向量数据库中的PQ（Procduct Quantization）

为了加快向量之间距离计算和比较速度，有人发明的Product Quantization方法，这个方法并不是一种索引，所以它并不能减少目标向量（要查找的向量），与数据库中向量的比较次数，但是它可以加快与每个数据库中向量比较时的计算量。

这个方法分为两部分，

第一部分是量化，其思想如下：

a）把一个维度很高的向量切分成好几个段，例如，128维度，切分成4段每段32维度的小向量，怎么切分呢？其实没啥高深复杂的，就是简单的从左到右直接切分（至于网上论文中所说的什么笛卡尔积、向量乘法之类唬人的名词，根本就不是这么回事，当然也不排除可能有更合适的切分方法）

b) 向量数据库中的所有向量，切分后的第一个段（32维度的向量），都取出来，做kmeans，计算它们的中心点，至于这些向量要分成几个区域，就由量化设计者决定了，例如，我决定分为256个区域，那么向量数据库中所有向量都拿出第一个段（32维度的向量），做kmeans，计算出256个中心点后，然后再把所有向量的第一段，分配给这256个区域，怎么分呢？分配到与它距离最近的个中心点，并且，我们给每个中心点一个编号（ID），每个库向量的第一个段，分配到某个中心点后，就用这个中心点的ID表示这个段的32维度的向量，这里的分配并不是归类存储，而是计算每个库向量的第一个段，应由哪个中心点的ID代表。这个信息要记下来。

然后所有库向量取出第二个段，也是用kmeans算法得到256个中心点，并编号，然后每个库向量的第二个段，用与它最近的中心点的ID代替。

然后所有库向量取出第三个段，用kmeans算法得到256个中心点，编号，然后每个库向量的第三个段，用与它最近的中心点的ID代替。

然后所有向量库取出第四个段，用kmeans算法得到256个中心点，编号，然后每个库向量的第四个段，用与它最近的中心点的ID代替。

这样对于向量数据库中的每个128维向量，都可以用4个ID组成的数组代替了，由于这些ID的编号是0-255，因此每个ID只用一个byte就可以表示，可以把这4个ID组成的数组，也看成是一个向量，只有4维并且每个维度8bit，当然这个4维的向量需要一个参照，就是每个段的256个中心点。

有了每个段的256个中心点这个参照，就可以可以把数据库中的每个128维向量，按照上面的方法，转化成4个ID组成的数组，这4个ID组成的数组就可以近似的代替这个128维的向量，这个4维数组，就是128维向量“量化”后的结果。

这4段每段256个中心点就是一个“码表”（这个定义尚未统一，有人觉得码表也包括所有量化后的向量）

总之，经过上面的“量化”，得到了每段的中心点和所有原始向量量化后的向量，它们共同组成的信息库，后面就可以用来快速比较了。

第二部分是比较：

有了前面的量化后的数据：每段的中心点和（数据库中）每个向量的量化表示。当有目标向量到来，想要和库中的所有向量比较，找到最近的前K个时，这个比较方法是怎样的呢？

a）首先目标向量也要分段，按照其它向量的方式分，例如，128维的目标向量分为4段，每段是一个32维的向量。

b）数据库中存储着每个段的256个中心点，目标向量的每个段，要计算这个32维向量与每个中心点的距离，即每个段会得到256个距离，这些距离要保存下来。对于本例，一共需要计算4x256个距离。

c）前一步其实完成了目标向量的量化和码表计算，它的码表就是这4x256个距离，这些距离可以放到二维数组里，对于每个段，每个距离都有一个编号，这个编号和其对应中心点的编号相同，如下图：

d）然后就要比较了，比较时，对于一个量化后的库向量，它由4个ID组成，对于目标向量，之前已经计算好每个段的32维向量与各自段中256个中心点的距离，并且距离的编号与数据库码表中心点的编号一一对应，因此，假设取出一个库向量的第一个ID，在目标向量的距离码表的第一段中查出一个距离d1，这就是目标向量与库向量的距离在第一段中的距离（这只是两个向量总的距离指标的一个分量），然后取库向量的第二个ID，在目标向量的距离码表的第二段中查出一个距离d2，这是第二段的距离，然后再查出第三段距离d3、第四段的距离d4，最后，把d1+d2+d3+d4的和作为整个目标向量与这个库向量的距离指标。计算一个目标向量与一个库向量距离的过程，只要4次查表和3次加法，要比如实的计算两个128维向量的距离要快的多。

当然对于每个目标向量，都要有个建立距离表的过程，但是这只需要建立一次，就可以用于多次与库向量的距离计算。