算法沉淀——穷举、暴搜、深搜、回溯、剪枝综合练习四（leetcode真题剖析）

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算法沉淀——穷举、暴搜、深搜、回溯、剪枝综合练习四

01.解数独
02.单词搜索
03.黄金矿工
04.不同路径 III

01.解数独

题目链接：https://leetcode.cn/problems/sudoku-solver/

编写一个程序，通过填充空格来解决数独问题。

数独的解法需 遵循如下规则：

数字 1-9 在每一行只能出现一次。
数字 1-9 在每一列只能出现一次。
数字 1-9 在每一个以粗实线分隔的 3x3 宫内只能出现一次。（请参考示例图）

数独部分空格内已填入了数字，空白格用 '.' 表示。

示例 1：

输入：board = [["5","3",".",".","7",".",".",".","."],["6",".",".","1","9","5",".",".","."],[".","9","8",".",".",".",".","6","."],["8",".",".",".","6",".",".",".","3"],["4",".",".","8",".","3",".",".","1"],["7",".",".",".","2",".",".",".","6"],[".","6",".",".",".",".","2","8","."],[".",".",".","4","1","9",".",".","5"],[".",".",".",".","8",".",".","7","9"]]
输出：[["5","3","4","6","7","8","9","1","2"],["6","7","2","1","9","5","3","4","8"],["1","9","8","3","4","2","5","6","7"],["8","5","9","7","6","1","4","2","3"],["4","2","6","8","5","3","7","9","1"],["7","1","3","9","2","4","8","5","6"],["9","6","1","5","3","7","2","8","4"],["2","8","7","4","1","9","6","3","5"],["3","4","5","2","8","6","1","7","9"]]
解释：输入的数独如上图所示，唯一有效的解决方案如下所示：

提示：

board.length == 9
board[i].length == 9
board[i][j] 是一位数字或者 '.'
题目数据保证输入数独仅有一个解

思路

为了存储每个位置的元素，我们需要定义一个二维数组。首先，我们记录所有已知的数据，然后遍历所有需要处理的位置，并遍历数字1~9。对于每个位置，我们检查该数字是否可以存放在该位置，同时检查行、列和九宫格是否唯一。

我们可以使用一个二维数组来记录每个数字在每一行中是否出现，一个二维数组来记录每个数字在每一列中是否出现。对于九宫格，我们可以以行和列除以3得到的商作为九宫格的坐标，并使用一个三维数组来记录每个数字在每一个九宫格中是否出现。在检查是否存在冲突时，只需检查行、列和九宫格里对应的数字是否已被标记。如果数字至少有一个位置（行、列、九宫格）被标记，则存在冲突，因此不能在该位置放置当前数字。

特别地，在本题中，我们需要直接修改给出的数组，因此在找到一种可行的方法时，应该停止递归，以防止正确的方法被覆盖。

代码

class Solution {
    bool row[9][10];
    bool col[9][10];
    bool grid[3][3][10];
public:
    void solveSudoku(vector<vector<char>>& board) {
        for(int i=0;i<9;i++){
            for(int j=0;j<9;j++){
                if(board[i][j]!='.'){
                    int num=board[i][j]-'0';
                    row[i][num]=col[j][num]=grid[i/3][j/3][num]=true;
                }
            }
        }
        dfs(board);
    }

    bool dfs(vector<vector<char>>& board){
        for(int i=0;i<9;i++){
            for(int j=0;j<9;j++){
                if(board[i][j]=='.'){
                    for(int num=1;num<=9;num++){
                        if(!row[i][num]&&!col[j][num]&&!grid[i/3][j/3][num]){
                            board[i][j]='0'+num;
                            row[i][num]=col[j][num]=grid[i/3][j/3][num]=true;
                            if(dfs(board)) return true;
                            board[i][j]='.';
                            row[i][num]=col[j][num]=grid[i/3][j/3][num]=false;
                        }
                    }
                    return false;
                }
            }
        }
        return true;
    }
};

