树的概念及结构
树的概念
树是一种
非线性
的数据结构,它是由
n
(
n>=0
)个有限结点组成一个具有层次关系的集合。
把它叫做树是因
为它看起来像一棵倒挂的树,也就是说它是根朝上,而叶朝下的
。
树的特点
有一个
特殊的结点,称为根结点
,根节点没有前驱结点
除根节点外,
其余结点被分成
M(M>0)
个互不相交的集合
T1
、
T2
、
……
、
Tm
,其中每一个集合
Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱,可以有
0
个或多个后继
因此,
树是递归定义
的。
树的相关概念
节点的度
:一个节点含有的子树的个数称为该节点的度; 如上图:
A
的为
6
叶节点或终端节点
:度为
0
的节点称为叶节点; 如上图:
B
、
C
、
H
、
I...
等节点为叶节点
非终端节点或分支节点
:度不为
0
的节点; 如上图:
D
、
E
、
F
、
G...
等节点为分支节点
双亲节点或父节点
:若一个节点含有子节点,则这个节点称为其子节点的父节点; 如上图:
A
是
B
的父节点
孩子节点或子节点
:一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点; 如上图:
B
是
A
的孩子节点
兄弟节点
:具有相同父节点的节点互称为兄弟节点; 如上图:
B
、
C
是兄弟节点
树的度
:一棵树中,最大的节点的度称为树的度; 如上图:树的度为
6
节点的层次
:从根开始定义起,根为第
1
层,根的子节点为第
2
层,以此类推;
树的高度或深度
:树中节点的最大层次; 如上图:树的高度为
4
堂兄弟节点
:双亲在同一层的节点互为堂兄弟;如上图:
H
、
I
互为兄弟节点
节点的祖先
:从根到该节点所经分支上的所有节点;如上图:
A
是所有节点的祖先
子孙
:以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图:所有节点都是
A
的子孙
森林
:由
m
(
m>0
)棵互不相交的树的集合称为森林;
树的表示
树结构相对线性表就比较复杂了,要存储表示起来就比较麻烦了,
既然保存值域,也要保存结点和结点之间
的关系
,实际中树有很多种表示方式如:双亲表示法,孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法 等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法
。
typedef int DataType;
struct Node
{
struct Node* firstChild1; // 第一个孩子结点
struct Node* pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点
DataType data; // 结点中的数据域
};
树在实际中的应用(表示文件系统的目录树结构)
二叉树的概念及结构
二叉树的概念
二叉树(Binary Tree)是n(n>=0)个结点的有限集合,该集合或者为空集(称为空二叉树 ),或者由一个根节点和两个互不相交的、分别称为根节点的左子树和右子树的二叉树组成。
由上图可以看出二叉树的特点
1.
二叉树不存在度大于
2
的结点
2.
二叉树的子树有左右之分,次序不能颠倒,因此二叉树是有序树
注意:对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的:
自然界中的二叉树
特殊的二叉树
1.
满二叉树
:一个二叉树,如果每一个层的结点数都达到最大值,则这个二叉树就是满二叉树。也就是 说,如果一个二叉树的层数为K
,且结点总数是-1,则它就是满二叉树。
2.
完全二叉树
:完全二叉树是效率很高的数据结构,完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为
K 的,有n
个结点的二叉树,当且仅当其每一个结点都与深度为
K
的满二叉树中编号从
1
至
n
的结点一一对 应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。
二叉树的性质
1.
若规定根节点的层数为
1
,则一棵非空二叉树的
第
i
层上最多有 个结点.
2.
若规定根节点的层数为
1
,则
深度为
h
的二叉树的最大结点数是
3.
对任何一棵二叉树
,
如果度为
0
其叶结点个数为
,
度为
2
的分支结点个数为
,
则有
4.
若规定根节点的层数为
1
,具有
n
个结点的满二叉树的深度
,
h= (ps: 是log
以
2 为底,n+1
为对数
)
5.
对于具有
n
个结点的完全二叉树,如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从
0
开始编号,则对 于序号为i的结点有:
a.
若
i>0
,
i
位置节点的双亲序号:
(i-1)/2
;
i=0
,
i
为根节点编号,无双亲节点
b.
若
2i+1<n
,左孩子序号:
2i+1
,
2i+1>=n
否则无左孩子
c.
若
2i+2<n
,右孩子序号:
2i+2
,
2i+2>=n
否则无右孩子
二叉树的存储结构
二叉树一般可以使用两种结构存储,一种顺序结构,一种链式结构。
顺序存储
顺序结构存储就是使用
数组来存储
,一般使用数组
只适合表示完全二叉树
,因为不是完全二叉树会有空 间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储。二叉树顺
序存储在物理上是一个数组,在逻辑上是一颗二叉树。
链式存储
二叉树的链式存储结构是指,用链表来表示一棵二叉树,即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的方法是 链表中每个结点由三个域组成,数据域和左右指针域,左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所 在的链结点的存储地址 。链式结构又分为二叉链和三叉链,当前我们学习中一般都是二叉链,后面课程 学到高阶数据结构如红黑树等会用到三叉链。