主成分分析是一种降维算法，它能将多个指标转换为少数几个主成分，这些主成分是原始变量的线性组合，且彼此之间互不相关，其能反映出原始数据的大部分信息

需要了解具体细节可看此视频👉：什么是主成成分分析PCA

计算步骤

假设有 $n$ 个样本，$p$ 个特征，则可构成大小为 $n\times p$ 的样本矩阵 $x$
$$x=\left[\begin{array}{cccc}{x}_{11}& x_{12}& \dots & x_{1p}\\ x_{21}& x_{22}& \dots & x_{2p}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ x_{n1}& x_{n2}& \dots & x_{np}\end{array}\right]=(x_1,x_2,\dots ,x_p)$$

1. 以列为单位，计算各列的均值 $\overline{x_j}$ 和标准差 $S_j$ ，其中 $1\le j\le p$
   $$\begin{gathered} \overline{x_j}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_{ij} \\ {S}_j=\sqrt{\frac{{\sum }_{i=1}^n(x_{ij}-\overline{x_j}{)}^2}{n-1}} \end{gathered}$$

2. 标准化原样本矩阵 $x$，标准化样本矩阵为 $X$，标准化后 $\overline{X_i}=0$
   $$\begin{gathered} X_{ij}=\frac{x_{ij}-\overline{x_j}}{S_j} \\ \left[\begin{array}{cccc}{X}_{11}& X_{12}& \dots & X_{1p}\\ X_{21}& X_{22}& \dots & X_{2p}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ X_{n1}& X_{n2}& \dots & X_{np}\end{array}\right] \end{gathered}$$

3. 计算标准化样本的协方差矩阵 $R$ 【方阵】

   协方差矩阵求法在线性判别分析LDA中有细致讲解，此处不再赘述
   $$\begin{gathered} R=\left[\begin{array}{cccc}{r}_{11}& r_{12}& \dots & r_{1p}\\ r_{21}& r_{22}& \dots & r_{2p}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ r_{p1}& X_{p2}& \dots & r_{pp}\end{array}\right] \\ {r}_{ij}=\frac{1}{n-1}\sum _{k=1}^n(X_{ki}-\overline{X_i})(X_{kj}-\overline{X_j})=\frac{1}{n-1}\sum _{k=1}^n{X}_{ki}{X}_{kj} \end{gathered}$$

4. 计算 $R$ 的特征值和特征矩阵【参考考研数学线性代数部分】

   $R$ 是半正定矩阵，特征值 $\lambda$ 有如下👇性质
   $$\begin{gathered} {\lambda }_1\ge {\lambda }_2\ge \cdots \ge 0 \\ tr(R)=\sum _{k=1}^p{\lambda }_k=p \end{gathered}$$

5. 计算主成分贡献率 $rate\_of\_contribution$ 以及累计贡献率 $aggregate\_rate\_of\_contribution$
   $$\begin{gathered} rate\_of\_contribution=\frac{{\lambda }_i}{{\sum }_{k=1}^p{\lambda }_k}(i=1,2,\dots ,p) \\ aggregate\_rate\_of\_contribution=\frac{{\sum }_{k=1}^i{\lambda }_k}{{\sum }_{k=1}^p{\lambda }_k}(i=1,2,\dots ,p) \end{gathered}$$

6. 写出主成分，第 $i$ 个主成分记作 $y_i$

   一般取累计贡献率超过 $80\%$ 的特征值所对应的第一、第二、$\dots$ 、第 $m(m\le p)$ 个主成分
   $$y_i=a_{1i}{X}_1+a_{2i}{X}_2+\cdots +a_{pi}{X}_p(i=1,2,\dots ,m)$$
   其中 $a$ 是特征向量【竖直】，$a_{1i}$ 代表第 $i$ 个特征向量的第 $1$ 个元素

