matlab编程实践18、19

浅水方程


        浅水方程可以建立起海啸和浴缸中波浪的数学模型。浅水方程建立了水或者其它不可压缩液体受扰动时传播的模型。隐含的假设是,液体的深度和波浪的长度、扰动等相比是很小的。

         在这样的记号下,浅水方程为双曲守恒定律的一个例子。

\frac{\partial U}{\partial t}+\frac{\partial F(U)}{\partial x}+\frac{\partial G(U)}{\partial y}=0

        使用拉克斯-冯特洛夫方法计算方程的近似数值解。waterwave求解的区域为正方形区域,有反射的边界条件。在初始时刻,在整个区域都有h=1,u=0,v=0,这样解是静态的。然后在连续几个时间步长内,二维高斯型峰值添加到h处,用来模拟水滴滴到水面上的冲量扰动作用。

shading 设置颜色着色属性

function waterwave
% WATERWAVE   2D Shallow Water Model
%
% Lax-Wendroff finite difference method.
% Reflective boundary conditions.
% Random water drops initiate gravity waves.
% Surface plot displays height colored by momentum.
% Plot title shows t = simulated time and tv = a measure of total variation.
%t = 模拟时间,tv = 总变化量
% An exact solution to the conservation law would have constant tv.
% Lax-Wendroff produces nonphysical oscillations and increasing tv.
%
% See:
%    http://en.wikipedia.org/wiki/Shallow_water_equations
%    http://www.amath.washington.edu/~rjl/research/tsunamis
%    http://www.amath.washington.edu/~dgeorge/tsunamimodeling.html
%    http://www.amath.washington.edu/~claw/applications/shallow/www

% Parameters

n = 64;                  % grid size
g = 9.8;                 % gravitational constant
dt = 0.01;               % hardwired timestep
dx = 1.0;
dy = 1.0;
nplotstep = 8; %绘图间隔
ndrops = 1; % 最大滴数
dropstep = 200; % 液滴间隔
D = droplet(1.5,21); % 模拟水滴
% Initialize graphics

[surfplot,top,restart,quit] = initgraphics(n); %启动图形

% Outer loop, restarts.

while get(quit,'value') == 0
   set(restart,'value',0)
   
   H = ones(n+2,n+2);   U = zeros(n+2,n+2);  V = zeros(n+2,n+2);
   Hx = zeros(n+1,n+1); Ux = zeros(n+1,n+1); Vx = zeros(n+1,n+1);
   Hy = zeros(n+1,n+1); Uy = zeros(n+1,n+1); Vy = zeros(n+1,n+1);
   ndrop = ceil(rand*ndrops);
   nstep = 0;

   % Inner loop, time steps.

   while get(restart,'value')==0 && get(quit,'value')==0
       nstep = nstep + 1;

       % Random water drops
       if mod(nstep,dropstep) == 0 && nstep <= ndrop*dropstep
           w = size(D,1);
           i = ceil(rand*(n-w))+(1:w);
           j = ceil(rand*(n-w))+(1:w);
           H(i,j) = H(i,j) + (1+4*rand)/5*D;
       end
     
       % Reflective boundary conditions
       H(:,1) = H(:,2);      U(:,1) = U(:,2);       V(:,1) = -V(:,2);
       H(:,n+2) = H(:,n+1);  U(:,n+2) = U(:,n+1);   V(:,n+2) = -V(:,n+1);
       H(1,:) = H(2,:);      U(1,:) = -U(2,:);      V(1,:) = V(2,:);
       H(n+2,:) = H(n+1,:);  U(n+2,:) = -U(n+1,:);  V(n+2,:) = V(n+1,:);

       % First half step
   
       % x direction
       i = 1:n+1;
       j = 1:n;
   
       % height
       Hx(i,j) = (H(i+1,j+1)+H(i,j+1))/2 - dt/(2*dx)*(U(i+1,j+1)-U(i,j+1));
   
       % x momentum
       Ux(i,j) = (U(i+1,j+1)+U(i,j+1))/2 -  ...
                 dt/(2*dx)*((U(i+1,j+1).^2./H(i+1,j+1) + g/2*H(i+1,j+1).^2) - ...
                            (U(i,j+1).^2./H(i,j+1) + g/2*H(i,j+1).^2));
   
       % y momentum
       Vx(i,j) = (V(i+1,j+1)+V(i,j+1))/2 - ...
                 dt/(2*dx)*((U(i+1,j+1).*V(i+1,j+1)./H(i+1,j+1)) - ...
                            (U(i,j+1).*V(i,j+1)./H(i,j+1)));
       
