数据结构入门指南：二叉树

目录

文章目录

前言

 1. 树的概念及结构

   1.1 树的概念

 1.2 树的基础概念

1.3 树的表示

1.4 树的应用

 2. 二叉树

2.1 二叉树的概念

 2.2 二叉树的遍历

前言

        在计算机科学中，数据结构是解决问题的关键。而二叉树作为最基本、最常用的数据结构之一，不仅在算法和数据处理中发挥着重要作用，也在日常生活中有着丰富的应用。无论是搜索引擎的索引算法、文件系统的组织方式，还是编译器的语法分析，二叉树都扮演着不可或缺的角色。为了便于大家更好的入门二叉树，本期先向大家简单介绍一下二叉树的基本性质，以及代码理解实现，给大家预预热。

 1. 树的概念及结构

   1.1 树的概念

         树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

  • 有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点
  • 除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i<= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
  • 因此，树是递归定义的。

 那这样是树还是非树？

 

 答案是非树，树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构。

 1.2 树的基础概念

  • 节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为6
  • 叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I...等节点为叶节点
  • *非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G...等节点为分支节点
  • 双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点
  • 孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点
  • 兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点
  • 树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6
  • *节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
  • *树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4
  • *堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点
  • *节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先
  • *子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙
  • *森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林；

带星号的了解即可。

        这里我们重点说一下树的高度和节点层次，不同的数据结构书中一般有两种方式表示树的高度，一种是从0开始例如上述的树，根节点A高度就是0，到P、Q高度就是3。另外一种是从1开始，根节点1的高度为1，那P、Q的高度就是4。个人更推荐使用从1开始的，如果使用从0开始的，那如果是空树，在使用0表示就有点说不过去了，那空树的高度就只能是-1了。如果使用从1开始的，那空树就可以使用0来表示。

1.3 树的表示

         树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，既然保存值域，也要保存结点和结点之间的关系，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。

         首先在定义树的节点时就很为难，一个节点到底要定义多少个指向子节点的指针：

struct TreeNode
{
	Datatype x;
	struct TreeNode* child1;
	struct TreeNode* child2;

	……

};

 要想定义一个节点就要先知道一个树的度，例如上述的树：

         这棵树的度为6，那我们定义时就要定义6个指针变量吗？那大部分的节点的子节点并没有达到6个，这样就会很浪费，定义也很费劲。

在C++中，有这样一种定义方法：

struct TreeNode
{
	Datatype x;
	vector<struct TreeNode*> childs;
};

         可以不规定个数，它使用数组的方式来存储，如果不够还可以进行增容，这种方式是使用顺序表来存储孩子节点的信息。

         还有一种非常巧的方式，叫孩子兄弟表示法，即左孩子右兄弟。

         拿这棵树为例，这种方法在定义节点时就只定义两个指针，一个指针叫左孩子指针，一个指针叫右兄弟指针。怎么指向呢？就是说无论一个节点有多少个孩子，它的孩子指针就只指向第一个孩子（最左边的孩子节点），剩下的孩子用第一个孩子的兄弟指针指向第二个，第二个孩子的兄弟指针指向第三个。

表示出来就是这样的结构：

 除此之外还有其他的表示法，这里就不再一一列举。

1.4 树的应用

 在现实生活中我们也经常使用到树状结构，例如：文件存储

 2. 二叉树

         了解完树的基本概念后，我们接下来进入二叉树的学习。

2.1 二叉树的概念

 一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合:

  1. 或者为空
  2. 由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

 二叉树的特点：

  1. 二叉树不存在度大于2的结点
  2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

 对于任何一颗二叉树都是由一下几种情况复合而成。

         当然关于二叉树的基础概念还有很多，今天就先简单介绍，接下来给大家来点干货，先让大家切身体验一下二叉树。                                                

 2.2 二叉树的遍历

 当我们看到任何一颗二叉树都应该把它分为三个部分：

  • 根节点
  • 左子树
  • 右子树

 我们以这棵树为例进行分析：

         A为这棵树的根节点，B及其以下的节点（D、E）被称为左子树，C及其以下节点被称为右子树。然后B子树仍然可以分为D及其以下节点是左子树，E及其以下节点是右子树，然后再分，直到子节点为NULL，停止。

