

首先，我们把文本$c_{text}$送给神经网络，神经玩过输出${\mu }_{\theta }(c_{text})、{\sigma }_{\theta }(c_{text})$，然后，把神经网络的输出值，通过一个单调对齐矩阵A找到对应关系，对${\mu }_{\theta }(c_{text})、{\sigma }_{\theta }(c_{text})$进行复制，就得到了${\mu }_{\theta }(c_{text},A)、{\sigma }_{\theta }(c_{text},A)$

2.5、单调对齐搜索

具体的，该如何构建单调对齐矩阵A呢？我们从之前的目标函数出发
$$\min KL(q(z|x)||P(z|c))=\min \left(\underset{①}{\underbrace{{\mathbb{E}}_{z\sim q(z|x)}[\log q(z|x)]}}-\underset{②}{\underbrace{{\mathbb{E}}_{z\sim q(z|x)}[\log P(z|c)]}}\right)$$
只有第②项跟条件c有关，我们先单单看第②项
$$\min -{\mathbb{E}}_{z\sim q(z|x)}[\log P(z|c)]=\max {\mathbb{E}}_{z\sim q(z|x)}[\log P(z|c)]=\max {\mathbb{E}}_{z\sim q(z|x)}[\log P(z|A,c_{text})]$$
为了让$\log P(z|A,c_{text})$最大，我们需要关于$\theta$让它最大【这里的$\theta$参数，可以看成是${\mu }_{\theta }(c_{text},A)、{\sigma }_{\theta }(c_{text},A)$】。又因为这里的期望跟方差的方法，依赖于神经网络输出的${\mu }_{\theta }(c_{text})、{\sigma }_{\theta }(c_{text})$和对齐矩阵A。所以，此时的参数应该是$\theta =[w,A]$（其中w表示神经网络的参数），也就是说，参数被转嫁到了神经网络和对齐矩阵A了。

所以
$$\underset{\theta }{\max }{\mathbb{E}}_{z\sim q(z|x)}[\log P(z|A,c_{text})]=\underset{w,A}{\max }{\mathbb{E}}_{z\sim q(z|x)}[\log P(z|A,c_{text})]$$
我们把它拆成两部分，单独看单调对齐矩阵A的：
$$\underset{A}{\max }{\mathbb{E}}_{z\sim q(z|x)}[\log P(z|A,c_{text})]$$
由Eq.(3)有
$$\begin{array}{rl}\underset{A}{\max }{\mathbb{E}}_{z\sim q(z|x)}[\log P(z|A,c_{text})]=& \underset{A}{\max }\log N(f_{\theta }(z)|{\mu }_{\theta }(c_{text},A),{\sigma }_{\theta }(c_{text},A))|\det \frac{\partial f_{\theta }(z)}{\partial z}|\\ =& \underset{A}{\max }\log N(f_{\theta }(z)|{\mu }_{\theta }(c_{text},A),{\sigma }_{\theta }(c_{text},A))+\log |\det \frac{\partial f_{\theta }(z)}{\partial z}|\end{array}$$
又因为$\log |\det \frac{\partial f_{\theta }(z)}{\partial z}|=\log 1=0$，所以
$$\underset{A}{\max }{\mathbb{E}}_{z\sim q(z|x)}[\log P(z|A,c_{text})]=\underset{A}{\max }\log N(f_{\theta }(z)|{\mu }_{\theta }(c_{text},A),{\sigma }_{\theta }(c_{text},A))$$
也就是，我们要找到一个单调对齐矩阵A，使得上式最大

由于这个高斯分布的各个维度相互独立，我们假设存在p维度，则
$$\begin{array}{rl}\underset{A}{\max }\log N(f_{\theta }(z)|{\mu }_{\theta }(c_{text},A),{\sigma }_{\theta }(c_{text},A))=& \log \pi (f_{\theta }(z)|c_{text},A)\\ =& \log \pi (f_{\theta }^1(z),f_{\theta }^2(z),\cdots ,f_{\theta }^p(z)|c_{text},A)\\ =& \log \prod _{i=1}^p\pi (f_{\theta }^i(z)|c_{text},A)\\ =& \sum _{i=1}^p\log \pi (f_{\theta }^i(z)|c_{text},A)\end{array}$$
这样的话，实际上我们只需要为每一个维度，最大化它的似然即可。可惜的是，正如我们前面说过的，对齐关系是单调的，我们并不能肆无忌惮的乱对应。因此，我们需要找出一个单调对齐矩阵。
$$Q_{i,j}=\max (Q_{i-1,j-1},Q_{i,j-1})+\log N(f_{\theta }^j(z)|{\mu }_i,{\sigma }_i)$$
该矩阵作者不使用神经网络去逼近，而是使用动态规划的方法，通过单调对齐搜索（MAS）去寻找。我们来看一下代码实现

从代码上看，我们不难看出，我们首先构造了一个Q矩阵。然后，矩阵第一列等于对应的对数似然。接着开始计算第二列…，可视化（图b）。最后使用回溯（图c）：选择最后一个点，往回推，就可以得到最终的路径

