数模 线性规划模型理论与实践

线性规划模型理论与实践

1.1 线性规划问题

  • 在人们的生产实践中,经常会遇到如何利用现有资源来安排生产,以取得最大经济效益的问题。此类问题构成了运筹学的一个重要分支一数学规划,而线性规划(Linear Programming 简记LP)则是数学规划的一个重要分支。
  • 自从1947年 G . B . D a n t z i g G.B.Dantzig G.B.Dantzig提出求解线性规划的单纯形方法以来,线性规划在理论上趋向成熟,在实用中日益广泛与深入。特别是在计算机能处理成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题之后,线性规划的适用领域更为广泛了,已成为现代管理中经常采用的基本方法之一。

1.1.1 线性规划的实例与定义

1.实例:某机床厂生产甲、乙两种机床,每台销售后的利润分别为 4千元与3千元。生产甲机床需用4、B机器加工,加工时间分别为每台2小时和1小时;生产乙机床需用A、B、C三种机器加工,加工时间为每台各一小时。若每天可用于加工的机器时数分别为A机器10小时、B机器8小时和C机器7小时,问该厂应生产甲、乙机床各几台,才能使总利润最大?

上述问题的数学模型:设该厂生产 x 1 x_1 x1台甲机床和 x 2 x_2 x2台乙机床时总利润最大,则 x 1 , x 2 x_1,x_2 x1,x2应满足
m a x    z = 4 x 1 + 3 x 2 (1.1) max\ \ z=4x_1+3x_2\tag{1.1} max  z=4x1+3x2(1.1)

{ 2 x 1 + x 2 ≤ 10 x 1 + x 2 ≤ 8 x 2 ≤ 7 x 1 , x 2 ≥ 0 (1.2) \begin{cases} 2x_1+x_2\le10 \\ x_1+x_2\le8\\ x_2\le7\\ x_1,x_2\ge0 \end{cases}\tag{1.2} 2x1+x210x1+x28x27x1,x20(1.2)

变量 x 1 , x 2 x_1,x_2 x1,x2称之为决策变量,(1.1)式被称为问题的目标函数,(1.2)中的几个不等式是问题的约束条件,记为s.t(即subject to)。

2.定义:

  • 目标函数及约束条件均为线性函数,故被称为线性规划问题。线性规划问题是在一组线性约束条件的限制下,求一线性目标函数最大或最小的问题。
  • 在解决实际问题时,把问题归结成一个线性规划数学模型是很重要的一步,往往也是很困难的一步,模型建立得是否恰当,直接影响到求解。而选适当的决策变量,是我们建立有效模型的关键之一。

1.1.2 线性规划问题的解的概念

1. M a t l a b Matlab Matlab中求解线性规划的基本公式:下式一般求最小值,要求最大值在目标函数前加一个负号即可
m i n x    c T x \underset{x}{min}\ \ c^Tx xmin  cTx

s . t .    { A x ≤ b A e q ⋅ x = b e q l b ≤ x ≤ u b s.t.\ \ \begin{cases} Ax\le b \\ Aeq\cdot x = beq\\ lb\le x\le ub \end{cases} s.t.   AxbAeqx=beqlbxub

其中c和x为n维向量, A 、 A e q A、Aeq AAeq为适当维数的矩阵, b 、 b e q b、beq bbeq为适当维数的列向量。

  • 第一个式子是目标函数的简化形式;
  • 第二个式子是所有不等式的集合;
  • 第三个式子是所有等的集合;
  • 第四个式子是决策变量的取值范围。

2.一般线性规划问题的(数学)标准型为:
m a x    z = ∑ j = 1 n c j x j (1.3) max\ \ z=\sum_{j=1}^nc_jx_j\tag{1.3} max  z=j=1ncjxj(1.3)

s . t .    { ∑ j = 1 n a i j x j = b i     i = 1 , 2 , 3 , . . . , m x j ≥ 0     j = 1 , 2 , 3 , . . . , n (1.4) s.t.\ \ \begin{cases} \overset{n}{\underset{j=1}{\sum}} a_{ij}x_j=b_i\ \ \ i=1,2,3,...,m \\ \\ x_j\ge0\ \ \ j=1,2,3,...,n \end{cases}\tag{1.4} s.t.   j=1naijxj=bi   i=1,2,3,...,mxj0   j=1,2,3,...,n(1.4)