我们这里用的是分治算法。分治算法：

        把大问题分成类似的子问题，子问题再分成子问题，……，直到子问题无法再分割为止。

遍历可分为三种：

前序：也叫先根遍历，遍历顺序为：根、左子树、右子树

中序：也叫中根遍历，遍历顺序为：左子树、根、右子树

后序：也叫后根遍历，遍历顺序为：左子树、右子树、根

         我们先来尝试以下前序遍历，理解了前序遍历后两个就简单了。还是以这棵树为例：

         前序遍历，我们是先访问根，然后是左子树、右子树。那应该先遍历A，然后遍历A的左子树B（及其以下节点），然后就以B为根继续遍历它的左子树D（及其以下节点），然后再次以D为根开始，遍历左子树（NULL），然后开始返回到D，D再遍历右子树（NULL），然后D（这个子树）就遍历完毕，返回到B，B开始遍历右子树E（及其以下节点），E左子树为NULL返回到E，然后遍历右子树，右子树也为空（E子树遍历完毕），然后返回E（B的右子树遍历完毕），接着返回B（B的所有子树遍历完毕），接着返回到A，A开始遍历右子树……这个规律很符合递归。

        遍历完的顺序为：A、B、D、NULL、NULL、E、NULL、NULL、C、NULL、NULL。大部分学校讲的都是A、B、D、E、C。大部分同学应该都知道这个规律，但不知道为什么这样遍历。

        根据这个思路我们再来写一下中序遍历，中序遍历先访问左子树，然后是跟，最后是右子树。还是从A开始找，A的左子树B，然后以B为根，找B的左子树，接着以D为根，找D的左子树，D的左子树为NULL（D左子树遍历结束），返回到D（根），开始遍历D的右子树……

         最后遍历的顺序为：【NULL、D、NULL(B的左子树）、B(根)、NULL、E、NULL              (B的右子树）、】(A的左子树）、A(根）、【NULL、C、NULL】(A的右子树）。整理一下：

NULL、D、NULL、B、NULL、E、NULL、A、NULL、C、NULL（D、B、E、C、A）。

         我们接着写一下后序遍历：NULL、NULL、D、NULL、NULL、E、B、NULL、NULL、C、A（D、E、B、C、A）。

我们再来练一个：

         前序遍历：A（根）||这部分为整体二叉树的根、B（左子树）、NULL（B的左子树）、D（B的右子树）、F（D的左子树）、NULL（F的左子树）、NULL（F的右子树）、NULL（D的右子树）||这部分属于A的左子树、C、E、NULL（E的左子树）、NULL（E的右子树）、NULL（C的右子树）||这部分为A的右子树。

 后续的中序遍历和后续遍历大家可以自己私下练一下。

        好了我们已经了解了遍历，接下来我们来说实现以下前序遍历。给大家来点干货，便于大家更好理解。

 我们依然以这个简单的二叉树为例进行实现。

 我们先定义一个二叉树的节点：

typedef char Datatype;
typedef struct BinaryTreeNode
{
	Datatype data;
	struct BinaryTreeNode* left;
	struct BinaryTreeNode* right;
}BTNode;

 然后就是它的前序遍历的实现：

void PrevOrder(BTNode* root)
{
	
}

        我们知道前序遍历的顺序是根，然后是左子树，最后是右子树。因此在开始前我们先判断以下root是否为NULL，如果不为NULL我们就打印根节点的数据。 

void PrevOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		printf("NULL ");
		return;
	}
	printf("%c ", root->data);
	
}

         那如何遍历到左子树、右子树呢？其实很简单，我们之前介绍的时候说：二叉树的遍历复合递归结构，这里我们就可以使用递归来完成遍历，代码如下：

void PrevOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		printf("NULL ");
		return;
	}
	printf("%c ", root->data);
	PrevOrder(root->left);
	PrevOrder(root->right);
}

         先遍历左子树，再遍历右子树，那调用的顺序就先调用自己传左孩子指针过去，以左孩子节点为根，再按照这个程序进行执行，再次传左孩子指针过去……，知道左孩子为NULL，返回上一层，开始遍历右子树。

 我们可以简单粗暴的测试以下，测试代码如下：

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>

typedef char Datatype;
typedef struct BinaryTreeNode
{
	Datatype data;
	struct BinaryTreeNode* left;
	struct BinaryTreeNode* right;
}BTNode;

void PrevOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		printf("NULL ");
		return;
	}
	printf("%c ", root->data);
	PrevOrder(root->left);
	PrevOrder(root->right);
}
int main()
{
	BTNode* A = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	A->data = 'A';
	A->left = NULL;
	A->right = NULL;
	BTNode* B = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	B->data = 'B';
	B->left = NULL;
	B->right = NULL;
	BTNode* C = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	C->data = 'C';
	C->left = NULL;
	C->right = NULL;
	BTNode* D = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	D->data = 'D';
	D->left = NULL;
	D->right = NULL;
	BTNode* E = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	E->data = 'E';
	E->left = NULL;
	E->right = NULL;

