一、并查集
（1）处理问题的类型
1.将两个集合合并
2.询问两个元素是否在一个集合当中
询问
1.fa[x]=a;
2.if(fa[x]==fa[y]) o(1)
在o(1)的复杂度内进行两个操作
（2）基本原理
基本原理：每个集合用一棵树来表示，树根的编号就是整个集合的编号
每个节点存储它的父节点，fa[x]表示x的父节点
1.如何判断树根?
if(fa[x]==x)//判断是树根
2.如何求x的集合编号//复杂度高
while(p[x]!=x)
x=p[x]；
优化：把整个路径上的所有点都指向根节点（路径压缩） o（1）
3. 如何合并两个集合
左集合是右边儿子或者右集合是左边儿子
fx是x的集合编号，py是y集合的编号
fa[x]=y;
（3）模板
#include<bits/stdc++.h>
#define endl '\n'
#define int long long
#define IOS ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); cout.tie(0);
using namespace std;
const int N=1e5+100;
const int inf=0x3f3f3f3f;
int n,m;
int fa[N];//存的是每个元素的父节点是谁
int find(int x)//返回x的祖宗节点+路径压缩
{
if(fa[x]!=x)
fa[x]=find(fa[x]);
return fa[x];
}
void merge(int a,int b)
{
fa[find(a)]=find(b);//a的祖宗节点的父亲 =b的祖宗节点
}
void solve()
{
cin>>n>>m;
int i,j;
for(i=1;i<=n;i++)
{
fa[i]=i;
}
while(m--)
{
char c;
int x,y;
cin>>c>>x>>y;
if(c=='M')
{
merge(x,y);
}
else
{
if(find(x)==find(y))//询问x,y是否在同一个集合中
cout<<"Yes"<<endl;
else
cout<<"No"<<endl;
}
}
}
signed main()
{
int t=1;
while(t--)
{
solve();
}
return 0;
}
二、相关例题
acwing 837. 连通块中点的数量
一、题目要求
给定一个包含 n 个点（编号为 1∼n）的无向图，初始时图中没有边。
现在要进行 m 个操作，操作共有三种：
C a b，在点 a 和点 b 之间连一条边，a 和 b 可能相等；Q1 a b，询问点 a和点 b 是否在同一个连通块中，a和 b可能相等；Q2 a，询问点 a 所在连通块中点的数量；
输入格式
第一行输入整数 n 和 m。
接下来 m 行，每行包含一个操作指令，指令为 C a b，Q1 a b 或 Q2 a 中的一种。
输出格式
对于每个询问指令 Q1 a b，如果 a 和 b 在同一个连通块中，则输出 Yes，否则输出 No。
对于每个询问指令 Q2 a，输出一个整数表示点 a 所在连通块中点的数量
每个结果占一行。
数据范围
1≤n,m≤10^5
输入样例：
5 5
C 1 2
Q1 1 2
Q2 1
C 2 5
Q2 5
输出样例：
Yes
2
3二、思路
主要解决点a所在连通块中点的数量问题，可以用cnt[N]数组，来记录每个集合中点的数量，设最开始每个集合中点的数量为1，即只有它本身；当需要合并的时候，统计点的数量，假设，a,b两个集合需要合并在一块，将a集合合并在b集合的下面，即a集合的父节点是b,则fa[find(a)]=find(b),则cnt[find(b)]+=cnt[find(a)];
三、代码
/*
统计连通块中点的数量
*/
#include<bits/stdc++.h>