3.基础概念:

  • 可行解:满足约束条件(1.4)的解 x = [ x 1 , x n ] T x=[x_1,x_n]^T x=[x1,xn]T,称为线性规划问题的可行解。
  • 最优解:使目标函数(1.3)达到最大值的可行解叫最优解。
  • 可行域:所有可行解构成的集合称为问题的可行域,记为R。

1.1.3 线性规划的 M a t l a b Matlab Matlab标准形式及软件求解

1.线性规划的目标函数可以是求最大值,也可以是求最小值,约束条件的不等号可以是小于号也可以是大于号。为了避免这种形式多样性带来的不便, M a t l a b Matlab Matlab中规定线性规划的标准形式为:
m i n x    c T x \underset{x}{min}\ \ c^Tx xmin  cTx

s . t .    { A x ≤ b A e q ⋅ x = b e q l b ≤ x ≤ u b s.t.\ \ \begin{cases} Ax\le b \\ Aeq\cdot x = beq\\ lb\le x\le ub \end{cases} s.t.   AxbAeqx=beqlbxub

其中, c , x , b , b e q , l b , u b c,x,b,beq,lb,ub c,x,b,beq,lb,ub为列向量, f f f称为价值向量, b b b称为资源向量, A 、 A e q A、Aeq AAeq为矩阵。

2. M a t l a b Matlab Matlab 中求解线性规划的命令为:

[x,fval]=linprog(c,A,b)
[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq)
[x,fval]= linprog(c,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

其中 x x x返回的是决策向量的取值, f v a l fval fval返回的是目标函数的最优值, c c c为价值向量, A , b A,b A,b对应的是线性不等式约束, A e q , b e q Aeq,beq Aeq,beq对应的是

线性等式约束, l b lb lb u b ub ub分别对应的是决策向量的下界向量和上界向量。

3.实例速递:( M a t l a b Matlab Matlab只能求最小值,最大值不是标准形式)

其中,所有的系数都加上了一个负号是因为在用 M a t l a b Matlab Matlab求解最大值。

1.1.4 可以转化为线性规划问题------构造

1.例题:

1.2 投资的收益和风险

1.2.1 问题提出

1.2.2 符号规定和基本假设

1.符号规定:

2.基本假设:

  • 投资数额 M M M相当大,为了便于计算,假设 M = 1 M=1 M=1
  • 投资越分散,总的风险越小;
  • 总体风险用投资项目 S i S_i Si中最大的一个风险来度量;
  • n + 1 n+1 n+1种资产 S i S_i Si之间是相互独立的;
  • 在投资的这一期间内, r i , p i , q i r_i,p_i,q_i ri,pi,qi为定值,不受意外因素影响;
  • 净收益和总体风险只受 r i , p i , q i r_i,p_i,q_i ri,pi,qi​影响,不受其它因素干扰。

1.2.3 模型的分析与建立

1.总体风险用所投资的 S i S_i Si中最大的一个风险来衡量,即
m a x { q i x i ∣ i = 1 , 2 , L , n } max\{q_ix_i|i=1,2,L,n\} max{qixii=1,2,L,n}
2.购买 S i ( i = 1 , L , n ) S_i(i=1,L,n) Si(i=1,L,n)所付交易费是一个分段函数,即
交易费 = { p i x i ,     x i ≥ u i p i u i ,     x i ≤ u i 交易费= \begin{cases} p_ix_i,\ \ \ x_i\ge u_i \\ p_iu_i,\ \ \ x_i\le u_i \end{cases} 交易费={pixi,   xiuipiui,   xiui
而题目i所给的定值 u i u_i ui(单位:元)相对总投资 M M M很少, p i u i p_iu_i piui更小,这样购买 S i S_i Si的净收益可以简化为 ( r i − p i ) x i (r_i-p_i)x_i (ripi)xi

