集成运放的应用首先表现在它能构成各种运算电路上，并因此而得名。在运算电路中，以输入电压作为自变量，以输出电压作为函数；当输入电压变化时，输出电压将按一定的数学规律变化，即输出电压反映输入电压某种运算的结果。

一、概述

1、电路的组成

为了实现输出电压与输入电压的某种运算关系，运算电路中的集成运放应当工作在线性区，因而电路中必须引入负反馈，且为了稳定输出电压，均引入电压负反馈。由此可见，运算电路的特征是从集成运放的输出端到其反向输入端存才反馈通路。
由于集成运放优良的指标参数，不管引入电压串联负反馈，还是引入电压并联负反馈，均为深度负反馈。因此电路是利用反馈网络和输入网络来实现各种数学运算的。

2、“虚短” 和 “虚断” 是分析运算电路的基本出发点

通常，在分析运算电路时均设集成运放为理想运放，因而其两个输入端的净输入电压和净输入电流均为零，即具有 “虚短路” 和 “虚断路” 两个特点，这是分析运算电路输出电压与输入电压运算关系的基本出发点。
在运算电路中，无论输入电压，还是输出电压，均对 “地” 而言。
在求解运算关系式时，多采用节点电流法；对于多输入的电路，还可利用叠加原理。

二、比例运算电路

1、反向比例运算电路

（1）基本电路

反向比例运算电路如图7.1.1所示，这是一个典型的电压并联负反馈电路。输入电压 $u_I$ 通过电阻 $R$ 作用于集成运放的反向输入端，故输出电压 $u_O$ 与 $u_I$ 反相。同相输入端通过电阻 $R^{\prime }$ 接地，$R^{\prime }$ 为补偿电阻，以保证集成运放输入级差分放大电路的对称性；其值为 $u_I=0$（即输入端接地，输出端也接地，静态时）时反向输入端总等效电阻，即各支路电阻的并联，因此 $R^{\prime }=R//R_f$。这是因为集成运放静态时存在偏置电流，若不存在 $R^{\prime }$，则静态时 $u_N$ 和 $u_P$ 会存在误差。
电路中通过 $R_f$ 引入负反馈，故$$u_N=u_P=0(\mathrm{7.1.1})$$为 “虚地”。$$i_P=i_N=0(\mathrm{7.1.2})$$节点 $\text{N}$ 的电流方程为$$i_R=i_F$$$$\frac{u_I-u_N}{R}=\frac{u_N-u_O}{R_f}$$由于 $\text{N}$ 点为虚地，整理得出$$u_O=-\frac{R_f}{R}{u}_I(\mathrm{7.1.3})$$$u_O$ 与 $u_I$ 成比例关系，比例系数为 $-R_f/R$，负号表示 $u_O$ 与 $u_I$ 反相。比例系数的数值可以是大于、等于和小于 $1$ 的任何值。
因为电路引入了深度电压负反馈，且 $1+AF=\infty$，所以输出电阻 $R_o=0$，电路带负载后运算关系不变。
因为从电路输入端和地之间看进去的等效电阻等于输入端和虚地之间看进去的等效电阻，所以电路的输入电阻$$R_i=R(\mathrm{7.1.4})$$可见，尽管理想运放的输入电阻为无穷大，但是由于电路引入的是并联负反馈，反向比例运算电路的输入电阻却不大。
式（7.1.4）表明，为了增大输入电阻，必须增大 $R$。例如，在比例系数为 $-50$ 的情况下，若要求 $R_i=10\text{k}\Omega$，$R_f$ 应取 $500\text{k}\Omega$；若要求 $R_i=100\text{k}\Omega$，$R_f$ 应取 $5\text{M}\Omega$。实际上，当电路中电阻取值过大时，一方面由于工艺的原因，电阻的稳定性差且噪声大；另一方面，当阻值与集成运放的输入电阻等数量级时，式（7.1.3）所示比例系数会发生较大变化，其值将不仅决定于反馈网络。使用阻值较小的电阻，达到数值较大的比例系数，并且具有较大的输入电阻，是实际应用的需要。
在基本电路中，由于反馈电流与输入电流相等，所以使比例系数为 $-R_f/R$。可以想象，若 $i_F$ 远大于 $i_I$，则利用阻值不大的电阻就可以得到较大的输出电压，从而获得同样的比例系数。利用 $\text{T}$ 型网络取代图7.1.1所示电路中的 $R_f$，可以达到上述目的。

