25.复习二

1. 已知$\vec{a}=\left[\begin{array}{c}2\\ 1\\ 2\end{array}\right]$，求：

   (1)$\vec{a}$的投影矩阵

   (2)$\vec{a}$的投影矩阵的特征值和特征向量

   $Ans$：(1)$P=\frac{\vec{a}{\vec{a}}^T}{{\vec{a}}^T\vec{a}}=\frac{1}{9}\left[\begin{array}{ccc}4& 2& 4\\ 2& 1& 2\\ 4& 2& 4\end{array}\right]$

   ​    (2)因为$P$是奇异矩阵，所以有一个特征值为$0$

        因为$P$的秩为$1$，所以其行空间维数为$1$，因而其零空间维数为$2$，所以至少有两个重复的特征值为$0$，那么还有一个特征值即为$(4+2+4)/9-0\ast 2=1$，这个特征值表示其对应的特征向量右乘$P$后不变，所以其对应的特征向量为$\vec{a}$

   $Plus$：设用于求投影矩阵$P$的矩阵$A$是$m$行$n$列的，那么$P$的特征值中有$m-n$个$0$和$n$个$1$

   ​    证明： 依几何意义可知，$P$的特征向量是正交于$A$的列空间的向量或者是$A$的列空间中的向量，所以$P$一定有$m$个线性无关的特征向量，并且这些向量中有$n$个对应的特征值为$1$，有$m-n$个对应的特征值为$0$

2. 三对角矩阵

   对三对角矩阵$A_n$，令${\vec{u}}_k=\left[\begin{array}{c}|A_{k+2}|\\ |A_{k+1}|\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 0\end{array}\right]$，则${\vec{u}}_{k+1}=B{\vec{u}}_k,{\vec{u}}_0=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$

   解得$B$特征值为${\lambda }_1=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}=e^{\pi i/3},{\lambda }_2=\frac{1-\sqrt{3}i}{2}=e^{-\pi i/3}$，所以${\lambda }_1^6={\lambda }_2^6=1$，所以$B^6=S{\Lambda }^6{S}^{-1}=I$，因而${\vec{u}}_{k+6}=B^6{\vec{u}}_k={\vec{u}}_k$，$B^k$与${\vec{u}}_k$均为周期性的

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