图像增强：主要是一种 主观处理，而图像复原很大程度上是一种 客观处理。

5.1 图像退化/复原处理的一个模型

如图5.1 本章把图像退化建模为一个算子 $\mathcal{H}$ 该算子 与一个加性噪声项 $\eta (x,y)$ 共同对输入图像 $f(x,y)$ 进行运算，生成一幅退化图像 $g(x,y)$。

如果 $\mathcal{H}$ 是一个线性位置不变算子，那么空间域中的退化图像为：

$$g(x,y)=h(x,y)\star f(x,y)+\eta (x,y)\text{\hspace{1em}(5.1)}$$

由空间域卷积定理可知，式(5.1)在频率域中的等效公式为：
$$G(u,v)=H(u,v)F(u,v)+N(u,v)$$

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5.2 噪声模型

5.2.1 噪声的空间和频率特性

当噪声的傅里叶谱是常量时，这类噪声通常称为白噪声。

除了空间周期噪声(5.2.3节, 教材P225)之外，本章假设噪声与空间坐标无关，并且与图像本身也不相关。

5.2.2 6种重要的噪声概率密度函数

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5.3 只存在噪声的复原——空间滤波

5.3.1 均值滤波器

1. 算术平均滤波器(最简单的均值滤波器)
   $$\hat{f}(x,y)=\frac{1}{mn}\sum _{(r,c)\in S_{xy}}g(r,c)$$

均值滤波平滑图像中的局部变化，会降低图像噪声，但会模糊图像。

2. 几何均值滤波器
   $$\hat{f}(x,y)={\left[\prod _{(r,c)\in S_{xy}}g(r,c)\right]}^{\frac{1}{mn}}$$

几何均值滤波器实现的平滑可与算术平均滤波器相比，但损失的图像细节更少。“几何”二字来源于圆上的弦长。几何均值会略微惩罚偏离均值的成分。

3. 谐波平均滤波器

$$\hat{f}(x,y)=\frac{mn}{{\sum }_{(r,c)\in S_{xy}}\frac{1}{g(r,c)}}$$

能处理类似于高斯噪声的其他噪声、盐粒噪声(√)，但不能处理胡椒噪声(×)。因为调和平均数会剧烈的惩罚偏离平均值的较低值，会导致图片整体偏暗。(调和均值)

4. 反谐波平均滤波器
   $$\hat{f}(x,y)=\frac{{\sum }_{(r,c)\in S_{xy}}g(r,c{)}^{Q+1}}{{\sum }_{(r,c)\in S_{xy}}g(r,c{)}^Q}$$

其中，$Q$ 称为滤波器的阶数。适用于降低或消除椒盐噪声。如果 $Q$ 的符号选择错误 会引起灾难性的后果。

5.3.2 统计排序滤波器

1. 中值滤波器(最著名的统计排序滤波器)

f ^ ( x , y ) = median ⁡ ( r , c ) ∈ S x y { g ( r , c ) } \hat{f}(x, y)=\operatorname{median}_{(r, c) \in S_{x y}}\{g(r, c)\} f^​(x,y)=median(r,c)∈Sxy​​{g(r,c)}

与相同尺寸的线性平滑滤波器相比，中值滤波器能有效降低某些随机噪声，且模糊度要小得多。对于单极和双极冲激噪声，中值滤波器效果更好。

2. 最大值和最小值滤波器

分别是为了降低胡椒噪声和盐粒噪声。

3. 中点滤波器

f ^ ( x , y ) = 1 2 [ max ⁡ ( r , c ) ∈ S x y { g ( r , c ) } + min ⁡ ( r , c ) ∈ S x y { g ( r , c ) } ] \hat{f}(x, y)=\frac{1}{2}\left[\max _{(r, c) \in S_{x y}}\{g(r, c)\}+\min _{(r, c) \in S_{x y}}\{g(r, c)\}\right] f^​(x,y)=21​[(r,c)∈Sxy​max​{g(r,c)}+(r,c)∈Sxy​min​{g(r,c)}]

计算滤波器包围区域中最大值和最小值之间的中点。

4. 修正阿尔法均值滤波器

$$\hat{f}(x,y)=\frac{1}{mn-d}\sum _{(r,c)\in S_{xy}}{g}_R(r,c),0\le d\le mn-1$$

适用于处理多种混合噪声。

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5.5 线性位置不变退化

一个算子对于任意 $f(x,y)$、$\alpha$、$\beta$，如果

$$\mathcal{H}[f(x-\alpha ,y-\beta )]=g(x-\alpha ,y-\beta )$$

则称具有输入/输出关系为线性位置不变退化，该定义说明：图像中任意一点处的响应只取决于该点处的输入值，而与该点的位置无关。

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5.6 估计退化函数

观察法、试验法、建模法

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5.7 逆滤波

原图像傅里叶变换的一个估计：

$$\hat{F}(u,v)=F(u,v)+\frac{N(u,v)}{H(u,v)}$$

即使知道退化函数 $H(u,v)$，也不能准确复原未退化的图像，因为 $N(u,v)$ 未知。如果退化函数 $H(u,v)$ 是零或是非常小的值，则 $N(u,v)/H(u,v)$ 很容易支配 $F(u,v)$ 项。

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5.8 最小均方误差(维纳)滤波

$$\begin{array}{rl}\hat{F}(u,v)& =\left[\frac{H^{\ast }(u,v)S_f(u,v)}{S_f(u,v)|H(u,v){|}^2+S_{\eta }(u,v)}\right]G(u,v)=\left[\frac{H^{\ast }(u,v)}{|H(u,v){|}^2+S_{\eta }(u,v)/S_f(u,v)}\right]G(u,v)\\ & =\left[\frac{1}{H(u,v)}\frac{|H(u,v){|}^2}{|H(u,v){|}^2+S_{\eta }(u,v)/S_f(u,v)}\right]G(u,v)\end{array}$$

若噪声为零则噪声功率谱消失 维纳滤波器简化为 逆滤波器。

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5.9 约束最小二乘方滤波

5.10 几何均值滤波

5.11 评价复原图像质量的测度

空间域信噪比：

$$\mathrm{SNR}=\sum _{x=0}^{M-1}\sum _{y=0}^{N-1}[\hat{f}(x,y){]}^2/\sum _{x=0}^{M-1}\sum _{y=0}^{N-1}[f(x,y)-\hat{f}(x,y){]}^2$$

频率域信噪比：
$$\mathrm{SNR}=\sum _{u=0}^{M-1}\sum _{v=0}^{N-1}|F(u,v){|}^2/\sum _{u=0}^{M-1}\sum _{v=0}^{N-1}|N(u,v){|}^2$$

均方误差：
$$\mathrm{MSE}=\frac{1}{MN}\sum _{x=0}^{M-1}\sum _{y=0}^{N-1}[f(x,y)-\hat{f}(x,y){]}^2$$