（2）$\text{T}$ 形网络反向比例运算电路
在图 7.1.2 所示电路中，电阻 $R_2$、$R_3$ 和 $R_4$ 构成英文字母 $\text{T}$，故称为 $\text{T}$ 形网络电路。

节点 $\text{N}$ 的电流方程为$$\frac{u_I}{R_1}=\frac{-u_M}{R_2}$$因而节点 $\text{M}$ 的电位$$u_M=-\frac{R_2}{R_1}\cdot u_I$$$R_3$ 和 $R_4$ 的电流分别为$$i_3=-\frac{u_M}{R_3}=\frac{R_2}{R_1{R}_3}\cdot u_I$$$$i_4=i_2+i_3$$输出电压$$u_O=-i_2{R}_2-i_4{R}_4$$将各电流表达式代入，整理可得$$u_O=-\frac{R_2+R_4}{R_1}(1+\frac{R_2//R_4}{R_3})u_I(\mathrm{7.1.5})$$表达式当 $R_3=\infty$ 时，$u_O$ 与 $u_I$ 的关系如式（7.1.3）所示。$\text{T}$ 形网络电路的输入电阻 $R_i=R_1$。若要求比例系数为 $-50$ 且 $R_i=100\text{k}\Omega$，则 $R_1$ 应取 $100\text{k}\Omega$；如果 $R_2$ 和 $R_4$ 也取 $100\text{k}\Omega$，那么只要 $R_3$ 取 $2.08\text{k}\Omega$，即可得到 $-50$ 的比例系数。
因为 $R_3$ 的引入使反馈系数减小，所以为保证足够的反馈深度，应选用开环增益更大的集成运放。

2、同相比例运算电路

将图7.1.1所示电路中的输入端和接地端互换，就得到同相比例运算电路，如图7.1.3所示。电路引入了电压串联负反馈，故可以认为输入电阻为无穷大，输出电阻为零。即使考虑集成运放参数的影响，输入电阻也可达 $10^9\Omega$ 以上。

根据 “虚短” 和 “虚断” 的概念，集成运放的净输入电压为零，即$$u_P=u_N=u_I(\mathrm{7.1.6})$$说明集成运放有共模输入电压。
净输入电流为零，因而 $i_R=i_F$，即$$\frac{u_N-0}{R}=\frac{u_O-u_N}{R_f}$$$$u_O=(1+\frac{R_f}{R})\cdot u_N=(1+\frac{R_f}{R})\cdot u_P(\mathrm{7.1.7})$$将式（7.1.6）代入，得$$u_O=(1+\frac{R_f}{R})\cdot u_I(\mathrm{7.1.8})$$上式表明 $u_O$ 与 $u_I$ 同相且 $u_O$ 大于 $u_I$。
应当指出，虽然同相比例运算电路具有高输入电阻、低输出电阻的优点，但因为集成运放有共模输入，所以为零提高运算精度，应当选用高共模抑制比的集成运放。从另一角度看，在对电路进行误差分析时，应特别注意共模信号的影响。