       % y direction
       i = 1:n;
       j = 1:n+1;
   
       % height
       Hy(i,j) = (H(i+1,j+1)+H(i+1,j))/2 - dt/(2*dy)*(V(i+1,j+1)-V(i+1,j));
   
       % x momentum
       Uy(i,j) = (U(i+1,j+1)+U(i+1,j))/2 - ...
                 dt/(2*dy)*((V(i+1,j+1).*U(i+1,j+1)./H(i+1,j+1)) - ...
                            (V(i+1,j).*U(i+1,j)./H(i+1,j)));
       % y momentum
       Vy(i,j) = (V(i+1,j+1)+V(i+1,j))/2 - ...
                 dt/(2*dy)*((V(i+1,j+1).^2./H(i+1,j+1) + g/2*H(i+1,j+1).^2) - ...
                            (V(i+1,j).^2./H(i+1,j) + g/2*H(i+1,j).^2));
   
       % Second half step
       i = 2:n+1;
       j = 2:n+1;
   
       % height
       H(i,j) = H(i,j) - (dt/dx)*(Ux(i,j-1)-Ux(i-1,j-1)) - ...
                         (dt/dy)*(Vy(i-1,j)-Vy(i-1,j-1));
       % x momentum
       U(i,j) = U(i,j) - (dt/dx)*((Ux(i,j-1).^2./Hx(i,j-1) + g/2*Hx(i,j-1).^2) - ...
                         (Ux(i-1,j-1).^2./Hx(i-1,j-1) + g/2*Hx(i-1,j-1).^2)) ...
                       - (dt/dy)*((Vy(i-1,j).*Uy(i-1,j)./Hy(i-1,j)) - ...
                         (Vy(i-1,j-1).*Uy(i-1,j-1)./Hy(i-1,j-1)));
       % y momentum
       V(i,j) = V(i,j) - (dt/dx)*((Ux(i,j-1).*Vx(i,j-1)./Hx(i,j-1)) - ...
                         (Ux(i-1,j-1).*Vx(i-1,j-1)./Hx(i-1,j-1))) ...
                       - (dt/dy)*((Vy(i-1,j).^2./Hy(i-1,j) + g/2*Hy(i-1,j).^2) - ...
                         (Vy(i-1,j-1).^2./Hy(i-1,j-1) + g/2*Hy(i-1,j-1).^2));
   
       % Update plot
       if mod(nstep,nplotstep) == 0
          C = abs(U(i,j)) + abs(V(i,j));  % Color shows momemtum
          t = nstep*dt;
          tv = norm(C,'fro');
          set(surfplot,'zdata',H(i,j),'cdata',C);
          set(top,'string',sprintf('t = %6.2f,  tv = %6.2f',t,tv))
          drawnow
       end
      
       if all(all(isnan(H))), break, end  % Unstable, restart
   end
end
close(gcf)

% ------------------------------------

function D = droplet(height,width)
% DROPLET  2D Gaussian
% D = droplet(height,width)
   [x,y] = ndgrid(-1:(2/(width-1)):1);
   D = height*exp(-5*(x.^2+y.^2));

% ------------------------------------

function [surfplot,top,restart,quit] = initgraphics(n);
% INITGRAPHICS  Initialize graphics for waterwave.
% [surfplot,top,restart,quit] = initgraphics(n)
% returns handles to a surface plot, its title, and two uicontrol toggles.

   clf
   shg
   set(gcf,'numbertitle','off','name','Shallow_water')
   x = (0:n-1)/(n-1);
   surfplot = surf(x,x,ones(n,n),zeros(n,n));
   grid off
   axis([0 1 0 1 -1 3])
   caxis([-1 1])
   shading faceted
   c = (1:64)'/64;
   cyan = [0*c c c];
   colormap(cyan)
   top = title('xxx');
   restart = uicontrol('position',[20 20 80 20],'style','toggle','string','restart');
   quit = uicontrol('position',[120 20 80 20],'style','toggle','string','close');