3.要使净收益尽可能大,总体风险尽可能小,这是一个多目标规划模型。

目标函数为:
{ m a x   ∑ i = 0 n ( r i − p i ) x i m i n    m a x { q i x i } ( ) \begin{cases} max\ \overset{n}{\underset{i=0}{\sum}}(r_i-p_i)x_i\\ min\ \ max\{q_ix_i\}() \end{cases} max i=0n(ripi)ximin  max{qixi}()
约束条件为:
{ ∑ i = 0 n ( 1 + p i ) x i = M x i ≥ 0 ,    i = 0 , 1 , . . . , n \begin{cases} \overset{n}{\underset{i=0}{\sum}}(1+p_i)x_i=M\\ x_i\ge0,\ \ i=0,1,...,n \end{cases} i=0n(1+pi)xi=Mxi0,  i=0,1,...,n
这是一个多模规划,不仅要找到净收益的最大值,还要找到风险评估的最小值,所以我们要把多模规划化简到单目标线性规划。

4.一共有三种方法:

①在实际投资中,投资者承受的风险程度不一样,若给定一个界限a,使最大的一个风险 q i x i M ≤ a \dfrac{q_ix_i}{M}\le a Mqixia,可以找到相应的投资方案,这样就把多目标规划变成一个目标的线性规划。

  • 模型一:固定风险水平,优化收益

  • 模型二:固定盈利水平,极小化风险

②投资者在权衡资产风险和预期收益两方面时,希望选择一个令自己满意的投资组合。因此对风险、收益分别赋予权重s(0<s≤1)和(1-s),s称为投资偏好系数。

  • 模型三:综合考虑

1.2.4 模型求解

1.以模型一求解为例:

由于a是任意给定的风险度,到底怎样没有一个准则,不同的投资者有不同的风险度。我们从a=0开始,以步长 Δ a = 0.001 \Delta a=0.001 Δa=0.001进行循环搜索,编制程序如下:

通过 M a t l a b Matlab Matlab运行可以得到下图所示的结果:

通过上图可以看出:

  • 风险大,收益也大;
  • 当投资越分散时,投资者承担的风险越小,这与题意一致。冒险的投资者会出现集中投资的情况,保守的投资者则尽量分散投资;
  • 在a=0.006附近有一个转折点,在这一点左边,风险增加很少时,利润增长很快。在这一点右边,风险增加很大时,利润增长很缓慢,所以对于风险和收益没有特殊偏好的投资者来说,应该选择曲线的转折点作为最优投资组合,大约是a=0.6%,Q=20%,所对应投资方案为:
    风险度a=0.006,收益Q=0.2019, x 0 = 0 x_0=0 x0=0 x 1 = 0.24 x_1=0.24 x1=0.24 x 2 = 0.4 x_2=0.4 x2=0.4 x 3 = 0.1091 x_3= 0.1091 x3=0.1091 x 4 = 0.2212 x_4= 0.2212 x4=0.2212

本文来自互联网用户投稿,该文观点仅代表作者本人,不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如若转载,请注明出处:/a/540845.html

如若内容造成侵权/违法违规/事实不符,请联系我们进行投诉反馈qq邮箱809451989@qq.com,一经查实,立即删除!