#define endl '\n'
#define int long long
#define IOS ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); cout.tie(0);
using namespace std;
const int N=1e5+10;
const int inf=0x3f3f3f3f;
int n,m;
int fa[N];
int cnt[N];//每个集合中点的数量
int find(int x)
{
if(fa[x]!=x)
fa[x]=find(fa[x]);
return fa[x];
}
void merge(int a,int b)
{
fa[find(a)]=find(b);
}
void solve()
{
cin>>n>>m;
int i;
for(i=1;i<=n;i++)
{
fa[i]=i;
cnt[i]=1;//最开始每个集合中只有一个点
}
while(m--)
{
string s;
int x,y;
cin>>s;
if(s=="C")
{
cin>>x>>y;
merge(x,y);
}
else if(s=="Q1")
{
cin>>x>>y;
if(find(x)!=find(y))//只有当x,y不在一个集合里面的时候，才能相加
cnt[find(y)]+=cnt[find(x)];
if(find(x)==find(y))
cout<<"Yes"<<endl;
else
cout<<"No"<<endl;
}
else
{
cin>>x;
cout<<cnt[find(x)]<<endl;
}
}
}
signed main()
{
int t=1;
while(t--)
{
solve();
}
return 0;
}
acwing 240. 食物链
一、题目要求
动物王国中有三类动物 A,B,C，这三类动物的食物链构成了有趣的环形。
A 吃 B，B吃 C，C 吃 A。
现有 N个动物，以 1∼N 编号。
每个动物都是 A,B,C 中的一种，但是我们并不知道它到底是哪一种。
有人用两种说法对这 N 个动物所构成的食物链关系进行描述：
第一种说法是 1 X Y，表示 X 和 Y 是同类。
第二种说法是 2 X Y，表示 X 吃 Y。
此人对 N个动物，用上述两种说法，一句接一句地说出 K 句话，这 K 句话有的是真的，有的是假的。
当一句话满足下列三条之一时，这句话就是假话，否则就是真话。
- 当前的话与前面的某些真的话冲突，就是假话；
- 当前的话中 X或 Y 比 N 大，就是假话；
- 当前的话表示 X 吃 X，就是假话。
你的任务是根据给定的 N 和 K 句话，输出假话的总数。
输入格式
第一行是两个整数 N 和 K，以一个空格分隔。
以下 K 行每行是三个正整数 D，X，Y，两数之间用一个空格隔开，其中 D 表示说法的种类。
若 D=1则表示 X和 Y 是同类。
若 D=2，则表示 X 吃 Y。
输出格式
只有一个整数，表示假话的数目。
数据范围
1≤N≤50000
0≤K≤100000
输入样例：
100 7
1 101 1
2 1 2
2 2 3
2 3 3
1 1 3
2 3 1
1 5 5
输出样例：
3二、思路
1.思路
(1).x>n||y>n 假
(2).同类吃同类 假
(3).食物链中的关系?如何记录每个点和根节点的关系？利用数组dis[N];
三种关系，每个点到根节点的距离表示其到根节点的关系
1.一个点到根节点的距离为1 (dis%3==1)吃根节点 1吃0
2.一个点到根节点的距离为2 (dis%3==2)可以被根节点吃 2吃1
3.一个点到根节点的距离为3 (dis%3==0)和根节点为同类 0吃2
根节点就是第0代，所以吃第0代的就是第一代，吃第一代的是第二代，以此类推...
