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前言

线性调频（Linear Frequency Modulation，LFM）信号具有很大的时宽带宽积，可获得很大的脉冲压缩比，是雷达系统和声呐系统广泛采用的一种信号形式。本文主要进行线性调频信号的理论学习，并使用 MATLAB 进行仿真。

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一、线性调频信号的形式

1、原理

频率或相位调制信号用来得到宽得多的工作带宽。线性调频（LFM）是常用的方式。在这种情况下，频率在脉宽内线性扫描，或者向上（上调频）或者向下（下调频）。匹配滤波器的带宽与扫描的带宽成比例，与脉宽无关，下图为一个典型的 LFM 波形样本，脉宽为 $\tau$，带宽为 $B$。

典型 LFM 波形

LFM 上变频波形的瞬时相位可以表示为：
$$\psi (t)=2\pi (f_{0}t+\frac{\mu }{2}{t}^2)-\frac{\tau }{2}\le t\le \frac{\tau }{2}$$
其中，$f_0$ 为雷达中心频率，$\mu =(2\pi B)/\tau$ 是 LFM 系数，因此，瞬时频率为
$$f(t)=\frac{1}{2\pi }\frac{d}{dt}\psi (t)=f_0+\mu t-\frac{\tau }{2}\le t\le \frac{\tau }{2}$$

同理，下变频波形的瞬时相位和频率分别为：
$$\psi (t)=2\pi (f_{0}t-\frac{\mu }{2}{t}^2)-\frac{\tau }{2}\le t\le \frac{\tau }{2}$$

$$f(t)=\frac{1}{2\pi }\frac{d}{dt}\psi (t)=f_0-\mu t-\frac{\tau }{2}\le t\le \frac{\tau }{2}$$

2、时域表达式

典型的线性调频信号可以表示为：
$$s(t)=rect(\frac{t}{\tau })e^{j2\pi (f_{0}t+\frac{\mu }{2}{t}^2)}$$
其中，$rect(t/\tau )$ 表示宽度为 $\tau$ 的矩形脉冲，则上式可写成：
$$s_1(t)=e^{j2\pi f_0}ts(t)$$
其中：$s(t)=rect(\frac{t}{\tau })e^{j\pi \mu t^2}$ 是 $s_1(t)$ 的复包络。

3、频域表达式

信号 $s_1(t)$ 的频谱由它的复包络 $s(t)$ 决定，$s_1(t)$ 中的复指数项表示中心频率 $f_0$ 的频移。将 $s(t)$ 进行傅里叶变换，得到

其中：

用 $C(x)$ 和 $S(x)$ 表示菲涅尔积分，定义如下：

菲涅尔积分近似为：

注意：$C(-x)=-C(x)，S(-x)=-S(x)$

将菲涅尔积分代入 LFM 频域表达式 $S(\omega )$，得到：

二、MATLAB 仿真

1、涅菲尔积分

①、MATLAB 源码

clear all
close all
n = 0;
 for x = 0:.05:4
     n = n+1;
     sx(n) = quadl('fresnels',.0,x);
     cx(n) = quadl('fresnelc',.0,x);
 end
plot(cx)
x=0:.05:4; 
plot(x,cx,'k',x,sx,'k--')
grid
xlabel ('x')
ylabel ('Fresnel integrals: C(x); S(x)')
legend('C(x)','S(x)')

②、仿真结果

下图为 $C(x)$ 和 $S(x)$ 在 $0\le x\le 4.0$时的图形

菲涅尔积分

2、LFM

①、MATLAB 源码

下述为绘制 LFM 信号实部、虚部及幅度谱的典型图形。

close all
clear all
eps = 0.000001;
%Enter pulse width and bandwidth
B = 200.0e6; %200 MHZ bandwidth
T = 10.e-6; %10 micro second pulse;
% Compute alpha
mu = 2. * pi * B / T;
% Determine sampling times
delt = linspace(-T/2., T/2., 10001); % 1 nano sceond sampling interval
% Compute the complex LFM representation
Ichannal = cos(mu .* delt.^2 / 2.); % Real part
Qchannal = sin(mu .* delt.^2 / 2.); % Imaginary Part
LFM = Ichannal + sqrt(-1) .* Qchannal; % complex signal
%Compute the FFT of the LFM waveform
LFMFFT = fftshift(fft(LFM));
% Plot the real and Immaginary parts and the spectrum
freqlimit = 0.5 / 1.e-9;% the sampling interval 1 nano-second
freq = linspace(-freqlimit/1.e6,freqlimit/1.e6,10001);
figure(1)
plot(delt*1e6,Ichannal,'k');
axis([-1 1 -1 1])
grid
xlabel('Time - microsecs')
ylabel('Real part')
title('T = 10 Microsecond, B = 200 MHz')
figure(2)
plot(delt*1e6,Qchannal,'k');
axis([-1 1 -1 1])
grid
xlabel('Time - microsecs')
ylabel('Imaginary part')
title('T = 10 Microsecond, B = 200 MHz')
figure(3)
plot(freq, abs(LFMFFT),'k');
%axis tight
grid
xlabel('Frequency - MHz')
ylabel('Amplitude spectrum')
title('Spectrum for an LFM waveform and T = 10 Microsecond, B = 200 MHZ')

B 的值为 200.0e6，表示 200 MHz 的带宽。T 的值为 10.e-6，表示 10 微秒的脉冲宽度。

②、仿真结果

1) 典型 LFM 波形，实部

2) 典型 LFM 波形，虚部

3) LFM 波形的典型谱

下图中类似方形的频谱就是广为人知的菲涅尔谱。

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