2.6、随机时长预测

完成了单调对齐搜索了之后，我们便得到了一个路径矩阵path，该矩阵由0，1构成，1表示该位置被选中，0则表示不被选中。我们可以简单的通过求取path矩阵的每一行的所有列的求和。所得到的结果记为d，就可以看作是每一个字所持续的时长。

然而，如果采用这种方式，那就意味着一个人每一次生成的说话语速是一样的。我们希望每一次生成的语音语速都有所不同。因此，论文作者设计了一个随机时长预测器

给定一个文本，我们该如何去做一个随机预测呢？什么东西具有随机性？当燃是概率分布了！

我们从最大似然的角度去看问题
$$\max \log P(d|c_{text})\text{\hspace{1em}(4)}$$
然而，直接计算d是困难的：①每个单词的时长d，它是一个离散的整数，然而在进行数值计算的时候（论文中使用归一化流），我们一般都是建立在连续的基础上。②：时长d是一个标量，归一化流必须保持维度一致，我们也无法对一个标量进行高维变换。但是一维的表达能力显然是有限的，可能无法满足我们的需求。

故而，作者采用了两种方法——变分去量化——Flow++：使用变分反量化和架构设计改进基于 Flow 的生成模型 (arxiv.org)、变分数据增强

具体来说，论文引入两个随机变量u和ν，它们与持续时间序列d具有相同的时间分辨率和维度，分别用于变分去量化和变分数据增强。

首先，我们将u的值限制为[0,1)，使差值d - u成为一个正实数序列，并将ν和d-u通道级联起来，以做出更高维度的潜在表征。论文通过近似后验分布对这两个变量进行采样$q_{\phi }(u,\nu |d,c_{text})$

我们来通过Eq.(4)解释这一过程

定义（P是离散的数据分布，p是连续的数据分布）：
$$P(d|c_{text}):={\int }_{[0,1{)}^D}p(d-u|c_{text})du$$
该定义的直观理解，左侧是某一个d的离散概率，而右侧是d减去0到1的连续概率求和，也就是说，单个离散概率会被拆分成右侧每一个无限小区间的求和。这可以解决数据分布本身是连续，可是采样数据却是离散的问题

实际上，在变分去量化（d - u）之后，在去量化的数据上求对数似然，就等于在原始数据d上最大化离散模型的对数似然下界，此处不做证明，参考Flow++: Improving Flow-Based Generative Models with Variational Dequantization and Architecture Design (arxiv.org)

言归正传，对数似然为：
$$\begin{array}{rl}\log P(d|c_{text})=& \log {\int }_{[0,1{)}^D}p(d-u|c_{text})du\\ =& \log {\int }_{[0,1{)}^D}{\int }_{v}p(d-u,v|c_{text})dvdu\\ =& \log {\int }_{[0,1{)}^D}{\int }_v\frac{p(d-u,v|c_{text})}{q(u,v|d,c_{text})}q(u,v|d,c_{text})dvdu\\ =& \log {\mathbb{E}}_{u,v\sim q(u,v|d,c_{text})}\left[\frac{p(d-u,v|c_{text})}{q(u,v|d,c_{text})}\right]\\ \ge & {\mathbb{E}}_{u,v\sim q(u,v|d,c_{text})}\left[\log \frac{p(d-u,v|c_{text})}{q(u,v|d,c_{text})}\right]\end{array}$$
最后一个不等号利用的是jensen不等式。所得到的结果，其实也是变分下界

由于不知道$p(d-u,v|c_{text})、q(u,v|d,c_{text})$的分布，故而很难去求取期望，所以我们对他进行蒙特卡洛近似
$${\mathbb{E}}_{u,v\sim q(u,v|d,c_{text})}\left[\log \frac{p(d-u,v|c_{text})}{q(u,v|d,c_{text})}\right]\approx \frac{1}{N}\sum _{i=1}^N\log \frac{p(d-u^i,v^i|c_{text})}{q(u^i,v^i|d,c_{text})}$$
当N=1，我们便可得到（等式右边省略上标i）
$$\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N\log \frac{p(d-u^i,v^i|c_{text})}{q(u^i,v^i|d,c_{text})}=\log p(d-u,v|c_{text})-\log q(u,v|d,c_{text})$$
对式子右边的两项都使用归一化流（由于不知道分布，所以使用归一化流）

对第一项：
$$\begin{array}{rl}\log p(d-u,v|c_{text})=& \log N(f_{\theta }(d-u,v)|{\mu }_p(c_{text}),{\sigma }_p(c_{text}))|\det \frac{\partial f_{\theta }(d-u,v)}{\partial (d-u,v)}|\\ =& \log N(f_{\theta }(d-u,v)|{\mu }_p(c_{text}),{\sigma }_p(c_{text}))+\log |\det \frac{\partial f_{\theta }(d-u,v)}{\partial (d-u,v)}|\end{array}\text{\hspace{1em}(5)}$$
第二项：