2求dis[N]
int dis[N]; //记录每个点到根节点的距离
int find(int x)
{
if(fa[x]!=x)
{
int u=find(fa[x]);//找到其根节点
dis[x]+=dis[fa[x]];//x到父节点的距离
fa[x]=u;
}
return fa[x];
}
//初始化（main()函数里面的代码）
cin>>n>>m;
int i,j,k=0;
for(i=1;i<=n;i++)
{
fa[i]=i;
dis[i]=0;//最开始每个点到根节点的距离为0
}3. (1).x>n||y>n 假
int op,x,y;
cin>>op>>x>>y;
if(x>n||y>n)//超过总数为假
cnt++;//记录假语句的个数
(2)1 x,y 代表x y是同类；当op=1,当find(a)==find(b),然而x,y不是同类的时候则为假
让fa[x]指向fa[y],又因为x,y为同类，所以（dis[x]+?）%3=dis[y]%3;
即：(dis[x]+?-dis[y])%3=0;
即：?=dis[y]-dis[x];
int a=find(x),b=find(y);
if(op==1)//在同类中，如果出现不是同类的为假
{
if(a==b&&((dis[x]-dis[y])%3!=0))//已经在一个集合中,且不是同类
cnt++;
else if(a!=b) //不在一个集合中 ,先将其并到一个集合里面
{
fa[a]=b; //先将其 变成同类
dis[a]=dis[y]-dis[x];//更新代数+距离
//(dis[x]+?-dis[y])%3==0 同类
//？=dis[y]-dis[x];
}
} (3)如果两者属于同类，有吃与被吃的关系也为假
1.因为x吃y，所以x到根节点的距离比y到根节点的距离多1(在%3d的情况下)
即：(dis[x]-dis[y]-1)%3==0;
2.(dis[x]+?-dis[y]-1)%3=0;
即：?=dis[y]+1-dis[x]
else//在吃与被吃的关系中，如果两者属于同类，有吃与被吃的关系也为假
{
//dis[x]%3-dis[y]%3=1;说明吃与被吃的关系
//(dis[x]-dis[y]-1)%3==0
if(a==b&&((dis[x]-dis[y]-1)%3!=0))//在一个集合中，属于同类，并且x吃y,则也为假
cnt++;
else if(a!=b)//不是同类，可以吃，更新dis ，更新代数
{
//(dis[x]+?)%3-(dis[y]%3)-1=0;
//dis[x]-dis[y]-1=-?
//?=dis[y]+1-dis[x];
fa[a]=b;
dis[a]=dis[y]+1-dis[x];
}
}三、代码
#include<bits/stdc++.h>
#define endl '\n'
#define int long long
#define IOS ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); cout.tie(0);
using namespace std;
const int N=1e5+10;
const int inf=0x3f3f3f3f;
int n,m;
int fa[N];
int dis[N]; //记录每个点到根节点的距离
int find(int x)
{
if(fa[x]!=x)
{
int u=find(fa[x]);//找到其根节点
dis[x]+=dis[fa[x]];//x到父节点的距离
fa[x]=u;
}
return fa[x];
}
void solve()
{
cin>>n>>m;
int i,j,k=0;
for(i=1;i<=n;i++)
{
fa[i]=i;
dis[i]=0;//最开始每个点到根节点的距离为0
}
int cnt=0;
while(m--)
{
int op,x,y;
cin>>op>>x>>y;
if(x>n||y>n)//超过总数为假
cnt++;
else
{
int a=find(x),b=find(y);
if(op==1)//在同类中，如果出现不是同类的为假
{
if(a==b&&((dis[x]-dis[y])%3!=0))//已经在一个集合中,且不是同类
cnt++;
else if(a!=b) //不在一个集合中
{
fa[a]=b; //先将其 变成同类
dis[a]=dis[y]-dis[x];//更新代数+距离
//(dis[x]+?-dis[y])%3==0 同类
//？=dis[y]-dis[x];
}
}
else//在吃与被吃的关系中，如果两者属于同类，有吃与被吃的关系也为假
{
//dis[x]%3-dis[y]%3=1;说明吃与被吃的关系
//(dis[x]-dis[y]-1)%3==0
if(a==b&&((dis[x]-dis[y]-1)%3!=0))//在一个集合中，属于同类，并且x吃y,则也为假
cnt++;
else if(a!=b)//不是同类，可以吃，更新dis ，更新代数
{
//(dis[x]+?)%3-(dis[y]%3)-1=0;
//dis[x]-dis[y]-1=-?
//?=dis[y]+1-dis[x];
fa[a]=b;
dis[a]=dis[y]+1-dis[x];
}
}
}
}
cout<<cnt<<endl;
}
signed main()
{
int t=1;
while(t--)
{
solve();
}
return 0;
}
