图论基础（python蓝桥杯）

图的基本概念

图的种类

怎么存放图呢？

优化

DFS

不是最快/最好的路，但是能找到一条连通的道路。（判断两点之间是不是连通的）

蓝桥3891

import os
import sys
sys.setrecursionlimit(100000)
# 请在此输入您的代码
n, m = map(int, input().split()) # n个点， 小明序号m
G = [[] for _ in range(n + 1)] # 邻接表，存放图。
rudu = [0] * (n + 1) # 记录每个点的入度
vis = [0] * (n + 1) # dfs的标记数组，看是否遍历过
# 二元组，分别表示每个子树数量和编号
dis = [[0, i] for i in range(n + 1)] # 排序用的二元组
for _ in range(n - 1):
  l, r = map(int, input().split())
  G[r].append(l) # r是l的父亲
  rudu[l] += 1
for i in range(1, n + 1):
  if rudu[i] == 0:
    root = i # 入度为0的是根节点，找到根节点，从根节点开始遍历。

def dfs(u):
  # 同时记录每个点的子树节点数
  dis[u][0] = -1 # 1改成-1，以便都从小到大排序
  vis[u] = 1
  for v in G[u]:
    if vis[v] == 0:
      dfs(v)
      dis[u][0] += dis[v][0]

dfs(root)
dis.sort()
# print(dis)
for i, (x, y) in enumerate(dis, 1): # 取出dis的排名,1的意思是索引从1开始
  if y == m:
    print(i)
    break

BFS

按层次分节点（几步能走的点）

不断这样取，直到终点。

蓝桥1509

import os
import sys

# 请在此输入您的代码
from collections import deque
def bfs(s, t):
  # s起点， t终点。
  dis = [-1] * 100001
  queue = deque()
  # 将起点塞入队列中，打上标记。
  queue.append(s)
  dis[s] = 0
  # 当队列非空
  while len(queue) != 0:
    # 取出队首元素u
    u = queue.popleft()
    # 判断u是否为终点
    if u == t:
      return dis[u]
    # 将u相连的所有点v，只要v未标记，则打标记，入队列
    for v in [u - 1, u + 1, u * 2]:
      # 特判：越界、已标记、障碍物
      if 0 <= v <= 100000 and dis[v] == -1:
        queue.append(v)
        dis[v] = dis[u] + 1
  return -1
n, k = map(int, input().split())
print(bfs(n, k))

蓝桥3819

import os
import sys

# 请在此输入您的代码
from collections import deque

def bfs(x, y, dis):
  queue = deque()
  vis = [[0] * m for i in range(n)]
  # 将起点入队列
  queue.append([x, y])
  dis[x][y] = 0
  vis[x][y] = 1
  while len(queue) != 0:
    x, y = queue.popleft()
    # 要求所有点，这步省略
    for deltax, deltay in [(1, 0), (0, 1), (-1, 0), (0, -1)]:
      xx, yy = x + deltax, y + deltay
      # 未越界，未标记，未障碍物
      if 0 <= xx < n and 0 < yy < m and vis[xx][yy] == 0 and g[xx][yy] != '#':
          queue.append([xx, yy])
          dis[xx][yy] = dis[x][y] + 1
          vis[xx][yy] = 1

n, m = map(int, input().split())
INF = 1e9 # 把路堵死了，永远走不到终点。
A, B, C, D = map(int, input().split())
A, B, C, D = A - 1, B - 1, C - 1, D - 1
g = [input() for i in range(n)]
E = int(input())
dis1 = [[INF] * m for i in range(n)]
dis2 = [[INF] * m for i in range(n)]
bfs(A, B, dis1)
bfs(C, D, dis2)
res = dis1[C][D]
if res <= E:
  print(res)
else:
  # 枚举所有圣泉
  res = INF
  for i in range(n):
    for j in range(m):
      if g[i][j] == 'V':
        res = min(res, dis1[i][j] + dis2[i][j])
  if res == INF:
    print("No")
  else:
    # 初始能量为E，总距离res, 后面的res-E需要花费两倍时间，因为需要等待能量恢复
    print((res - E) * 2 + E)

拓扑排序

拓扑排序是一种针对“有向无环图”的算法，用于解决一些有依赖关系的问题。

拓扑排序保证了处理到某个点时，其所有的入点已经处理过了。

例如下面这个图，拓扑排序可以保证：

处理点2之前，点4和点6都处理过。

处理点3之前，点2和点6都处理过。

比如学大学物理必须先学高数和线性代数。

拓扑排序的顺序并不是唯一的，就刚刚的例子，你可以先学高数再学线代，也可以先学线代再学高数。

下图是拓扑排序的几种可能性

如果有环的话找不到起点，自己想想应该就能想出来。

BFS实现拓扑排序

先预处理每个点的入度，这个在读入边的时候处理。
每次将入度为0的点入队列。
每次取点u的时候，对于从u出发的所有点v的入度-1

1此时的入度为0，相当于做了一个操作，把1->4和1->6的边给删掉了，然后发现4和6的入度又为0了。

在枚举边u->v的时候，可以进行状态转移，于是可以和动态规划结合起来。
这样的dp也叫DAG-DP(有向无环图上的动态规划)
状态转移一般只发生在枚举所有边的时候。