3、电压跟随器

在同相比例运算电路中，若将输出电压的全部反馈到反相输入端，就构成图7.1.4所示的电压跟随器。电路引入了电压串联负反馈，且反馈系数为 1。由于 $u_O=u_N=u_P$，故输出电压与输入电压的关系为$$u_O=u_I(\mathrm{7.1.9})$$理想运放的开环差模增益为无穷大，因而电压跟随器具有比射极输出器好得多的跟随特性。
集成电压跟随器具有多方面的优良性能，例如型号为 AD9620 的芯片，电压增益为 0.994，输入电阻为 0.8 MΩ，输出电阻为 40 Ω，带宽为 600 MHz，转换速率为 2000V/μs。
综上所述，对于单一信号作用的运算电路，在分析运算关系时，应首先列出关键节点的电流方程，所谓关键节点是指那些与输入电压和输出电压产生关系的节点，如 N 点和 P 点；然后根据 “虚短” 和 “虚断” 的原则，进行整理，即可得出输出电压和输入电压的运算关系。

【例7.1.1】电路如图7.1.5所示，已知 $R_2>>R_4$，$R_1=R_2$。试问：
（1）$u_O$ 与 $u_I$ 的比例系数为多少？
（2）若 $R_4$ 开路，则 $u_O$ 与 $u_I$ 的比例系数为多少？

解： 图7.1.5为 $\text{T}$ 形网络反相比例运算电路。
（1）由于 $u_N=u_P=0$$$i_2=i_1=\frac{u_I}{R_1}$$$\text{M}$ 点的电位$$u_M=-i_2{R}_2=-\frac{R_2}{R_1}{u}_I$$由于 $R_2>>R_4$，可以认为$$u_O\approx (1+\frac{R_3}{R_4})u_M$$$$u_O\approx -\frac{R_2}{R_1}(1+\frac{R_3}{R_4})u_I$$在上式中，由于 $R_1=R_2$，故 $u_O$ 与 $u_I$ 的关系为$$u_O\approx -(1+\frac{R_3}{R_4})u_I$$所以，比例系数约为 $-(1+R_3/R_4)$。
（2）若 $R_4$ 开路，则电路变为典型的反相比例运算电路，易得$$u_O=-\frac{R_2+R_3}{R_1}\cdot u_I$$由于 $R_1=R_2$，故比例系数为 $-(1+R_3/R_1)$。

【例7.1.2】电路如图7.1.6所示，已知 $u_O=-55u_I$，其余参数如图中所标注。试求出 $R_5$ 的值；并说明若 $u_I$ 与地接反，则输出电压与输入电压的关系将产生什么变化。

解： 在图7.1.6所示电路中，$A_1$ 构成同相比例运算电路，$A_2$ 构成反相比例运算电路。因此，$$u_{O1}=(1+\frac{R_2}{R_1})u_I=11u_I$$$$u_O=-\frac{R_5}{R_4}{u}_{O1}=-55u_I$$代入数据可得 $R_5=500\text{k}\Omega$。
若 $u_I$ 与地接反，则第一级变为反相比例运算电路。因此，$$u_{O1}=-\frac{R_2}{R_1}\cdot u_I=-10u_I$$由于第二级电路的比例系数仍为 -5，所以输出电压与输入电压的比例系数变为 50。
在多级运算电路的分析中，因为各级电路的输出电阻均为零，具有恒压特性，所以后级电路虽然是前级电路的负载，但是不影响前级电路的运算关系，故而对每级电路的分析和单级电路完全相同。

三、加减运算电路

实现多个输入信号按各自不同的比例求和或求差的电路统称为加减运算电路。若所有输入信号均作用于集成运放的同一个输入端，则实现加法运算；若一部分输入信号作用于同相输入端，而另一部分输入信号作用于反相输入端，则实现加减法运算。

1、求和运算电路

（1）反相求和运算电路

反相求和运算电路的多个输入信号均作用于集成运放的反相输入端，如图7.1.7所示。根据 “虚短” 和 “虚断” 的原则，$u_N=u_P=0$，节点 $\text{N}$ 的电流方程为$$i_1+i_2+i_3=i_F$$$$\frac{u_{I1}}{R_1}+\frac{u_{I2}}{R_2}+\frac{u_{I3}}{R_3}=-\frac{u_O}{R_f}$$所以 $u_O$ 的表达式为$$u_O=-R_f(\frac{u_{I1}}{R_1}+\frac{u_{I2}}{R_2}+\frac{u_{I3}}{R_3})(\mathrm{7.1.10})$$对于多输入的电路除了用上述节点电流法求解运算关系外，还可利用叠加原理，首先分别求出各输入电压单独作用时的输出电压，然后将它们相加，便得到所有信号共同作用时输出电压与输入电压的运算关系。