7. 根据系数分析主成分代表的意义

   对于某个主成分而言，指标前面的系数越大，代表该指标对于该主成分的影响越大

例题

假设有 $n$ 个学生参加四门课程的考试，将学生们的考试成绩看作随机变量的取值，对考试成绩数据进行标准化处理，得到样本相关矩阵 $R$ ，如下表所示👇：

试对数据进行主成分分析。

此处的矩阵已经是协方差矩阵，因此直接计算特征值和特征向量即可

import numpy as np
R = np.array([[1,0.44,0.29,0.33],[0.44,1,0.35,0.32],[0.29,0.35,1,0.6],[0.33,0.32,0.6,1]])
eigenvalue, featurevector = np.linalg.eig(a)
print('特征值：')
print(eigenvalue)
print('特征向量：')
# numpy计算的特征向量最后需要变号
print(featurevector*(-1))

特征值和特征向量值可能会有误差，这是因为计算时位数的不同，总体差不多即可，此处做近似处理使得结果与例题一致
$$\therefore {\lambda }_1=2.17,{\lambda }_2=0.87,{\lambda }_3=\mathrm{0.57.}{\lambda }_4=0.39$$
这些特征值就是各主成分的方差贡献值。假设要求主成分的累计方差贡献率大于 $75\%$ 那么只需取前两个主成分即可，即$k=2$ ，因为👇
$$aggregate\_rate\_of\_contribution=\frac{{\sum }_{k=1}^2{\lambda }_k}{{\sum }_{k=1}^4{\lambda }_k}=\frac{2.17+0.87}{2.17+0.87+0.57+0.39}=0.76$$

近似处理单位特征向量和主成分的方差贡献率

项目	$x_1$	$x_2$	$x_3$	$x_4$	方差贡献率【$rate\_of\_contribution$】
$y_1$	0.460	0.476	0.523	0.537	0.543
$y_2$	0.574	0.486	-0.476	-0.456	0.218

第一，第二主成分为：
$$\begin{gathered} y_1=0.460x_1+0.476x_2+0.523x_3+0.537x_4 \\ {y}_1=0.574x_1+0.486x_2-0.476x_3-0.456x_4 \end{gathered}$$
第 $i$ 主成分对应变量 $x_j$ 的因子负荷量 $f_{ij}$ = $\frac{a_{ij}\times \sqrt{{\lambda }_i}}{\sqrt{{\sigma }_{ij}}}$ ，其中 $a_{ij}$ 是第 $i$ 个特征向量的第 $j$ 个元素，${\sigma }_{ij}$ 是协方差 $r_{ij}$
$$f_{11}=\frac{0.460\times \sqrt{2.17}}{\sqrt{1}}=0.678$$

同理可得其余的因子负荷量

第 i 主成分对应变量xj的因子负荷量

项目	$x_1$	$x_2$	$x_3$	$x_4$
$y_1$	0.678	0.701	0.770	0.791
$y_2$	0.536	0.453	-0.444	-0.425

第 $x,y$ 主成分对变量 $x_i$ 的贡献率 $p_{xy,i}=f_{xi}^2\times f_{yi}^2$ ，其中 $f_{ij}$ 为第 $i$ 主成分对应第 $j$ 个因子负荷量
$$p_{12,1}=0.678^2+0.536^2=0.747$$
同理可得其余的贡献率

第 1，2 主成分对变量 xi 的贡献率

$x_1$	$x_2$	$x_3$	$x_4$
0.747	0.697	0.790	0.806

可以看出，第一主成分 $y_1$ 对应的因子负荷量均为正数，表明各门课程成绩提高都可使 $y_1$ 提高，也就是说，第一主成分 $y_1$ 反映了学生的整体成绩；还可以看出，因子负荷量的数值相近，且 $y_1(x_4)$ 的数值最大，这表明物理成绩在整体成绩中占最重要位置。

第二主成分 $y_2$ 对应的因子负荷量有正有负，正的是语文和外语，负的是数学和物理，表明文科成绩提高都可使 $y_2$ 提高，而理科成绩提高都可使 $y_2$ 降低，也就是说，第二主成分 $y_2$ 反映了学生的文科成绩与理科成绩的关系。