02.单词搜索

题目链接：https://leetcode.cn/problems/word-search/

给定一个 m x n 二维字符网格 board 和一个字符串单词 word 。如果 word 存在于网格中，返回 true ；否则，返回 false 。

单词必须按照字母顺序，通过相邻的单元格内的字母构成，其中“相邻”单元格是那些水平相邻或垂直相邻的单元格。同一个单元格内的字母不允许被重复使用。

示例 1：

输入：board = [["A","B","C","E"],["S","F","C","S"],["A","D","E","E"]], word = "ABCCED"
输出：true

示例 2：

输入：board = [["A","B","C","E"],["S","F","C","S"],["A","D","E","E"]], word = "SEE"
输出：true

示例 3：

输入：board = [["A","B","C","E"],["S","F","C","S"],["A","D","E","E"]], word = "ABCB"
输出：false

提示：

m == board.length
n = board[i].length
1 <= m, n <= 6
1 <= word.length <= 15
board 和 word 仅由大小写英文字母组成

思路

其实这里完全就是使用暴力搜索的方式。在解决这个问题时，我们假设每个位置的元素作为第一个字母，然后向相邻的四个方向进行递归，并且不能出现重复使用同一个位置的元素。通过深度优先搜索的方式，不断地枚举相邻元素作为下一个字母出现的可能性，并在递归结束时回溯，直到枚举完所有可能性，得到正确的结果。

代码

class Solution {
    const int dx[4]={0,0,1,-1};
    const int dy[4]={-1,1,0,0};
    int m,n;
    bool vis[7][7];
public:
    bool exist(vector<vector<char>>& board, string word) {
        m=board.size(),n=board[0].size();
        for(int i=0;i<m;++i){
            for(int j=0;j<n;++j){
                if(board[i][j]==word[0]){
                    vis[i][j]=true;
                    if(dfs(board,i,j,word,1)) return true;
                    vis[i][j]=false;
                }
            }
        }
        return false;
    }

    bool dfs(vector<vector<char>>& board, int i,int j,string word,int pos){
        if(pos==word.size()) return true;

        for(int k=0;k<4;k++){
            int x=i+dx[k],y=j+dy[k];
            if(x>=0&&x<m&&y>=0&&y<n&&!vis[x][y]&&board[x][y]==word[pos]){
                vis[x][y]=true;
                if(dfs(board,x,y,word,pos+1)) return true;
                vis[x][y]=false;
            }
        }
        return false;
    }
};

03.黄金矿工

题目链接：https://leetcode.cn/problems/path-with-maximum-gold/

你要开发一座金矿，地质勘测学家已经探明了这座金矿中的资源分布，并用大小为 m * n 的网格 grid 进行了标注。每个单元格中的整数就表示这一单元格中的黄金数量；如果该单元格是空的，那么就是 0。

为了使收益最大化，矿工需要按以下规则来开采黄金：

每当矿工进入一个单元，就会收集该单元格中的所有黄金。
矿工每次可以从当前位置向上下左右四个方向走。
每个单元格只能被开采（进入）一次。
不得开采（进入）黄金数目为 0 的单元格。
矿工可以从网格中 任意一个 有黄金的单元格出发或者是停止。

示例 1：

输入：grid = [[0,6,0],[5,8,7],[0,9,0]]
输出：24
解释：
[[0,6,0],
 [5,8,7],
 [0,9,0]]
一种收集最多黄金的路线是：9 -> 8 -> 7。

示例 2：

输入：grid = [[1,0,7],[2,0,6],[3,4,5],[0,3,0],[9,0,20]]
输出：28
解释：
[[1,0,7],
 [2,0,6],
 [3,4,5],
 [0,3,0],
 [9,0,20]]
一种收集最多黄金的路线是：1 -> 2 -> 3 -> 4 -> 5 -> 6 -> 7。