设 $u_{I1}$ 单独作用，此时应将 $u_{I2}$ 和 $u_{I3}$ 接地，如图7.1.8所示。由于电阻 $R_2$ 和 $R_3$ 的一端是 “地”，一端是 “虚地”，故它们的电流为零。因此，电路实现的是反向比例运算$$u_{O1}=-\frac{R_f}{R_1}{u}_{I1}$$利用同样方法，分别求出 $u_{I2}$ 和 $u_{I3}$ 单独作用时的输出 $u_{O2}$ 和 $u_{O3}$，$$u_{O2}=-\frac{R_f}{R_2}{u}_{I2}，u_{O3}=-\frac{R_f}{R_3}{u}_{I3}$$当 $u_{I1}$、$u_{I2}$ 和 $u_{I3}$ 同时作用时$$u_O=u_{O1}+u_{O2}+u_{O3}=-\frac{R_f}{R_1}{u}_{I1}-\frac{R_f}{R_2}{u}_{I2}-\frac{R_f}{R_3}{u}_{I3}$$与式（7.1.10）相同。
若 $R_1=5\text{k}\Omega$，$R_2=20\text{k}\Omega$，$R_3=50\text{k}\Omega$，$R_f=100\text{k}\Omega$，则 $u_O=-20u_{I1}-5u_{I2}-2u_{I3}$。
从反相求和运算电路的分析可知，各信号源为运算电路提供的输入电流各不相同，表明从不同的输入端看进去的等效电阻不同，即输入电阻不同。

（2）同相求和运算电路
当多个输入信号同时作用于集成运放的同相输入端时，就构成同相求和运算电路，如图7.1.9所示。

在同相比例运算电路的分析中，曾得到式（7.1.7）所示结论。因此求出图7.1.9所示电路的 $u_P$，即可得到输出电压与输入电压的运算关系。
节点 $\text{P}$ 的电流方程为$$i_1+i_2+i_3=i_4$$$$\frac{u_{I1}-u_P}{R_1}+\frac{u_{I2}-u_P}{R_2}+\frac{u_{I3}-u_P}{R_3}=\frac{u_P}{R_4}$$$$(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}+\frac{1}{R_4})u_P=\frac{u_{I1}}{R_1}+\frac{u_{I2}}{R_2}+\frac{u_{I3}}{R_3}$$所以同相输入端电位为$$u_P=R_P(\frac{u_{I1}}{R_1}+\frac{u_{I2}}{R_2}+\frac{u_{I3}}{R_3})(\mathrm{7.1.11})$$式中 $R_P=R_1//R_2//R_3//R_4$。
将式（7.1.11）代入式（7.1.7），得出$$\begin{gathered} u_O=(1+\frac{R_f}{R})\cdot R_P\cdot (\frac{u_{I1}}{R_1}+\frac{u_{I2}}{R_2}+\frac{u_{I3}}{R_3}) \\ =\frac{R+R_f}{R}\cdot \frac{R_f}{R_f}\cdot R_P\cdot (\frac{u_{I1}}{R_1}+\frac{u_{I2}}{R_2}+\frac{u_{I3}}{R_3}) \\ =R_f\cdot \frac{R_P}{R_N}\cdot (\frac{u_{I1}}{R_1}+\frac{u_{I2}}{R_2}+\frac{u_{I3}}{R_3})(\mathrm{7.1.12}) \end{gathered}$$式中 $R_N=R//R_f$。若 $R_N=R_P$，则$$u_O=R_f(\frac{u_{I1}}{R_1}+\frac{u_{I2}}{R_2}+\frac{u_{I3}}{R_3})(\mathrm{7.1.13})$$与式（7.1.10）相比，仅差符号。应当说明，只有在 $R_N//R_P$ 的条件下，式（7.1.13）才成立，否则应利用式（7.1.12）求解。若 $R//R_f=R_1//R_2//R_3$，则可省去 $R_4$。
与反相求和运算电路相同，也可用叠加原理求解同相求和运算电路的 $u_P$，可得$$u_P=\frac{R_2//R_3//R_4}{R_1+R_2//R_3//R_4}{u}_{I1}+\frac{R_1//R_3//R_4}{R_2+R_1//R_3//R_4}{u}_{I2}+\frac{R_1//R_2//R_4}{R_3+R_1//R_2//R_4}{u}_{I3}$$输出电压$$u_O=(1+\frac{R_f}{R})(\frac{R_2//R_3//R_4}{R_1+R_2//R_3//R_4}{u}_{I1}+\frac{R_1//R_3//R_4}{R_2+R_1//R_3//R_4}{u}_{I2}+\frac{R_1//R_2//R_4}{R_3+R_1//R_2//R_4}{u}_{I3})(\mathrm{7.1.14})$$虽然式中每一项的物理意义非常明确，但计算过程繁琐。
由以上分析可知，对于不同的运算电路，应选用不同的分析方法，以简化求解过程，并获得简洁的表达式。