摩尔斯电码


        摩尔斯电码演示了二元树(binary tree)单元数组(cell array)。电码由短的点(dot或‘.’)或者长的停顿(dash或‘-’)分隔。

        '...---...'表示SOS,‘...--...’表示SMS。


摩尔斯树


        采用二元树来定义摩尔斯电码。从根节点开始向左移动一个链接表示一个“点”,向右表示一个“划”。如可以用“.-”来表示字母A。

 

function M = morse_tree
% MORSE_TREE
% M = morse_tree is a cell array of cell arrays, the binary
% tree for the Morse code of the 26 Latin characters.
%
% M = morse_tree_extended is a larger cell array of cell arrays,
% the binary tree for the Morse code of the 26 Latin characters
% plus digits, punctuation marks, and several non-Latin characters.
%
%                     _____  root _____
%                   /                   \
%               _ E _                   _ T _
%            /         \             /         \
%           I           A           N           M
%         /   \       /   \       /   \       /   \
%        S     U     R     W     D     K     G     O
%       / \   /     /     / \   / \   / \   / \
%      H   V F     L     P   J B   X C   Y Z   Q
%

global extend
if extend==1
   M = morse_tree_extended;
   return
end

% Level 4
h = {'H' {} {}};
v = {'V' {} {}};
f = {'F' {} {}};
l = {'L' {} {}};
p = {'P' {} {}};
j = {'J' {} {}};
b = {'B' {} {}};
x = {'X' {} {}};
c = {'C' {} {}};
y = {'Y' {} {}};
z = {'Z' {} {}};
q = {'Q' {} {}};

% Level 3
s = {'S' h v};
u = {'U' f {}};
r = {'R' l {}};
w = {'W' p j};
d = {'D' b x};
k = {'K' c y};
g = {'G' z q};
o = {'O' {} {}};

% Level 2
i = {'I' s u};
a = {'A' r w};
n = {'N' d k};
m = {'M' g o};

% Level 1
e = {'E' i a};
t = {'T' n m};

% Level 0
M = {'' e t};

树的搜索


        反复选择树上的不同分支对应着遍历这个树的不同顺序。在众多可能的排序中,有两种有着标准的名字:深度优先搜索方法(depth-first search)广度优先搜索(breadth-first search)

         深度优先的方法使用的是成为栈(stack)的数据结构。栈S为单元数组,只要栈是非空的,while循环就一直进行下去。

   S = {morse_tree};
   while ~isempty(S)
      N = S{1};
      S = S(2:end);
      if ~isempty(N)
         fprintf(' %s',N{1})
         S = {N{2} N{3} S{:}};
      end
   end
   fprintf('\n')

        广度优先搜索算法用了称为队列(queue)的数据结构。

%% Breadth first, with a queue.
   Q = {morse_tree};
   while ~isempty(Q)
      N = Q{1};
      Q = Q(2:end);
      if ~isempty(N)
         fprintf(' %s',N{1})
         Q = {Q{:} N{2} N{3}};
      end
   end
   fprintf('\n')

        队列采用了先进先出(FIFO)的策略,而堆栈采用了后进先出(LIFO)的策略。

function morse_gui(arg)
% MORSE_GUI  Interactive demonstration of Morse code and binary trees.

   if nargin == 0
      init_gui
   elseif isequal(arg,'_depth')
      depth
   elseif isequal(arg,'_breadth') 
      breadth
   else
      translate
   end

   % ------------------------------------
   
   function depth
      % Depth first traversal of Morse code binary tree
      % Stack, LIFO, last in first out.
      % Insert new items at the top of the stack.
      S = {morse_tree};
      X = 0;
      Y = 0;
      while ~isempty(S)
         N = S{1};
         S = S(2:end);
         x = X(1);
         X = X(2:end);
         y = Y(1);
         Y = Y(2:end);
         if ~isempty(N)
            node(N{1},x,y)
            S = {N{2} N{3} S{:}};
            X = [2*x-(x>=0); 2*x+(x<=0); X];
            Y = [y+1; y+1; Y];
         end
      end
   end % depth

   % ------------------------------------
   
   function breadth
      % Breadth first traversal of Morse code binary tree.
      % Queue, FIFO, first in first out.
      % Insert new items at the end of the queue.
      Q = {morse_tree};
      X = 0;
      Y = 0;
      while ~isempty(Q)
         N = Q{1};
         Q = Q(2:end);
         x = X(1);
         X = X(2:end);
         y = Y(1);
         Y = Y(2:end);
         if ~isempty(N)
            node(N{1},x,y);
            Q = {Q{:} N{2} N{3}};
            X = [X; 2*x-(x>=0); 2*x+(x<=0)];
            Y = [Y; y+1; y+1];
         end
      end
   end % breadth

