目录
一.堆的概念及结构
1.1.堆的概念
1.2.堆的存储结构
二.堆的功能实现
2.1.堆的定义
2.2.堆的初始化
2.3.堆的销毁
2.4.堆的打印
2.5.堆的插入
向上调整算法
堆的插入
2.6.堆的删除
向下调整算法
堆的删除
2.7.堆的取堆顶元素
2.8.堆的判空
2.9.堆的求堆的大小
三.堆的创建
3.1.向上调整建堆
时间复杂度
3.2.向下调整建堆
时间复杂度
四.堆的应用
4.1.堆排序
步骤一:建堆
步骤二:排序
4.2.TOP-K问题
一.堆的概念及结构
1.1.堆的概念
若n个关键字序列L[1...n]满足下面某一条性质,则称为堆(Heap)
- 若满足:L(i)>=L(2i)且L(i)>=L(2i+1)(1<=i<=n/2)--大根堆(大顶堆)
- 若满足:L(i)<=L(2i)且L(i)<=L(2i+1)(1<=i<=n/2)--小根堆(小顶堆)
大根堆在逻辑视角上可以看成所有子树根>=左,右的完全二叉树。相应的小根堆也可以看成根<=左,右的完全二叉树。
堆的性质:
- 堆中某个结点的值总是不大于或不小于其父结点的值;
- 堆总是一棵完全二叉树。
1.2.堆的存储结构
普通的二叉树是不适合用数组来存储的,因为可能会存在大量的空间浪费。而完全二叉树更适合使用顺序结构存储。现实中我们通常把堆(一种二叉树)使用顺序结构的数组来存储。
二.堆的功能实现
2.1.堆的定义
typedef int HPDataType;
typedef struct Heap
{
HPDataType* a;//开辟一个动态数组a
int size;//当前元素个数
int capacity;//数组的最大容量
}HP;
定义一个struct来保存堆的信息,主要包含数组首元素的地址a,数组中当前元素个数size以及数组的最大容量capacity。堆的定义同顺序表的定义类似。
2.2.堆的初始化
void HeapInit(HP* php)
{
//判空
assert(php);
//将数组首元素的地址位置空
php->a = NULL;
php->size = php->capacity = 0;
}
在初始化堆之前,首先需要对传入的参数php进行断言判断其是否为空,然后将数组首元素的地址置为空NULL,最后再将size和capacity都初始化为0。
调试分析:
2.3.堆的销毁
void HeapDestory(HP* php)
{
//判空
assert(php);
//释放
free(php->a);
php->a = NULL;
php->size = php->capacity = 0;
}
在销毁堆之前,首先需要对传入的参数php进行断言判断其是否为空,然后调用free函数释放数组首元素的地址,并将数组首元素的地址置为空NULL,最后再将size和capacity都置为0。
调试分析:
2.4.堆的打印
void HeapPrint(HP* php)
{
//判空
assert(php);
//打印
for (int i = 0; i < php->size; ++i)
{
printf("%d ", php->a[i]);
}
printf("\n");
}
首先判断传入的参数php是否为空,然后进行for循环依次打印数组中的各个元素。
2.5.堆的插入
当在堆中插入新元素时,对于小根堆,新元素放到表尾,与父结点对比,若新元素比父结点更小,则将二者互换。新元素就这样一路向上调整,直到无法继续上升为止。
向上调整算法
当在堆的末尾插入一个新元素,而新插入的元素可能会破坏堆的性质,这时就要进行调整。以小堆为例,当新元素大于其对应的父结点,则满足堆的性质,无需调整;当新元素小于其对应的父结点,则不满足堆的性质,要进行调整。
调整规则:
若新插入的元素child小于其对应的父结点parent,则调用Swap函数,将二者进行交换,此时child来到父结点parent的位置,其对应的新的父结点的下标为(child-1)/2,然后将child继续与parent进行比较,依次往上执行,直到child大于其对应的父结点parent,则跳出循环。
循环判断条件为:child>0,这是考虑到最坏的情况,也就是当child一直小于其对应的父结点时,child经过最后一次交换来到根结点的位置时,此时堆的调整已经结束。
实现:
//交换数据
void Swap(HPDataType* p1, HPDataType* p2)
{
HPDataType tmp = *p1;
*p1 = *p2;
*p2 = tmp;
}
//向上调整(小堆)
void AdjustUp(HPDataType* a, int child)
{
//查找父结点下标
int parent = (child - 1) / 2;
//最坏情况是一路调整到根
while (child > 0)
{
if (a[child] < a[parent])//大堆:a[child]>a[parent]
{
//将父子结点进行交换
Swap(&a[child], &a[parent]);
//把父结点的下标赋值给孩子