2、加减运算电路

从对比例运算电路和求和运算电路的分析可知，输出电压与同相输入端信号电压极性相同，与反相输入端信号电压极性相反，因而如果多个信号同时作用于两个输入端时，那么必然可以实现加减运算。

图7.1.10所示为四个输入的加减运算电路，表示反相输入端各信号作用和同相输入端各信号作用的电路分别如图7.1.11(a)和(b)所示。

图（a）所示电路为反相求和运算电路，故输出电压为$$u_{O1}=-R_f(\frac{u_{I1}}{R_1}+\frac{u_{I2}}{R_2})$$图（b）所示电路为同相求和运算电路，若 $R_1//R_2//R_f=R_3//R_4//R_5$，则输出电压为$$u_{O2}=R_f(\frac{u_{I3}}{R_3}+\frac{u_{I4}}{R_4})$$因此，所有输入信号同时作用时的输出电压为$$u_O=u_{O1}+u_{O2}=R_f(\frac{u_{I3}}{R_3}+\frac{u_{I4}}{R_4}-\frac{u_{I1}}{R_1}-\frac{u_{I2}}{R_2})(\mathrm{7.1.15})$$
若电路只有两个输入，且参数对称，如图7.1.12所示，则$$u_O=\frac{R_f}{R}(u_{I2}-u_{I1})(\mathrm{7.1.16})$$电路实现了对输入差模信号的比例运算。

在使用单个集成运放构成加减运算电路时存在两个缺点，一是电阻的选取和调整不方便，二是对每个信号源的输入电阻均较小。因此，必要时可采用两级电路。例如，可用图7.1.13所示电路实现差分比例运算。第一级电路为同相比例运算电路，因而$$u_{O1}=(1+\frac{R_f}{R})u_{I1}$$利用叠加原理，第二级电路的输出$$u_O=-\frac{R_{f2}}{R_3}{u}_{O1}+(1+\frac{R_{f2}}{R_3})u_{I2}$$若 $R_1=R_{f2}$，$R_3=R_{f1}$，则$$u_O=(1+\frac{R_{f2}}{R_3})(u_{I2}-u_{I1})(\mathrm{7.1.17})$$从电路的组成可以看出，无论对于 $u_{I1}$，还是对于 $u_{I2}$，均可认为输入电阻为无穷大。

【例7.1.3】设计一个运算电路，要求输出电压和输入电压的运算关系式为 $u_O=10u_{I1}-5u_{I2}-4u_{I3}$。
解： 根据已知的运算关系式可知，当采用单个集成运放构成电路时，$u_{I1}$ 应作用于同相输入端，而 $u_{I2}$ 和 $u_{I3}$ 应作用于反相输入端，如图7.1.14所示

