1. 三角形的外心

即三角形的外接圆的中心。此时：

$$AO=BO=CO$$

需要注意的有以下几点：

第一，$AOD，BOE，COF不一定是直线，能否证明？$

第二，$\angle BAC等于\angle BOD,\sin \angle A=\frac{a}{2}/R=\frac{a}{2R}$

第三，$S△ABC=\frac{1}{2}ab\sin \angle C=\frac{1}{2}ab\frac{c}{2R}=\frac{abc}{4R}$

2. 三角形的内心

即内接圆的圆心。

需要注意的有以下几点：

第一，$BOE，COD,AOF不一定是直线。$

第二，$\angle BOC=90°+\angle A$

证明：$\angle BOC=180°-\frac{180°-\angle A}{2}=90°-\frac{\angle A}{2}$

第三，$S_{△ABC}=\frac{1}{2}(a+b+c)r(r为内接圆半径)$

第四，$BD=BF=\frac{1}{2}(a+c-b)$

3. 三角形的重心

三角形三条中线的交点。

性质：

第一，$\frac{AO}{OE}=\frac{2}{1}$

证明：延长AOE至G点并使得EG=OE，根据定理“对角线平分的四边形为平行四边形”可以证明OBGC为平行四边形，可得AO=OG，因此可以证明AO=2OE。

第二，$S_{△AOB}=S_{△COB}=S_{△COA}$

证明：

第三，三个向量之和OA+OB+OC= 0

第四，$A,B,,C的坐标为(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3),重心O点的坐标x=\frac{x_1+x_2+x_3}{2},y=\frac{y_1+y_2+y_3}{2}$

4. 三角形的垂心

三角形三边上的高的交点。

5. 三角形的中心

等边三角形的外心、内心、重心、垂心交于一点，该点称为三角形的中心。

6. 三角形的费马点