	A->left = B;
	A->right = C;
	B->left = D;
	B->right = E;

	PrevOrder(A);
	printf("\n");
	return 0;
}

执行结果：

 和上述分析的结果一致。

那剩下的中序遍历和后序遍历也很简单，只需要改变一下递归调用函数的次序即可：

//中序遍历
void InOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		printf("NULL ");
		return;
	}
	InOrder(root->left);
	printf("%c ", root->data);
	InOrder(root->right);
}

//后序遍历
void PostOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		printf("NULL ");
		return;
	}
	PostOrder(root->left);
	PostOrder(root->right);
	printf("%c ", root->data);
	
}

 我们也可以测试以下看看执行结果，测试代码如下：

typedef struct BinaryTreeNode
{
	Datatype data;
	struct BinaryTreeNode* left;
	struct BinaryTreeNode* right;
}BTNode;

void PrevOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		printf("NULL ");
		return;
	}
	printf("%c ", root->data);
	PrevOrder(root->left);
	PrevOrder(root->right);
}
void InOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		printf("NULL ");
		return;
	}
	InOrder(root->left);
	printf("%c ", root->data);
	InOrder(root->right);
}
void PostOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		printf("NULL ");
		return;
	}
	PostOrder(root->left);
	PostOrder(root->right);
	printf("%c ", root->data);
	
}
int main()
{
	BTNode* A = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	A->data = 'A';
	A->left = NULL;
	A->right = NULL;
	BTNode* B = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	B->data = 'B';
	B->left = NULL;
	B->right = NULL;
	BTNode* C = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	C->data = 'C';
	C->left = NULL;
	C->right = NULL;
	BTNode* D = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	D->data = 'D';
	D->left = NULL;
	D->right = NULL;
	BTNode* E = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	E->data = 'E';
	E->left = NULL;
	E->right = NULL;

	A->left = B;
	A->right = C;
	B->left = D;
	B->right = E;

	printf("前序遍历：");
	PrevOrder(A);
	printf("\n");

	printf("中序遍历：");
	InOrder(A);
	printf("\n");

	printf("后序遍历：");
	PostOrder(A);
	printf("\n");
	return 0;
}

 执行结果如下：

 可以和上边的分析对比一下，没有问题，

总结

        二叉树遍历是学习和理解二叉树的重要部分。通过遍历，我们可以按照特定的顺序访问二叉树的节点，从而深入了解它们的结构和关系。在这篇博客中，我们介绍了三种常见的二叉树遍历方式：前序遍历、中序遍历和后序遍历，并对它们的原理、特点和应用进行了详细讨论。本期内容为预热阶段，先让大家熟悉一下二叉树，以便于后续二叉树的学习，好的本期内容到此结束，感谢阅读！

本文来自互联网用户投稿，该文观点仅代表作者本人，不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务，不拥有所有权，不承担相关法律责任。如若转载，请注明出处：/a/75155.html

如若内容造成侵权/违法违规/事实不符，请联系我们进行投诉反馈qq邮箱809451989@qq.com，一经查实，立即删除！

相关文章

【网络】传输层——TCP(滑动窗口流量控制拥塞控制延迟应答捎带应答)

【网络】传输层——TCP(滑动窗口流量控制拥塞控制延迟应答捎带应答)

&#x1f431;作者&#xff1a;一只大喵咪1201 &#x1f431;专栏&#xff1a;《网络》 &#x1f525;格言&#xff1a;你只管努力&#xff0c;剩下的交给时间&#xff01; 上篇文章对TCP可靠性机制讲解了一部分&#xff0c;这篇文章接着继续讲解。 &#x1f3a8;滑动窗口 在…
阅读更多...
【LeetCode】543.二叉树的直径

【LeetCode】543.二叉树的直径

题目 给你一棵二叉树的根节点&#xff0c;返回该树的 直径 。 二叉树的 直径 是指树中任意两个节点之间最长路径的 长度 。这条路径可能经过也可能不经过根节点 root 。 两节点之间路径的 长度 由它们之间边数表示。 示例 1&#xff1a; 输入&#xff1a;root [1,2,3,4,5]…
阅读更多...
外企开展中国在线业务的三种网络加速方案：含免ICP备案CDN解决方案