选取 $R_f=100\text{k}\Omega$，若 $R_3//R_2//R_f=R_1//R_4$，则$$u_O=R_f(\frac{u_{I1}}{R_1}-\frac{u_{I2}}{R_2}-\frac{u_{I3}}{R_3})$$因为 $R_f/R_1=10$，故 $R_1=10\text{k}\Omega$；因为 $R_f/R_2=5$，故 $R_2=20\text{k}\Omega$；因为 $R_f/R_3=4$，故 $R_3=25\text{k}\Omega$。$$\frac{1}{R_4}=\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}+\frac{1}{R_f}-\frac{1}{R_1}=0\text{k}{\Omega }^{-1}$$故可省去 $R_4$。所设计电路如图7.1.15所示。

四、积分运算电路和微分运算电路

积分运算和微分运算互为逆运算。在自控系统中，常用积分电路和微分电路作为调节环节；此外，它们还广泛应用于波形的产生和变换，以及仪器仪表之中。以集成运放作为放大电路，利用电阻和电容作为反馈网络，可以实现这两种运算电路。

1、积分运算电路

在图7.1.6所示积分运算电路中，由于集成运放的同相输入端通过 $R^{\prime }$ 接地，$u_P=u_N=0$，为 “虚地”。

电路中，电容 $C$ 中电流等于电阻 $R$ 中电流$$i_C=i_R=\frac{u_I}{R}$$输出电压与电容上电压的关系为$$u_O=-u_C$$由于电容两端电压和电流的关系为 $i_C=C\frac{\text{d}{u}_C}{\text{d}t}$，所以图7.1.16中电容上电压等于其电流的积分，故$$u_O=-\frac{1}{C}\int i_C\text{d}t=-\frac{1}{RC}\int u_I\text{d}t(\mathrm{7.1.18})$$在求解 $t_1$ 到 $t_2$ 时间段的积分值时$$u_O=-\frac{1}{RC}{\int }_{t_1}^{t_2}{u}_I\text{d}t+u_O(t_1)(\mathrm{7.1.19})$$式中 $u_O(t_1)$ 为积分起始时刻的输出电压，即积分运算的起始值，积分的终值是 $t_2$ 时刻的输出电压。
当 $u_I$ 为常量时，输出电压$$u_O=\frac{1}{RC}{u}_I(t_2-t_1)+u_O(t_1)(\mathrm{7.1.20})$$当输入为阶跃信号时，若 $t_0$ 时刻电容上的电压为零，则输出电压波形如图7.1.17(a)所示。当输入为方波和正弦波时，输出电压波形分别如图（b）和（c）所示。可见，利用积分运算电路可以实现方波 - 三角波的波形变换和正弦 - 余弦的移相功能。

在实用电路中，为了防止低频信号增益过大，常在电容上并联一个电阻加以限制，防止电容充满电进入饱和状态，会影响电路的速度。如图7.1.16中虚线所示。

2、微分运算电路

（1）基本微分运算电路
若将图7.1.16所示电路中电阻 $R$ 和电容 $C$ 的位置互换，则得到基本微分运算电路，如图7.1.18所示。

根据 “虚短” 和 “虚断” 的原则，$u_P=u_N=0$，为 “虚地”，电容两端电压 $u_C=u_I$。因而$$i_R=i_C=C\frac{\text{d}{u}_C}{\text{d}t}$$输出电压$$u_O=-i_{R}R=-RC\frac{\text{d}{u}_C}{\text{d}t}(\mathrm{7.1.21})$$输出电压与输入电压的变化率成比例。

