论文自然还是 Anatomy of High-Performance Matrix Multiplication。
如何拆分
一个矩阵乘法有 6 种拆分方式，其中对 row-major 效率最高的是：
第一次拆分
先做第一次拆分，取 A 的 kc 列（PanelA）和 B 的 kc 行（PanelB），得到待累加的一部分结果；
第二次拆分
第二次拆分，把 PanelB 按 nc 大小切分成多个 BlockB，分别与 PanelA 相乘；
第三次拆分
最后一次切分，把 PanelA 按 mr 大小切分，与 BlockB 乘（注意具体代码里的kernel4x4或者kernel8x8是指 mr 的大小）。
GEPB 约束条件
我们考察最后一次 GEPB 的切分过程，如何使其性能最高？
GEPB参数
以上是 GEPB 的参数，如果这个运算所需数据都加载到 L1 cache 里，那计算效率自然是最高的。此时运算 ops 为 2∗m∗kc∗nc ，同时做的数据搬运量为 kc∗nc+m(kc+2nc) ，我们期望做最小的 io 产生最大的计算，即
max(2∗m∗kc∗nc/(kc∗nc+m(kc+2nc)))
由于 nc 远小于 m，上式约等于
maximize(2∗kc∗nc/(kc+2∗nc))
可以得到以下约束/倾向：
约束1: maximize(2∗kc∗nc/(kc+2∗nc))
约束2：kc*nc 越大效果越好
Cache 层级分配
由于 L1Cache 通常比较小，不太可能得到比较大的 kc∗nc kc∗nc 值，是否可能把 BlockB 放到 L2Cache 里，尽量让 kc∗nc 最大？已知 GEPB 计算的伪代码为
Load PanelB into cache
for j = 0...M-1
Load Aj into cache
Load Cj into cache
subkernel_calculation
Store Cj
endfor循环里每次取 PanelA 的 mr 行做计算，每次计算的时间开销为
2∗mr∗kc∗nc/cpu_frequency
假设 PanelB 放入了 L2Cache，每次加载需要的时间为
kc∗nc/l2cache_speed
计算时间要大于加载时间，才能防止 CPU 等待 IO 从而让 CPU ALU 跑满，代入上式可得到约束条件
约束3：mr≥cpu_frequency/(l2cache_speed∗2)
因为计算用的数据都在 L1Cache，所以每次从 PanelA 加载的 nr 行不宜超过 L1Cache大小。同时计算结果 C 也需要空间，可以得到
约束4： mr∗kc≤l1_cachesize/2
当数据全放到了 L1Cache 里计算时，每次是用 kernel4x4 还是 kernel8x8，取决于 CPU 有多少寄存器。一般是尽可能利用所有 reg。可以得到
约束5：nr kr 的选择完全看寄存器情况
- 需要一半的寄存器存结果
- nr 和 kr 接近，效果最佳
- armv8 浮点一般是 、8x8
来自 TLB 的约束
我们知道计算机存储结构长这个样子
计算机存储结构
上文说到要把 BlockB 放到 L2Cache，随着 ALU 的计算不断加载到 L1Cache。实际上两个 Cache 中间还隔着个 TLB，因此要考虑 TLB 寻址空间的限制。L1Cache miss 可以用 prefetch 指令处理掉，TLB miss 会真的 stall CPU，影响 ALU 利用率。
Cache 寻址空间（256K）一般小于 L2Cache 大小（2M），因此有
约束6： GEPB内循环一次计算所需数据总大小（ 的行的行BlockB+A的mr行+C的mr行 ）不能超过 TLB 寻址空间
约束7：计算数据要 Packing，防止 TLB miss
总结一下行主序 GEMM 分块的参数选择
mr、nr 和 kr 如何取值
- 尽可能是个正方形，尽量用满寄存器
- 约束3 限制了 mr 的最小值
kc 的取值
- nc*kc 尽可能大，但不能大过 TLB 寻址空间的一半
- kc 不超过 l1_cachesize/2/mr ，其中 mr 已在上文选取
- 按经验是页表大小的一半，即 pagesize/2
nc 的取值
nc=kc ，参见约束1
mc 的取值
mc∗k<l2_cachesize 我们期望 A 尽可能放到 L2Cache 里面
就已知的情况来看，fp32 GEMM 极限可达到 10-11 gflops 左右（即 CPU 峰值的 80+%，packA 和 packB 开销跟着矩阵形状走大约是20%），结合具体的任务，例如 2D 卷积、全连接，可以做到 90% 左右。