child = parent;
//再去查找父结点的下标
parent = (child - 1) / 2;
}
else
{
//若已构成堆,则直接跳出循环
break;
}
}
}
堆的插入
void HeapPush(HP* php, HPDataType x)
{
//判空
assert(php);
//检查容量是否为空或已满
if (php->size == php->capacity)
{
//扩容
int newCapacity = php->capacity == 0 ? 4 : php->capacity * 2;//为空就开辟四个元素空间,不为空,就扩容至二倍
HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(php->a, sizeof(HPDataType) * newCapacity);
//判空
if (tmp == NULL)
{
printf("realloc fail\n");
exit(-1);
}
//将新开辟的内存空间的首地址tmp赋值给a
php->a = tmp;
//更新capacity
php->capacity = newCapacity;
}
//插入
//先将元素插入到堆的末尾,即最后一个孩子后面
//插入之后如果堆的性质遭到了破坏,则将新插入结点顺着其双亲往上调整到合适的位置
php->a[php->size] = x;//注意:size指向数组最后一个元素的下一个位置
php->size++;
//向上调整
AdjustUp(php->a, php->size - 1);
}
在堆中插入元素之前,首先需要检查当前容量是否为空或者已满。若容量为空,则调用realloc函数开辟四个元素的内存空间,若容量已满,则调用realloc函数将内存空间开辟到原来的二倍,并将新开辟的内存空间的首地址tmp赋值给a,同时更新capacity。接着便可以插入元素,因为size是指向数组最后一个元素的下一个位置,所以先将新元素x插到下标为size的位置,然后再将size+1。最后再调用AdjustUp函数,进行向上调整。
调试分析:
运行结果:
2.6.堆的删除
堆的删除是删除堆顶的元素,将堆顶的元素与最后一个元素交换,然后删除数组最后一个元素,再进行向下调整。
向下调整算法
当对堆进行删除时,删除的往往是堆顶元素,删除之后可能会破坏堆的性质,这时就要进行调整。以小堆为例,在删除之前,首先将堆顶元素与最后一个元素交换,交换完之后再将最后一个元素删除。然后从根结点开始依次向下调整,直到把它调整为一个小堆。
向下调整算法的前提:左右子树必须是一个堆,才能调整。
调整规则:
首先选出根结点的左右孩子中较小的那一个,这里先假设左孩子最小,然后将左孩子与右孩子进行比较,若左孩子小于右孩子,则不变;若左孩子大于右孩子,则将右孩子设为最小。然后将最小的孩子与父结点进行比较,如果比父结点小,则交换,交换完之后,把孩子结点child所在的下标赋值给父结点parent,并让child指向新的父结点的左孩子,然后依次向下比较,直到调整到叶子结点的位置;如果比父结点大,则调整结束。
实现:
//交换数据
void Swap(HPDataType* p1, HPDataType* p2)
{
HPDataType tmp = *p1;
*p1 = *p2;
*p2 = tmp;
}
void AdjustDown(HPDataType* a, int size, int parent)
{
//1.选出左右孩子中小的那一个
int child = parent * 2 + 1;//假设左孩子最小
while (child < size)
{
//当右孩子存在且右孩子小于左孩子
if (child + 1 < size && a[child + 1] < a[child])//大堆:a[child+1]>a[child]
{
++child;//则将右孩子置为child
}
//2.小的孩子跟父亲比较,如果比父亲小,则交换,然后继续往下调整;如果比父亲大,则调整结束
if (a[child] < a[parent])//大堆:a[child]>a[parent]
{
//交换数据
Swap(&a[child], &a[parent]);
//3.继续往下调,最多调整到叶子结点就结束
//把孩子的下标赋值给父亲
parent = child;
//假设左孩子最小
child = parent * 2 + 1;
}
else
{
break;
}
}
}
堆的删除
void HeapPop(HP* php)
{
//判空
assert(php);
//判断数组是否为空
assert(php->size > 0);
//将第一个元素与最后一个元素交换,然后删除
Swap(&(php->a[0]), &(php->a[php->size - 1]));
php->size--;
//向下调整
AdjustDown(php->a, php->size, 0);
}