（2）实用微分运算电路
在图7.1.18所示电路中，无论是输入电压产生阶跃变化，还是脉冲式大幅值干扰，都会使得集成运放内部的放大管进入饱和或截止状态，以至于即使信号消失，管子还不能脱离原状态回到放大区，出现阻塞现象，电路不能正常工作；同时，由于反馈网络为滞后环节，它与集成运放内部的滞后环节相叠加，易于满足自激振荡的条件，从而使电路不稳定。
为了解决上述问题，可在输入端串联一个小阻值的电阻 $R_1$，以限制输入电流，也就限制了 $R$ 中电流；在反馈电阻 $R$ 上并联稳压二极管，以限制输出电压幅值，以保证集成运放中的放大管始终工作在放大区，不至于出现阻塞现象；在 $R$ 上并联小容量电容 $C_1$，起相位补偿作用，提高电路的稳定性；如图7.1.19所示。该电路的输出电压与输入电压成近似微分关系。若输入电压为方波，且 $RC<<\frac{T}{2}$（ $\text{T}$ 为方波的周期），则输出为尖顶波，如图7.1.20所示。
（3）逆函数型微分运算电路

若将积分运算电路作为反馈回路，则可得到微分运算电路，如图7.1.21所示。为了保证电路引入的是负反馈，使 $A_2$ 的输出电压 $u_{O2}$ 与输入电压 $u_I$ 极性相反，$u_I$ 应加在 $A_1$ 的同相输入端一边。
在图7.1.21所示电路中，$i_1=i_2$，即$$\frac{u_I}{R_1}=-\frac{u_{O2}}{R_2}$$$$u_{O2}=-\frac{R_2}{R_1}\cdot u_I$$根据积分运算电路的运算关系可知$$u_{O2}=-\frac{1}{R_{3}C}\int u_O\text{d}t$$因此$$-\frac{R_2}{R_1}{u}_I=-\frac{1}{R_{3}C}\int u_O\text{d}t$$从而得到输出电压的表达式为$$u_O=\frac{R_2{R}_{3}C}{R_1}\cdot \frac{\text{d}{u}_I}{\text{d}t}(\mathrm{7.1.22})$$利用积分运算电路来实现微分运算的方法具有普遍意义。例如，采用乘法运算电路作为集成运放的反馈通路，便可实现除法运算；采用乘方运算电路作为集成运放的反馈通路，便可以实现开放运算；等等。与一般运算电路一样，利用逆运算的方法组成运算电路时，引入的必须是负反馈。

【例7.1.4】电路如图7.1.22所示，$C_1=C_2=C$。试求出 $u_O$ 与 $u_I$ 的运算关系式。
解： 根据 “虚短” 和 “虚断” 的原则，在结点 $\text{N}$ 上，电流方程为$$i_1=i_{C1}$$$$-\frac{u_N}{R}=C\frac{\text{d}(u_N-u_O)}{\text{d}t}=C\frac{\text{d}{u}_N}{dt}-C\frac{\text{d}{u}_O}{\text{d}t}$$$$C\frac{\text{d}{u}_O}{\text{d}t}=C\frac{\text{d}{u}_N}{\text{d}t}+\frac{u_N}{R}$$在结点 $\text{P}$ 上，电流方程为$$i_2=i_{C2}$$$$\frac{u_I-u_P}{R}=C\frac{\text{d}{u}_P}{\text{d}t}$$$$\frac{u_I}{R}=C\frac{\text{d}{u}_P}{\text{d}t}+\frac{u_P}{R}$$因为 $u_P=u_N$，所以$$C\frac{\text{d}{u}_O}{\text{d}t}=\frac{u_I}{R}$$$$u_O=\frac{1}{RC}\int u_I\text{d}t$$在 $t_1\sim t_2$ 时间段中，$u_O$ 的表达式为$$u_O=\frac{1}{RC}{\int }_{t_1}^{t_2}{u}_I\text{d}t+u_O(t_1)$$电路实现了同相积分运算。