模板

from collections import deque

def topo():
    q = deque()
    for i in range(1, n + 1):
        if ru[i] == 0:
            q.append(i)
    ans = []
    while len(q) != 0:
        u = q.popleft()
        ans.append(u)
        for v in G[u]:
            ru[v] -= 1
            if ru[v] == 0:
                q.append(v)
    if len(ans) != n:
        print("no topo")
    else:
        print(*ans, sep=' ')

n, m = map(int, input().split())  
G = [[] for i in range(n + 1)]
ru = [0] * (n + 1)
for _ in range(m):
  u, v = map(int, input().split())
  G[u].append(v)
topo()

蓝桥1337

import os
import sys

# 请在此输入您的代码
from collections import deque

def topo():
  q = deque()
  for i in range(1, n + 1):
    if ru[i] == 0:
      q.append(i)
  while len(q) != 0:
    # 取出队首元素
    u = q.popleft()
    # 对于和u相邻的每个点v
    for v in G[u]:
      # 从u走到v,说明dp[v]可以从dp[u] + 1转移过来
      dp[v] = max(dp[v], dp[u] + 1)
      ru[v] -= 1
      if ru[v] == 0:
        q.append(v)

# dp[i] 表示走到i的最长路，也就是最大值。      
n, m = map(int, input().split())
dp = [0] * (n + 1)  
G = [[] for i in range(n + 1)]
ru = [0] * (n + 1)
for _ in range(m):
  u, v = map(int, input().split())
  G[u].append(v)
topo()
print(max(dp))

蓝桥3351

import os
import sys
from queue import PriorityQueue
# 请在此输入您的代码

def topo():
    q = PriorityQueue()
    for i in range(1, n + 1):
        if ru[i] == 0:
            q.put(i)
    ans = []
    while not q.empty():
        u = q.get()
        ans.append(u)
        for v in G[u]:
            ru[v] -= 1
            if ru[v] == 0:
                q.put(v)
    if len(ans) != n:
        print(-1)
    else:
        print(*ans, sep=' ')
n, m = map(int, input().split())
G = [[] for i in range(n + 1)]
ru = [0] * (n + 1)
for _ in range(m):
  u, v = map(int, input().split())
  G[u].append(v)
  ru[v] += 1
topo()

Floyd

用于求解多源最短路，可以求解出任意两点的最短路

定义 $dp[k][i][j]$ 为点i到点j路径（除去起点终点）中最大编号不超过k的情况下，点i到点j的最短距离。

当加入第k个点作为i到j的中间点时

$dp[k][i][j]= min(dp[k - 1][i][j],dp[k - 1][i][k]+ dp[k - 1][k][j])$

利用滚动数组优化第一维度

$dp[i][j]= min(dp[i][j],dp[i][k]+ dp[k][j])$

枚举所有k ，判断是否可以作为中间点，可以作为中间点则优化最短路初始化:如果<i,j>无边，则 $dp[i][j] = INF$ ,右边则等于边权;
$dp[i][i]= 0$

蓝桥1121

import os
import sys

# 请在此输入您的代码
n, m, q = map(int, input().split())
INF = 1e18 
dp = [[INF] * (n + 1) for i in range(n + 1)]
for i in range(1, n + 1):
  dp[i][i] = 0
for _ in range(m):
  u, v, w = map(int, input().split())
  dp[u][v] = dp[v][u] = min(dp[u][v], w)

for k in range(1, n + 1):
  for i in range(1, n + 1):
    for j in range(1, n + 1):
      dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k][j])
for _ in range(q):
  u, v = map(int, input().split())
  if dp[u][v] == INF:
    print(-1)
  else:
    print(dp[u][v])

蓝桥8336

import os
import sys

# 请在此输入您的代码
n, m = map(int, input().split())
a, p, s = [0] * (n + 1), [0] * (n + 1), [0] * (n + 1)
INF = 1e9
f = [[INF] * (n + 1) for i in range(n + 1)]
g = [[0] *(n + 1) for i in range(n + 1)]

for i in range(1, n + 1):
  a[i], p[i], s[i] = map(int, input().split())
for i in range(1, m + 1):
  u, v, w = map(int, input().split())
  f[u][v] = f[v][u] = min(f[u][v], w)
for i in range(1, n + 1):
  f[i][i] = 0
for k in range(1, n + 1):
  for i in range(1, n + 1):
    for j in range(1, n + 1):
      f[i][j] = min(f[i][j], f[i][k] + f[k][j])
for i in range(1, n + 1):
  for j in range(1, n + 1):
    g[i][j] = s[j] - p[i] - f[i][j]
ans = 0
for i in range(1, n + 1):
  now_ans = 0
  for j in range(1, n + 1):
    now_ans = max(now_ans, a[i] * g[i][j])
  ans += now_ans
print(ans)

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