在删除之前,首先需要判断数组是否为空,若为空则无法进行删除,若不为空则可以进行删除。然后调用Swap函数将数组的第一个待删除元素与数组的最后一个元素进行交换,并让size-1,删除最后一个元素。最后再调用函数AdjustDown,进行向下调整。
调试分析:
运行结果:
2.7.堆的取堆顶元素
HPDataType HeapTop(HP* php)
{
//判空
assert(php);
//判断数组是否为空
assert(php->size > 0);
//根结点即为堆顶元素
return php->a[0];
}
在取堆顶元素之前,首先要对数组进行判空操作,若数组为空则无法进行读取操作,若数组不为空则直接读取数组的首元素,数组的首元素也就是根结点,即为堆顶元素。
调试分析:
运行结果:
2.8.堆的判空
bool HeapEmpty(HP* php)
{
//判空
assert(php);
//看size的大小是否为0
return php->size == 0;
}
判断堆是否为空,只需判断size是否等于0,若size为0,则数组为空,即堆为空;若size不为0,则数组不为空,即堆不为空。
调试分析:
2.9.堆的求堆的大小
int HeapSize(HP* php)
{
//判空
assert(php);
//size的大小即为数组的大小,也就是堆的大小
return php->size;
}
求堆的大小,只需求数组中当前元素个数,也就是求size的大小。
调试分析:
三.堆的创建
3.1.向上调整建堆
向上调整建堆,实际上是模拟堆的插入过程。首先,将数组中的第一个元素看做是堆的根结点,然后将数组中的元素依次插入堆中,每插入一个元素,就调用函数AdjustUp向上调整一次,直到将所有的元素均插入堆中。
实现:
for (int i = 1; i < n; ++i)//从第一个位置插入
{
AdjustUp(a, i);
}
时间复杂度
因为堆是一棵完全二叉树,而满二叉树又是一种特殊的完全二叉树,为了简化计算,我们不妨假设此处的堆是一棵满二叉树。
由上图得,对于高度为h的满二叉树构成的堆,最多进行向上调整的次数设为,有:
综上,证得向上调整建堆的时间复杂度为O(N*logN)。
3.2.向下调整建堆
首先将数组中的元素以完全二叉树的形式排列好,然后从倒数第一个非叶子结点开始,调用函数AdjustDown依次向下调整。每调整一次,则将i的值减1,让其来到倒数第二个非叶子结点的位置,重复上述操作,直到i来到根结点的位置。
实现:
for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)//n-1为最后一个结点的下标,求最后一个结点的父结点的下标(n-1-1)/2
{
AdjustDown(a, n, i);
}
注意:
我们可以直接通过向上调整算法来建堆,但是我们不可以直接通过向下调整算法来建堆。因为向下调整算法的前提:左右子树必须是堆,才能调整。
时间复杂度
因为堆是一棵完全二叉树,而满二叉树又是一种特殊的完全二叉树,为了简化计算,我们不妨假设此处的堆是一棵满二叉树。
由上图得,对于高度为h的满二叉树构成的堆,最多进行向上调整的次数设为,有:
综上,证得向上调整建堆的时间复杂度为O(N)。
四.堆的应用
4.1.堆排序
堆排序也就是利用堆的思想来进行排序,总共分为两个步骤:
- 建堆(升序建大堆,降序建小堆);
- 利用堆删除思想来进行排序 。
注意:
升序也可以建小堆,只是每次都要通过建堆的方式选出最小的元素。当进行第一次建堆选出最小的元素并放在数组起始位置时,剩余的元素关系就会发生错乱:原本的左孩子结点会变成新的根结点,右孩子结点会变成新的左孩子结点。然后将剩下的元素继续进行建堆,选出剩余元素中最小的元素并放入数组起始位置的下一个位置,重复上述操作,直到整个数组有序。整体时间复杂度为O(N^2),可见效率太低,没有使用到堆的优势。因此,升序要建大堆。
我们以升序建大堆为例:
步骤一:建堆
这里采用时间复杂度较低的向下建堆法来进行大根堆的建立。
实现:
//交换数据
void Swap(HPDataType* p1, HPDataType* p2)
{
HPDataType tmp = *p1;
*p1 = *p2;
*p2 = tmp;
}
//向下调整
void AdjustDown(HPDataType* a, int size, int parent)
{
//1.选出左右孩子中小的那一个
int child = parent * 2 + 1;//假设左孩子最小
while (child < size)
{
//当右孩子存在且右孩子小于左孩子
if (child + 1 < size && a[child + 1] > a[child])//大堆:a[child+1]>a[child]
{
++child;//则将右孩子置为child
}
//2.小的孩子跟父亲比较,如果比父亲小,则交换,然后继续往下调整;如果比父亲大,则调整结束
if (a[child] > a[parent])//大堆:a[child]>a[parent]
{
//交换数据