外企开展中国在线业务的三种网络加速方案：含免ICP备案CDN解决方案

中国作为全球除美国外最大的消费市场&#xff0c;是几乎每个国际化企业都想要深入挖掘的市场&#xff0c;但外国企业在中国开展在线业务需要面临一个比较特殊的挑战&#xff1a;互联网防火墙&#xff08;GFW&#xff09;。为此所有想要在中国市场有所作为的外企都需要首先解决这…
阅读更多...
leetcode 516. 最长回文子序列(JAVA)题解

leetcode 516. 最长回文子序列(JAVA)题解

题目链接https://leetcode.cn/problems/longest-palindromic-subsequence/description/?utm_sourceLCUS&utm_mediumip_redirect&utm_campaigntransfer2china 目录 题目描述&#xff1a; 暴力递归&#xff1a; 动态规划&#xff1a; 题目描述&#xff1a; 给你一个…
阅读更多...
【JVM】类装载的执行过程

【JVM】类装载的执行过程

文章目录 类装载的执行过程1.加载2.验证3.准备4.解析5.初始化6.使用7.卸载 类装载的执行过程 类装载总共分为7个过程&#xff0c;分别是 加载&#xff0c;验证&#xff0c;准备、解析、初始化、使用、卸载 1.加载 将类的字节码文件加载到内存(元空间&#xff09;中。这一步会…
阅读更多...
智头条|DFM-2大模型吹热智能家居，360安全云正式发布

智头条|DFM-2大模型吹热智能家居，360安全云正式发布

行业动态 DFM-2大模型吹热智能家居 近期,思必驰行业语言计算大模型DFM-2正式发布,也带来了人机交互能力的提升和优秀的技术落地能力。DFM-2大模型与DUI平台结合推出DUI2.0,完成了对话式AI全链路技术的升级,推进深度产业应用。在智能家居领域,目前思必驰已与海信、长虹美菱、老…
阅读更多...
为什么要分库分表？

为什么要分库分表？

不急于上手实战 ShardingSphere 框架&#xff0c;先来复习下分库分表的基础概念&#xff0c;技术名词大多晦涩难懂&#xff0c;不要死记硬背理解最重要&#xff0c;当你捅破那层窗户纸&#xff0c;发现其实它也就那么回事。 什么是分库分表 分库分表是在海量数据下&#xff0…
阅读更多...
JAVA电商平台免费搭建 B2B2C商城系统 多用户商城系统 直播带货 新零售商城 o2o商城 电子商务 拼团商城 分销商城 bbc

JAVA电商平台免费搭建 B2B2C商城系统 多用户商城系统 直播带货 新零售商城 o2o商城 电子商务 拼团商城 分销商城 bbc

​ 1. 涉及平台 平台管理、商家端&#xff08;PC端、手机端&#xff09;、买家平台&#xff08;H5/公众号、小程序、APP端&#xff08;IOS/Android&#xff09;、微服务平台&#xff08;业务服务&#xff09; 2. 核心架构 Spring Cloud、Spring Boot、Mybatis、Redis 3. 前…
阅读更多...
第三章：前端UI框架介绍

第三章：前端UI框架介绍

文章目录 一、Bootstrap1.1 Bootstrap简介及版本1.2 Bootstrap使用 二、AntDesign2.1 简介2.2 基本使用2.3 antd pro 三、ElementUI3.1 简介3.2 基本使用 四、Vant4.1 简介4.2 基本使用 一、Bootstrap 1.1 Bootstrap简介及版本 1、 简介 Bootstrap&#xff0c;来白 Twitter&a…
阅读更多...
metaRTC7 demo mac/ios编译指南

metaRTC7 demo mac/ios编译指南

概要 metaRTC7.0开始全面支持mac/ios操作系统&#xff0c;新版本7.0.023 mac os demo 包含有srs/zlm的推拉流演示。发布版自带了x64版第三方类库&#xff0c;arm版第三方类库还需开发者自己编译。 源码下载 下载文件metartc7.023.7z https://github.com/metartc/metaRTC/re…
阅读更多...
【JavaEE进阶】SpringBoot 日志

【JavaEE进阶】SpringBoot 日志

文章目录 一. 日志有什么用?二. 自定义日志打印1. 日志的使用与打印 三. 日志级别1. 日志级别有什么用?2. 日志级别的分类及使用 四. 日志持久化五. 更简单的日志输出---Lombok1. Lombok的使用2. lombok原理解释2.1 Lombok更多注解说明 一. 日志有什么用? 在Java中&#xf…
阅读更多...
IDE的下载和使用