   % ------------------------------------
   
   function translate
      % Translate to and from Morse code.
      e = findobj('style','edit');
      s = findobj('string','sound');
      t = get(e,'string');
      if all(t=='.' | t=='-' | t==' ' | t=='*')
         t = decode(t);
         set(e,'string',t);
      else
         code = encode(t);
         set(e,'string',code);
         if get(s,'value') == 1
            morse_sound(code)
         end
      end
      if length(t)>=3 && isequal(t(1:3),'SOS')
         scream
      end
   end

   % ------------------------------------

   function code = encode(text)
      % ENCODE  Translate text to dots and dashes.
      % encode('text')
   
      code = '';
      text = upper(text);
      for k = 1:length(text);
         ch = text(k);
         % A blank in the text is worth three in the code.
         if ch == ' '
            code = [code '   '];
         else
            code = [code encode_ch(ch) ' '];
         end
      end
   
   end % encode

   % ------------------------------------

   function dd = encode_ch(ch)
      % ENCODE_CH  Translate one character to dots and dashes.
   
      S = {morse_tree};
      D = {''};
      while ~isempty(S)
         N = S{1};
         dd = D{1};
         S = S(2:end);
         D = D(2:end);
         if ~isempty(N)
            if N{1} == ch;
               return
            else
               S = {N{2} N{3} S{:}};
               D = {[dd '.'] [dd '-'] D{:}};
            end
         end
      end
      dd = '*';
   
   end % encode_ch

   % ------------------------------------

   function text = decode(code)
      % DECODE  Translate strings of dots and dashes to text.
      % decode('string of dots, dashes and spaces')
   
      text = [];
      code = [code ' '];
      while ~isempty(code);
         k = find(code == ' ',1);
         ch = decode_dd(code(1:k));
         text = [text ch];
         code(1:k) = [];
         % Many blanks in the code is worth one in the text.
         if ~isempty(code) && code(1) == ' '
            text = [text ' '];
            while ~isempty(code) && code(1) == ' '
               code(1) = [];
            end
         end
      end
   
   end % decode

   % ------------------------------------

   function ch = decode_dd(dd)
      % DECODE_DD  Translate one character's worth of dots
      % and dashes to a single character of text.

      M = morse_tree;
      for k = 1:length(dd)
         if dd(k) == '.'
            M = M{2};
         elseif dd(k) == '-'
            M = M{3};
         end
         if isempty(M)
            ch = '*';
            return
         end
      end
      ch = M{1};
   
   end % decode_dd

   % ------------------------------------

   function init_gui
      % Initialize Morse code gui.
      global extend
      extend = 0;
      clf reset
      axes('pos',[0 0 1 1])
      axis(16*[-1 1 0 2])
      axis square off
      set(gcf,'color','white')
      set(gca,'ydir','rev')
      uicontrol('style','push','string','depth', ...
         'units','normal','pos',[0.16 0.20 0.12 0.06], ...
         'callback','cla, morse_gui(''_depth'')')
      uicontrol('style','push','string','breadth', ...
         'units','normal','pos',[0.35 0.20 0.12 0.06], ...
         'callback','cla, morse_gui(''_breadth'')')
      uicontrol('style','toggle','string','sound','value',1, ...
         'units','normal','pos',[0.54 0.20 0.12 0.06]);
      uicontrol('style','toggle','string','extend','value',0, ...
         'units','normal','pos',[0.72 0.20 0.12 0.06], ...
         'callback', ['global extend, extend=get(gcbo,''value'');' ...
         'if extend==0, cla, end, axis(2^(4+extend)*[-1 1 0 2])']);
      uicontrol('style','edit','string', ...
         'Enter text or code to translate', ...
         'units','normal','pos',[0.16 0.04 0.68 0.08], ...
         'callback','cla, morse_gui(''_translate'')')
   end

   % ------------------------------------

   function node(ch,x,y)
      % Plot, and possibly play, node of Morse code binary tree.
      global extend
      r = 0.90;
      z = r*exp(2*pi*i*(0:32)/32);
      delta = 1/3;
      dkgreen = [0 1/2 0];
      lw = get(0,'defaultlinelinewidth')+0.5;
      fs = get(0,'defaulttextfontsize');
      if ~extend
         lw = lw+1;
         fs = fs+2;
      end
      p = 2^(4+extend-y);
      u = (x~=0)*(2*x+2*(x<=0)-1)*p;
      v = 4*(y+1);
      % Circle
      line(u+real(z),v+imag(z),'color','black','linewidth',lw)
      % Character
      text(u-delta,v,ch,'fontweight','bold','color',dkgreen,'fontsize',fs);
      % Connect node to parent
      if (x~=0)
         if y==1
            w = 0;
         elseif rem(x,2)==(x>0)
            w = u+p;
         else
            w = u-p;
         end
         line([u w],[v-r v+r-4],'color','black','linewidth',lw)
      end
      if get(findobj('string','sound'),'value') == 1
         morse_sound(encode_ch(ch))
         pause(0.2)
      end
      pause(0.1)
   end

   % ------------------------------------

   function morse_sound(code,delta,note)
      % MORSE_SOUND  Play sound for dots and dashes.
      % morse_sound(code) plays code, a string of dots, dashes and spaces.
      % morse_sound(code,delta,note) time slice is delta and tone is note.
      % Default delta = 1/16 second.
      % Default note = 6, which is F above middle C.  See play_note.
      
      if nargin < 2
         delta = 1/16;
      end
      if nargin < 3
         note = 6;
      end
      s = findobj('string','sound');
      for k = 1:length(code)
         if get(s,'value') == 1
            switch code(k)
               case '.'
                  play_note(note,delta)
               case '-'
                  play_note(note,3*delta)
               case ' '
                  pause(3*delta)
               otherwise
                  % Skip the character
            end
            pause(delta)
         end
      end
   end  % morse_sound

   % ------------------------------------

   function play_note(note,T)
      % PLAY_NOTE  Play a musical note.
      % play_note(note,T)  Play a note for T seconds.
      % note is an integer specifying semitones above and below middle C.
      % There are 12 notes per octave.
      % play_note(0,1/2) plays middle C (~261.625 Hz) for 1/2 second.
   
      C4 = 440/2^(3/4);             % Middle C, hertz
      Fs = 44100;                   % Sample rate, hertz
      t = (0:1/Fs:T);               % Linear time ramp
      f = C4 * 2^(note/12);         % Frequency, hertz
      y = sin(2*pi*f*t);            % Sinusoidal signal
      k = 1:1000;                   % Attack and release
      r = (k/1000);
      y(k) = r.*y(k);
      y(end+1-k) = r.*y(end+1-k);
      sound(y,Fs)                   % Play
   end  % play_note

end % morse_gui

解码和编码


        解码是将 “点和划” 描述的东西变成文字;编码过程正好反过来。

   function text = decode(code)
      % DECODE  Translate strings of dots and dashes to text.
      % decode('string of dots, dashes and spaces')
   
      text = [];
      code = [code ' '];
      while ~isempty(code);
         k = find(code == ' ',1);
         ch = decode_dd(code(1:k));
         text = [text ch];
         code(1:k) = [];
         % Many blanks in the code is worth one in the text.
         if ~isempty(code) && code(1) == ' '
            text = [text ' '];
            while ~isempty(code) && code(1) == ' '
               code(1) = [];
            end
         end
      end
   
   end % decode
 function dd = encode_ch(ch)
      % ENCODE_CH  Translate one character to dots and dashes.
   
      S = {morse_tree};
      D = {''};
      while ~isempty(S)
         N = S{1};
         dd = D{1};
         S = S(2:end);
         D = D(2:end);
         if ~isempty(N)
            if N{1} == ch;
               return
            else
               S = {N{2} N{3} S{:}};
               D = {[dd '.'] [dd '-'] D{:}};
            end
         end
      end
      dd = '*';
   
   end % encode_ch

摩尔斯电码表


        morse_code使用了递归算法函数traverse,这种递归调用的结果把C表格和含有“点”和“划”的dd字符串合并。在matlab中,可以使用char函数将数字转换成字母,如char(65)命令转换为A。

function C = morse_code(C,M,dd) 
% MORSE_CODE
% C = morse_code
% C = morse_code(morse_tree)
% C = morse_code(morse_tree_extended)
% Generate tables of the ASCII and Morse codes
% for the characters defined by the binary trees.

   if nargin < 3           % Choose binary tree
      if nargin == 0
         M = morse_tree;
      else
         M = C;
      end
      C = cell(256,1);     % The temporary code table
      dd = '';             % dots and dashes
   end
   
   if ~isempty(M)                        % Depth first search
      if ~isempty(M{1})
         C{double(M{1})} = dd;           % Use ASCII value as an index
      end
      C = morse_code(C,M{2},[dd '.']);   % Recursive call
      C = morse_code(C,M{3},[dd '-']);   % Recursive call
   end

   if nargin < 3                    % Final processing, convert to char.
      c = char(C{:});
      k = find(c(:,1) ~= ' ');      % Find the nonblank entries.
      b = blanks(length(k))';
      C = [char(k) b b int2str(k) b b char(C{k})];
   end

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