Swap(&a[child], &a[parent]);
//3.继续往下调,最多调整到叶子结点就结束
//把孩子的下标赋值给父亲
parent = child;
//假设左孩子最小
child = parent * 2 + 1;
}
else
{
break;
}
}
}
void HeapSort(int* a, int n)
{
//建堆
//建堆方式二:向下调整
//向下调整算法的左右子树必须是堆,因此不能使用该方法直接建堆
//时间复杂度:O(N)
//首先将数组中的元素以完全二叉树的形式排列好,然后从倒数第一个非叶子结点开始,依次向下调整
for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)//n-1为最后一个结点的下标,求最后一个结点的父结点的下标(n-1-1)/2
{
AdjustDown(a, n, i);
}
}
int main()
{
int a[] = { 27,15,19,18,28,34,65,49,25,37 };
HeapSort(a, sizeof(a) / sizeof(a[0]));
return 0;
}
调试分析:
建堆前:
建堆后:
步骤二:排序
这里用到堆的删除思想。先交换数组的首尾元素,此时尾结点中的元素为堆中的最大值。然后将堆的最后一个元素排除在外,并继续从根结点开始,对堆进行向下调整。重复上述操作,直到堆中仅剩一个元素为止。
实现:
//交换数据
void Swap(HPDataType* p1, HPDataType* p2)
{
HPDataType tmp = *p1;
*p1 = *p2;
*p2 = tmp;
}
//向下调整
void AdjustDown(HPDataType* a, int size, int parent)
{
//1.选出左右孩子中小的那一个
int child = parent * 2 + 1;//假设左孩子最小
while (child < size)
{
//当右孩子存在且右孩子小于左孩子
if (child + 1 < size && a[child + 1] > a[child])//大堆:a[child+1]>a[child]
{
++child;//则将右孩子置为child
}
//2.小的孩子跟父亲比较,如果比父亲小,则交换,然后继续往下调整;如果比父亲大,则调整结束
if (a[child] > a[parent])//大堆:a[child]>a[parent]
{
//交换数据
Swap(&a[child], &a[parent]);
//3.继续往下调,最多调整到叶子结点就结束
//把孩子的下标赋值给父亲
parent = child;
//假设左孩子最小
child = parent * 2 + 1;
}
else
{
break;
}
}
}
void HeapSort(int* a, int n)
{
//建堆
//建堆方式二:向下调整
//向下调整算法的左右子树必须是堆,因此不能使用该方法直接建堆
//时间复杂度:O(N)
//首先将数组中的元素以完全二叉树的形式排列好,然后从倒数第一个非叶子结点开始,依次向下调整
for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)//n-1为最后一个结点的下标,求最后一个结点的父结点的下标(n-1-1)/2
{
AdjustDown(a, n, i);
}
//排序
//时间复杂度:O(N*logN),其中N为元素个数,logN为向上调整的次数,也即树的高度
int end = n - 1;
while (end > 0)
{
//将第一个结点与最后一个结点交换
Swap(&a[0], &a[end]);
//向下调整选出次大的数
AdjustDown(a, end, 0);
--end;
}
}
int main()
{
int a[] = { 27,15,19,18,28,34,65,49,25,37 };
HeapSort(a, sizeof(a) / sizeof(a[0]));
return 0;
}
调试分析:
排序前:
排序后:
小结:
建堆和堆的删除都用到了向下调整,因此掌握了向下调整,就可以完成排序。
建堆的时间复杂度为:O(N),排序的时间复杂度为:O(N*logN)。取影响结果较大的一个,也就是O(N*logN)。所以堆排序的时间复杂度为O(N*logN)。
4.2.TOP-K问题
TOP-K问题:即求数据集合中前K个最大的元素或者最小的元素,一般情况下数据量都比较大。
对于TOP-K问题,能想到的最简单直接的方式就是排序,但是:如果数据量非常大,排序就不太可取了(可能数据都不能一下子全部加载到内存中)。
法一:
堆排序,采用时间复杂度最低的堆排序,时间复杂度为O(N*logN);
法二:
首先建立N个数的大根堆,然后Top/Pop k次,时间复杂度为O(N+k*logN);
注意:上述两种方法在数据量非常大时,是不太可取的。
法三:
假设N非常大,比如N是100亿,而K比较小,假如k是100,如何求解?