IDE的下载和使用

IDE 文章目录 IDEJETBRAIN JETBRAIN 官网下载对应的ide 激活方式 dxm的电脑已经把这个脚本下载下来了&#xff0c;脚本是macjihuo 以后就不用买了
阅读更多...
PDB Database - RCSB PDB 数据集 (2023.8) 的多维度信息统计

PDB Database - RCSB PDB 数据集 (2023.8) 的多维度信息统计

欢迎关注我的CSDN&#xff1a;https://spike.blog.csdn.net/ 本文地址&#xff1a;https://spike.blog.csdn.net/article/details/132297736 RCSB PDB 数据集是一个收集了蛋白质的三维结构信息的数据库&#xff0c;是世界蛋白质数据库&#xff08;wwPDB&#xff09;的成员之一&…
阅读更多...
Redis辅助功能

Redis辅助功能

一、Redis队列 1.1、订阅 subscribe ch1 ch2 1.2 publish:发布消息 publish channel message 1.3 unsubscribe: 退订 channel 1.4 模式匹配 psubscribe ch* 模糊发布&#xff0c;订阅&#xff0c;退订&#xff0c; p* <channelName> 1.5 发布订阅原理 订阅某个频道或…
阅读更多...
高性能跨平台网络通信框架 HP-Socket v5.9.3

高性能跨平台网络通信框架 HP-Socket v5.9.3

项目主页 : http://www.oschina.net/p/hp-socket开发文档 : https://www.docin.com/p-4478351216.html下载地址 : https://github.com/ldcsaa/HP-SocketQQ Group: 44636872, 663903943 v5.9.3 更新 一、主要更新 问题修复&#xff1a;通过 POST/PUT 等带有请求内容的 HTTP 方…
阅读更多...
SQL进阶--SQL的常用技巧

SQL进阶--SQL的常用技巧

一、ORDER BY FIELD() 自定义排序逻辑 排序 ORDER BY 除了可以用 ASC 和 DESC&#xff0c;还可以通过**ORDER BY FIELD(str,str1,...)**自定义字符串/数字来实现排序。这里用 order_diy 表举例&#xff0c;结构以及表数据展示&#xff1a; 二、CASE 表达式 「case when then el…
阅读更多...
SAP ME2L/ME2M/ME3M报表增强添加字段（包含：LMEREPI02、SE18:ES_BADI_ME_REPORTING）

SAP ME2L/ME2M/ME3M报表增强添加字段（包含：LMEREPI02、SE18:ES_BADI_ME_REPORTING）

ME2L、ME2M、ME3M这三个报表的字段增强&#xff0c;核心点都在同一个结构里 SE11:MEREP_OUTTAB_PURCHDOC 在这里加字段&#xff0c;如果要加的字段是EKKO、EKPO里的数据&#xff0c;直接加进去&#xff0c;啥都不用做&#xff0c;就完成了 如果要加的字段不在EKKO和EKPO这两个…
阅读更多...
Salesforce 为什么能够在 CRM 市场获得成功？

Salesforce 为什么能够在 CRM 市场获得成功？

Salesforce 为什么能够在 CRM 市场获得成功&#xff1f; 虽然salesforce有着水土不服&#xff0c;数据安全等问题&#xff0c;但依旧受到了国内CRM系统使用者的追捧。 但是近年来国内的一些CRM平台也做得很不错了&#xff0c;我认为没必要执着于非本土系统。 下面就以一个CR…
阅读更多...
SpringBoot 3自带的 HTTP 客户端工具

SpringBoot 3自带的 HTTP 客户端工具

原理 Spring的HTTP 服务接口是一个带有HttpExchange方法的 Java 接口&#xff0c;它支持的支持的注解类型有&#xff1a; HttpExchange&#xff1a;是用于指定 HTTP 端点的通用注释。在接口级别使用时&#xff0c;它适用于所有方法。GetExchange&#xff1a;为 HTTP GET请求指…
阅读更多...
【深度学习】日常笔记16

【深度学习】日常笔记16

可以将pd.DataFrame数据结构理解为类似于Excel中的表格。pd.DataFrame是pandas库提供的一个二维数据结构&#xff0c;用于存储和操作具有行和列的数据。它类似于Excel中的工作表&#xff0c;其中每一列可以是不同的数据类型&#xff08;例如整数、浮点数、字符串等&#xff09;…
阅读更多...
最新文章

Copyright @ 2022~2023