设$f_{\theta }(z)=(u,v),f_{\theta }^{-1}(u,v)=z$，则
$$\begin{array}{rl}\log q(u,v|d,c_{text})=& \log N(f_{\theta }^{-1}(u,v)|{\mu }_q(d,c_{text}),{\sigma }_q(d,c_{text}))|\det \frac{\partial f_{\theta }^{-1}(u,v)}{\partial (u,v)}|\\ =& \log N(z|{\mu }_q(d,c_{text}),{\sigma }_q(d,c_{text}))|\det \frac{\partial f_{\theta }(z)}{\partial z}{|}^{-1}\\ =& \log N(z|{\mu }_q(d,c_{text}),{\sigma }_q(d,c_{text}))-\log |\det \frac{\partial f_{\theta }(z)}{\partial z}|\end{array}\text{\hspace{1em}(6)}$$

对于Eq.(5）、Eq.(6)，论文都假设里面的N服从标准高斯分布，所以里面的期望跟方差分别是0，1。

所以，最大化似然，到最大化下界，也就是
$$\max \left(\log p(d-u,v|c_{text})-\log q(u,v|d,c_{text})\right)=\min \left(\log q(u,v|d,c_{text})-\log p(d-u,v|c_{text})\right)$$
即
$$L_{dur}=\log N(z|0,1)-\log |\det \frac{\partial f_{\theta }(z)}{\partial z}|-\left(\log N(f_{\theta }(d-u,v)|0,1)+\log |\det \frac{\partial f_{\theta }(d-u,v)}{\partial (d-u,v)}|\right)\text{\hspace{1em}(7)}$$

2.7、对抗训练

对抗训练一直都是一个很好的方法，在论文中，作者在里面也引用了对抗训练

论文添加了一个判别器D，主要用于区分解码器G生成的输出和真实波形y，其损失如下：
$$\begin{array}{rl}{L}_{adv}(D)=& {\mathbb{E}}_{y,z}\left[{\left(D(y)-1\right)}^2+\left(D(G(z){)}^2\right)\right]\\ L_{adv}(G)=& {\mathbb{E}}_z\left[(D(G(z))-1{)}^2\right]\end{array}\text{\hspace{1em}(8)}$$
另外，为了提高解码器的生成能力，论文还使用了特征匹配损失$L_{fm}(G)$
$${L}_{fm}(G)={\mathbb{E}}_{y,z}\left[\sum _{l=1}^T\frac{1}{N_l}\Vert D^l(y)-D^l(G(z)){\Vert }_1\right]\text{\hspace{1em}(9)}$$
其中T表示判别器中的总层数，$D^i$表示第i层的判别器输出的特征图，$N_l$是第$l$层的特征图维度

2.8、总损失

所以总损失为Eq.(1)、Eq.(2)、Eq.(7)、Eq.(8)、Eq(9)的求和
$$L_{vae}=L_{recon}+L_{kl}+L_{dur}+L_{adv}(G)+L_{fm}(G)$$
当燃了，我们可以给每一项都乘以一个权重系数，以权衡各个损失的重要程度

3、网络结构

3.1、后验编码器$q(z|x)$

论文使用非因果WaveNet残差块，对于多说话人，使用全局调节， 参考WaveNet那期视频

3.2、先验编码器

先验编码器主要是文本编码器（$P(z|c_{text})$），和对应的归一化转化。文本编码器使用transformer的编码器，使用相对位置编码，参考transformer那期视频 。进行文本编码后，把得到的结果再通过一个线性投影层，得到隐层表示$h_{text}$，然后，把$h_{text}$拆分成均值和方差。 而此处的归一化流，为了简单作者，作者使用加性耦合层

多话说人的情况，通过全局调节，嵌入到归一化流的残差块中

3.3、解码器G

采用HiFi-GAN的生成器作为解码器，对于多说话人的情况，添加一个说话人的嵌入的线性层，然后把它添加到输入潜变量z当中， 参考HiFi-GAN那期视频

3.4、判别器D

使用HiFi-GAN中提出的多周期判别器，参考HiFi-GAN那期视频

3.5、随机时长预测器

归一化流使用神经样条流——单调有理二次样条， 参考 Neural Spline Flows (arxiv.org)，里面有完整的计算方法。

归一化流的主要结构如下（DDSConv残差块）

所有输入条件都通过条件编码器进行处理，每个条件编码器由两个1x1卷积层和一个DDSConv残差块组成。
后验编码器和归一化流模块有四个神经样条流的耦合层。每个耦合层首先通过DDSConv块处理输入和输入条件，并产生29个通道参数，这些参数用于构造10个有理二次函数。我们将所有耦合层和条件编码器的隐藏维度设置为192。

对于多说话人的情况，添加一个说话人嵌入的线性层，并将其添加到输入$h_{text}$中

4、结束

好了，本篇文章到此为止，如有问题，还望指出，阿里嘎多！