首先,将数据集合中前k个数建立小根堆,时间复杂度:O(k);
然后,将剩下的N-k个元素依次和堆顶元素进行比较,如果比堆顶元素大,就替换堆顶元素,并进行向下调整;
待N-k个元素依次和堆顶元素比较完之后,堆中剩余的k个元素就是所求的最大的前k个元素,时间复杂度:O((N-k)*logk)。
注意:法三较于前两种方法有很高的空间效率。
实现:
//交换数据
void Swap(HPDataType* p1, HPDataType* p2)
{
HPDataType tmp = *p1;
*p1 = *p2;
*p2 = tmp;
}
//向下调整
void AdjustDown(HPDataType* a, int size, int parent)
{
//1.选出左右孩子中小的那一个
int child = parent * 2 + 1;//假设左孩子最小
while (child < size)
{
//当右孩子存在且右孩子小于左孩子
if (child + 1 < size && a[child + 1] < a[child])//大堆:a[child+1]>a[child]
{
++child;//则将右孩子置为child
}
//2.小的孩子跟父亲比较,如果比父亲小,则交换,然后继续往下调整;如果比父亲大,则调整结束
if (a[child] < a[parent])//大堆:a[child]>a[parent]
{
//交换数据
Swap(&a[child], &a[parent]);
//3.继续往下调,最多调整到叶子结点就结束
//把孩子的下标赋值给父亲
parent = child;
//假设左孩子最小
child = parent * 2 + 1;
}
else
{
break;
}
}
}
void PrintTopK(int* a, int n, int k)
{
//1.建堆:用a中前k个元素建堆
int* kMinHeap = (int*)malloc(sizeof(int) * k);
assert(kMinHeap);
for (int i = 0; i < k; i++)
{
//将a中前k的元素放进kMinHeap中
kMinHeap[i] = a[i];
}
//建立小根堆
for (int i = (k - 1 - 1) / 2; i >= 0; --i)
{
AdjustDown(kMinHeap, k, i);
}
//2.将剩余的n-k个元素依次与堆顶元素比较,不满则替换
for (int j = k; j < n; j++)
{
//若后面的元素大于堆顶元素,则进行替换,并向下调整
if (a[j] > kMinHeap[0])
{
kMinHeap[0] = a[j];
AdjustDown(kMinHeap, k, 0);
}
}
//3.打印最大的前k个元素
for (int i = 0; i < k; i++)
{
printf("%d ", kMinHeap[i]);
}
printf("\n");
//销毁
free(kMinHeap);
}
void TestTopk()
{
int n = 10000;
int* a = (int*)malloc(sizeof(int) * n);
assert(a);
srand((size_t)time(0));
for (int i = 0; i < n; i++)
{
//产生一万个不大于100万的随机数
a[i] = rand() % 1000000;
}
a[5] = 1000000 + 1;
a[1231] = 1000000 + 2;
a[531] = 1000000 + 3;
a[5121] = 1000000 + 4;
a[115] = 1000000 + 5;
a[2335] = 1000000 + 6;
a[9999] = 1000000 + 7;
a[76] = 1000000 + 8;
a[423] = 1000000 + 9;
a[3144] = 1000000 + 10;
PrintTopK(a, n, 10);
}
int main()
{
TestTopk();
return 0;
}
运行结果: