121. 买卖股票的最佳时机

思路

动态规划

动规五部曲分析如下：

• 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i][0] 表示第i天持有股票所得最多现金 ，这里可能有疑惑，本题中只能买卖一次，持有股票之后哪还有现金呢？

其实一开始现金是0，那么加入第i天买入股票现金就是 -prices[i]， 这是一个负数。

dp[i][1] 表示第i天不持有股票所得最多现金

注意这里说的是“持有”，“持有”不代表就是当天“买入”！也有可能是昨天就买入了，今天保持持有的状态

很多人把“持有”和“买入”没区分清楚。

在下面递推公式分析中，我会进一步讲解。

• 确定递推公式

如果第i天持有股票即dp[i][0]， 那么可以由两个状态推出来

• 第i-1天就持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天持有股票的所得现金 即：dp[i - 1][0]
• 第i天买入股票，所得现金就是买入今天的股票后所得现金即：-prices[i]

那么dp[i][0]应该选所得现金最大的，所以dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], -prices[i]);

如果第i天不持有股票即dp[i][1]， 也可以由两个状态推出来

• 第i-1天就不持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金 即：dp[i - 1][1]
• 第i天卖出股票，所得现金就是按照今天股票价格卖出后所得现金即：prices[i] + dp[i - 1][0]

同样dp[i][1]取最大的，dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], prices[i] + dp[i - 1][0]);

这样递推公式我们就分析完了

• dp数组如何初始化

由递推公式 dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], -prices[i]); 和 dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], prices[i] + dp[i - 1][0]);可以看出

其基础都是要从dp[0][0]和dp[0][1]推导出来。

那么dp[0][0]表示第0天持有股票，此时的持有股票就一定是买入股票了，因为不可能有前一天推出来，所以dp[0][0] -= prices[0];

dp[0][1]表示第0天不持有股票，不持有股票那么现金就是0，所以dp[0][1] = 0;

• 确定遍历顺序

从递推公式可以看出dp[i]都是由dp[i - 1]推导出来的，那么一定是从前向后遍历。

• 举例推导dp数组

以示例1，输入：[7,1,5,3,6,4]为例，dp数组状态如下：

dp[5][1]就是最终结果。

为什么不是dp[5][0]呢？

因为本题中不持有股票状态所得金钱一定比持有股票状态得到的多！

以上分析完毕，代码如下：

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        //题目意思：一只给定股票第i天的价格为prices[i]，求所能获得的最大利润
        //确定bp数组及其下标含义
        //dp[i][0] 表示持有这只股票时身上现金多少  dp[i][1]表示不持有这只股票时身上的现金多少
        int[][] dp = new int[prices.length+1][2];
        //确定递推公式
        //初始化dp数组
        dp[0][0] = -prices[0];
        dp[0][1] = 0;
        for (int i = 1; i < prices.length; i++) {
            //dp[i][0] 是指 上一天的持有这只股票时的现金多少 或 今天买入这只股票时持有的现金多少 的最大值
            dp[i][0] = Math.max(dp[i-1][0],-prices[i]);
            //dp[i][1] 是指 上一天持有这只股票，但今天把这只股票卖了时的现金多少 或 上一天不持有这只股票时身上持有的现金 的最大值
            dp[i][1] = Math.max(dp[i-1][1],dp[i][0]+prices[i]);
        }
        return Math.max(dp[prices.length-1][0],dp[prices.length-1][1]);
    }
}

• 时间复杂度：O(n)
• 空间复杂度：O(n)

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122.买卖股票的最佳时机II

思路

本题我们在讲解贪心专题的时候就已经讲解过了贪心算法：买卖股票的最佳时机II (opens new window)，只不过没有深入讲解动态规划的解法，那么这次我们再好好分析一下动规的解法。

本题和121. 买卖股票的最佳时机 (opens new window)的唯一区别是本题股票可以买卖多次了（注意只有一只股票，所以再次购买前要出售掉之前的股票）

在动规五部曲中，这个区别主要是体现在递推公式上，其他都和121. 买卖股票的最佳时机 (opens new window)一样一样的。

所以我们重点讲一讲递推公式。

这里重申一下dp数组的含义：

• dp[i][0] 表示第i天持有股票所得现金。
• dp[i][1] 表示第i天不持有股票所得最多现金

如果第i天持有股票即dp[i][0]， 那么可以由两个状态推出来

• 第i-1天就持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天持有股票的所得现金 即：dp[i - 1][0]
• 第i天买入股票，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金减去 今天的股票价格 即：dp[i - 1][1] - prices[i]

注意这里和121. 买卖股票的最佳时机 (opens new window)唯一不同的地方，就是推导dp[i][0]的时候，第i天买入股票的情况。

在121. 买卖股票的最佳时机 (opens new window)中，因为股票全程只能买卖一次，所以如果买入股票，那么第i天持有股票即dp[i][0]一定就是 -prices[i]。

而本题，因为一只股票可以买卖多次，所以当第i天买入股票的时候，所持有的现金可能有之前买卖过的利润。

那么第i天持有股票即dp[i][0]，如果是第i天买入股票，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金 减去 今天的股票价格 即：dp[i - 1][1] - prices[i]。

再来看看如果第i天不持有股票即dp[i][1]的情况， 依然可以由两个状态推出来

• 第i-1天就不持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金 即：dp[i - 1][1]
• 第i天卖出股票，所得现金就是按照今天股票价格卖出后所得现金即：prices[i] + dp[i - 1][0]

注意这里和121. 买卖股票的最佳时机 (opens new window)就是一样的逻辑，卖出股票收获利润（可能是负值）天经地义！

代码如下：（注意代码中的注释，标记了和121.买卖股票的最佳时机唯一不同的地方）

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        //题目意思：一只给定股票第i天的价格为prices[i]，求所能获得的最大利润
        //确定bp数组及其下标含义
        //dp[i][0] 表示持有这只股票时身上现金多少  dp[i][1]表示不持有这只股票时身上的现金多少
        int[][] dp = new int[prices.length+1][2];
        //确定递推公式
        //初始化dp数组
        dp[0][0] = -prices[0];
        dp[0][1] = 0;
        for (int i = 1; i < prices.length; i++) {
            //dp[i][0] 是指 上一天的持有这只股票时的现金多少 或 今天买入这只股票时持有的现金多少 的最大值
            dp[i][0] = Math.max(dp[i-1][0],dp[i-1][1]-prices[i]);
            //dp[i][1] 是指 上一天持有这只股票，但今天把这只股票卖了时的现金多少 或 上一天不持有这只股票时身上持有的现金 的最大值
            dp[i][1] = Math.max(dp[i-1][1],dp[i][0]+prices[i]);
        }
        return Math.max(dp[prices.length-1][0],dp[prices.length-1][1]);
    }
}

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