相关文章

openjudge_2.5基本算法之搜索_166:The Castle

题目 166:The Castle 总时间限制: 1000ms 内存限制: 65536kB 描述 Figure 1 shows the map of a castle.Write a program that calculates how many rooms the castle hashow big the largest room is The castle is divided into m * n (m<50, n<50) square modules.…

Linux 内核学习(1) --- 时钟子系统

标题 时钟系统说明时钟树Clock Provider时钟通用数据结构clock_device 的注册clock_provider DTS配置和注册clock consumer时钟系统总结 时钟系统说明 时钟就是 SoC 中的脉搏&#xff0c;由它来控制各个部件按各自的节奏跳动。比如&#xff0c;CPU主频设置&#xff0c;串口的波…

切面条(蓝桥杯)

目录 题目 分析 代码实现 题目 一根高筋拉面&#xff0c;中间切一刀&#xff0c;可以得到2根面条。 如果先对折1次&#xff0c;中间切一刀&#xff0c;可以得到3根面条。 如果连续对折2次&#xff0c;中间切一刀&#xff0c;可以得到5根面条。 那么&#xff0c;连续对折1…

【报名指南】2023-2024学年AILD劳动技能大赛初赛报名流程

温馨提示&#xff1a; 1.AILD劳动技能大赛免费报名参赛。报名网址&#xff1a;aild.org.cn 2.报名时间即日起至5月31日。&#xff08;上海赛区线下挑战项目4月25日报名截止&#xff0c;线上挑战项目5月31日报名截止&#xff09;。 3.指导教师只能为行政备案学校的在职教师。…

C语言 数据输入输出

本文 我们来说 数据的输入与输出 及数据的运算 在程序的运算工程中 往往需要输入一些数据 而程序的运算 所得到的运算结果又需要输出给用户 因此 数据的输入与输出 就显得非常重要 在C语言中 不提供专门的输入输出语句 所有的输入输出 都是通过对标准库的调用 来实现的 一般 …

itop4412内核编译_编译自定义函数到内核

我的itop4412开发板是半路捡的&#xff0c;所以没办法加他们的售后群&#xff0c;遇到的问题只好一点点记录吧 内核驱动编译 在日常工作过程中&#xff0c;编写内核程序可能机会不多&#xff0c;但是将厂商提供的内核源码编译到固件中&#xff0c;这个技能还是必须掌握的。 i…

认识异常(1)

❤️❤️前言~&#x1f973;&#x1f389;&#x1f389;&#x1f389; hellohello~&#xff0c;大家好&#x1f495;&#x1f495;&#xff0c;这里是E绵绵呀✋✋ &#xff0c;如果觉得这篇文章还不错的话还请点赞❤️❤️收藏&#x1f49e; &#x1f49e; 关注&#x1f4a5;&a…

系统架构最佳实践 -- 一般优惠券平台系统架构设计

优惠券是商城的一种基础的营销工具&#xff0c;在目前c端用户对于电子优惠券已经非常熟悉的情况下&#xff0c;一般自营商城的营销活动系统&#xff0c;都是从优惠券开始搭建。 一、名词定义 基于个人理解&#xff0c;为方便表述&#xff0c;首先对可能产生歧义的名词进行如下…

十九.案例演示---天猫订单分析

目录 1.数据预处理 2.对订单状况进行分析 3.不同省份订单数详情 4.省份地图绘制 5.不同星期&#xff0c;订单分布 6.订单金额与订单数量 本次案例演示数据条数为:28010 import pandas as pd from pyecharts import options as optsdf_data pd.read_excel(../data/天猫订单…

【笔记】探索生成范式:大型语言模型在信息提取中的作用

探索生成范式&#xff1a;大型语言模型在信息提取中的作用 摘要介绍 &#x1f308;你好呀&#xff01;我是 是Yu欸 &#x1f30c; 2024每日百字篆刻时光&#xff0c;感谢你的陪伴与支持 ~ &#x1f680; 欢迎一起踏上探险之旅&#xff0c;挖掘无限可能&#xff0c;共同成长&am…

五、书架开发--3.弹出框功能开发、离线缓存功能开发

实现弹出框真实业务逻辑 私密阅读tab业务逻辑 1、根据点击的tab不同&#xff0c;从而展示出不同的popup弹窗 每个tab中都有自己的index&#xff0c;点击的时候获取这个index&#xff0c;就可以知道当前点击的是哪个tab&#xff0c;然后用switch-case来根据不同的index展示不…

【GD32】MQ-6丙烷检测传感器

2.34 MQ-6丙烷检测传感器 MQ-6气体传感器所使用的气敏材料是在清洁空气中电导率较低的二氧化锡(Sno2)。当传感器所处环境中存在可燃气体时&#xff0c;传感器的电导率随空气中可燃气体浓度的增加而增大。使用简单的电路即可将电导率的变化转换为该气体浓度相对应的输出信号。M…

Windows下使用PanguVip实现浮动IP

在某些高可用场景下&#xff0c;我们往往需要使用浮动IP来进行实际访问的切换&#xff0c;比如为了保证Web应用的高可用&#xff0c;当主节点宕机后&#xff0c;我们将浮动IP切换到备节点&#xff0c;那么备节点就继续可以提供服务&#xff0c;在linux下我们可以使用keepalived…

scala---基础核心知识

一、什么是scala Scala 是一种多范式的编程语言&#xff0c;其设计初衷是要集成面向对象编程和函数式编程的各种特性。Scala运行于Java平台&#xff08;Java虚拟机&#xff09;&#xff0c;并兼容现有的Java程序。 二、为什么要学习scala 1、优雅 2、速度快 3、能融合到hado…

【SpringBoot】获取参数

获取参数 传递单个参数传递多个参数传递对象后端参数重命名传递数组传递 json 数据获取 URL 中参数上传文件获取 cookie 和 session获取cookie获取session 传递单个参数 RequestMapping("/user") RestController public class UserController {// 传递单个参数Reque…

【Delphi 爬虫库 1】GET和POST方法

文章目录 1.最简单的Get方法实现2.可自定义请求头、自定义Cookie的Get方法实现3.提取响应协议头4.实现Post请求完成单词翻译 爬虫的基本原理是根据需求获取信息并返回。就像当我们感到饥饿时&#xff0c;可以选择自己烹饪食物、外出就餐&#xff0c;或者订外卖一样。在编程中&a…

Linux之bpfjit(2)使用分析和mini-tcpdump实现

Linux之bpfjit(2)使用分析和mini-tcpdump实现 Author: Once Day Date: 2024年4月13日 一位热衷于Linux学习和开发的菜鸟&#xff0c;试图谱写一场冒险之旅&#xff0c;也许终点只是一场白日梦… 漫漫长路&#xff0c;有人对你微笑过嘛… 全系列文章可以参考专栏&#xff1a;…

纯纯python实现梯度下降、随机梯度下降

最近面试有要求手撕SGD&#xff0c;这里顺便就把梯度下降、随机梯度下降、批次梯度下降给写出来了 有几个注意点&#xff1a; 1.求梯度时注意label[i]和pred[i]不要搞反&#xff0c;否则会导致模型发散 2.如果跑了几千个epoch&#xff0c;还是没有收敛&#xff0c;可能是学习率…

Linux 秋招必知必会(三、线程、线程同步)

六、线程 38. 什么是线程 线程是参与系统调度的最小单位&#xff0c;它被包含在进程之中&#xff0c;是进程中的实际运行单位 一个进程中可以创建多个线程&#xff0c;多个线程实现并发运行&#xff0c;每个线程执行不同的任务 主线程&#xff1a;当一个程序启动时&#xff0…

【Qt 学习笔记】Qt控件概述

博客主页&#xff1a;Duck Bro 博客主页系列专栏&#xff1a;Qt 专栏关注博主&#xff0c;后期持续更新系列文章如果有错误感谢请大家批评指出&#xff0c;及时修改感谢大家点赞&#x1f44d;收藏⭐评论✍ Qt控件概述 文章编号&#xff1a;Qt 学习笔记 / 14 文章目录 Qt控件概…