提示：

1 <= grid.length, grid[i].length <= 15
0 <= grid[i][j] <= 100
最多 25 个单元格中有黄金。

思路

和上一题的思路基本一致，只不过需添加在对每一次深度遍历时我们记录最大的累加和即可。

代码

class Solution {
    bool vis[16][16];
    const int dx[4]={0,0,1,-1};
    const int dy[4]={-1,1,0,0};
    int m,n,ret=0;
public:
    int getMaximumGold(vector<vector<int>>& grid) {
        m=grid.size(),n=grid[0].size();
        for(int i=0;i<m;++i){
            for(int j=0;j<n;++j){
                if(grid[i][j]){
                    vis[i][j]=true;
                    dfs(grid,i,j,grid[i][j]);
                    vis[i][j]=false;
                }
            }
        }
        return ret;
    }

    void dfs(vector<vector<int>>& grid,int i,int j,int path){
        ret=max(ret,path);

        for(int k=0;k<4;++k){
            int x=i+dx[k],y=j+dy[k];
            if(x>=0&&x<m&&y>=0&&y<n&&!vis[x][y]&&grid[x][y]){
                vis[x][y]=true;
                dfs(grid,x,y,path+grid[x][y]);
                vis[x][y]=false;
            }
        }
    }
};

04.不同路径 III

题目链接：https://leetcode.cn/problems/unique-paths-iii/

在二维网格 grid 上，有 4 种类型的方格：

1 表示起始方格。且只有一个起始方格。
2 表示结束方格，且只有一个结束方格。
0 表示我们可以走过的空方格。
-1 表示我们无法跨越的障碍。

返回在四个方向（上、下、左、右）上行走时，从起始方格到结束方格的不同路径的数目**。**

每一个无障碍方格都要通过一次，但是一条路径中不能重复通过同一个方格。

示例 1：

输入：[[1,0,0,0],[0,0,0,0],[0,0,2,-1]]
输出：2
解释：我们有以下两条路径：
1. (0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,3),(1,2),(1,1),(1,0),(2,0),(2,1),(2,2)
2. (0,0),(1,0),(2,0),(2,1),(1,1),(0,1),(0,2),(0,3),(1,3),(1,2),(2,2)

示例 2：

输入：[[1,0,0,0],[0,0,0,0],[0,0,0,2]]
输出：4
解释：我们有以下四条路径： 
1. (0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,3),(1,2),(1,1),(1,0),(2,0),(2,1),(2,2),(2,3)
2. (0,0),(0,1),(1,1),(1,0),(2,0),(2,1),(2,2),(1,2),(0,2),(0,3),(1,3),(2,3)
3. (0,0),(1,0),(2,0),(2,1),(2,2),(1,2),(1,1),(0,1),(0,2),(0,3),(1,3),(2,3)
4. (0,0),(1,0),(2,0),(2,1),(1,1),(0,1),(0,2),(0,3),(1,3),(1,2),(2,2),(2,3)

示例 3：

输入：[[0,1],[2,0]]
输出：0
解释：
没有一条路能完全穿过每一个空的方格一次。
请注意，起始和结束方格可以位于网格中的任意位置。

提示：

1 <= grid.length * grid[0].length <= 20

思路

这里和上面的回溯不太一样的地方在于我们必须通过所有的0标记位置，首先我们要计算出所有0的个数，再加上1个2的位置就是我们要走的路的长度，依照要走的长度和起始位置找到不同的路线，这里可以使用深度优先遍历找到不同的路径。

代码

class Solution {
    bool vis[21][21];
    const int dx[4]={0,0,1,-1};
    const int dy[4]={-1,1,0,0};
    int m,n,ret=0;
public:
    int uniquePathsIII(vector<vector<int>>& grid) {
        m=grid.size(),n=grid[0].size();
        int count=0,left,right;
        for(int i=0;i<m;i++){
            for(int j=0;j<n;j++){
                if(grid[i][j]==0) count++;
                else if(grid[i][j]==1){
                    left=i;
                    right=j;
                }
            }
        }
        vis[left][right]=true;
        dfs(grid,left,right,count+1);
        return ret;
    }

    void dfs(vector<vector<int>>& grid,int left,int right,int count){
        if(grid[left][right]==2){
            if(!count) ret++;
            return;
        } 

        for(int k=0;k<4;k++){
            int x=left+dx[k],y=right+dy[k];
            if(x>=0&&x<m&&y>=0&&y<n&&!vis[x][y]&&grid[x][y]!=-1){
                vis[x][y]=true;
                dfs(grid,x,y,count-1);
                vis[x][y]=false;
            }
        }
    }
};