【例7.1.5】在自动控制系统中，常采用如图7.1.23所示的 PID（Proportional Integtal Differential）调节器，试分析输出电压与输入电压的运算关系式。解： 根据 “虚短” 和 “虚断” 的原则，$u_P=u_N=0$，为 “虚地”。$\text{N}$ 点的电流方程为$$i_F=i_{C1}+i_1$$$$i_{C1}=C_1\frac{\text{d}{u}_I}{\text{d}t}，i_1=\frac{u_I}{R_1}$$$$u_O=-(u_{R2}+u_{C2})$$而$$u_{R2}=i_F{R}_2=\frac{R_2}{R_1}{u}_I+R_2{C}_1\frac{\text{d}{u}_I}{\text{d}t}$$$$\begin{gathered} u_{C2}=\frac{1}{C_2}\int i_F\text{d}t=\frac{1}{C_2}\int (C_1\frac{\text{d}{u}_I}{\text{d}t}+\frac{u_I}{R_1})\text{d}t \\ =\frac{C_1}{C_2}{u}_I+\frac{1}{R_1{C}_2}\int u_I\text{d}t \end{gathered}$$所以$$u_O=-(\frac{R_2}{R_1}+\frac{C_1}{C_2})u_I-R_2{C}_1\frac{\text{d}{u}_I}{\text{d}t}-\frac{1}{R_1{C}_2}\int u_I\text{d}t$$因电路中含有比例、积分和微分运算，故称之为 PID 调节器。
当 $R_2=0$ 时，电路只有比例和积分运算部分，称为 PI 调节器；当 $C_2=0$ 时，电路只有比例和微分运算部分，称为 PD 调节器；根据控制中的不同需要，采用不同的调节器。

五、对数运算电路和指数运算电路

利用 PN 结伏安特性所具有的指数规律，将二极管或三极管分别接入集成运放的反馈回路和输入回路，可以实现对数运算和指数运算，而利用对数运算、指数运算和加减运算电路相组合，便可实现乘法、除法、乘方和开方等运算。

1、对数运算电路

（1）采用二极管的对数运算电路

图7.1.24所示为采用二极管的对数运算电路，为使二极管导通，输入电压 $u_I$ 应大于零。根据半导体基础知识可知，二极管的正向电流与其端电压的近似关系为$$i_D\approx I_S{e}^{\frac{u_D}{U_T}}$$因而$$u_D\approx U_T\ln \frac{i_D}{I_S}$$由于 $u_P=u_N=0$，为 “虚地”，$$i_D=i_R=\frac{u_I}{R}$$根据以上分析可得输出电压$$u_O=-u_D\approx -U_T\ln \frac{u_I}{I_{S}R}(\mathrm{7.1.23})$$上式表明，运算关系与 $U_T$ 和 $I_S$ 有关，因而运算精度受温度的影响；而且，二极管在电流较小时内部载流子的复合运动不可忽略，在电流较大时内阻不可忽略；所以，仅在一定的电流范围才满足指数特性。为了扩大输入电压的动态范围，实用电路中常用三极管取代二极管。

（2）利用晶体三极管的对数运算电路

利用晶体三极管的对数运算电路如图7.1.25所示，由于集成运放的反相输入端为虚地，结点方程为$$i_C=i_R=\frac{u_I}{R}$$在忽略晶体管基区体电阻压降且认为晶体管的共基电路放大系数 $\alpha \approx 1$ 的情况下，若 $u_{BE}>>U_T$，则$$i_C=\alpha i_E\approx I_S{e}^{\frac{u_{BE}}{U_T}}$$$$u_{BE}\approx U_T\ln \frac{i_C}{I_S}$$输出电压$$u_O=-u_{BE}\approx -U_T\ln \frac{u_I}{I_{S}R}$$与式（7.1.23）相同。和二极管构成的对数运算电路一样，运算关系仍受温度的影响，而且在输入电压较小和较大情况下，运算精度变差。
在设计实用的对数运算电路时，人们总要采用一定的措施，用来减小 $I_S$ 对运算关系的性影响。

（3）集成对数运算电路
在集成对数运算电路中，根据差分电路的基本原理，利用特性相同的两只晶体管进行补偿，消去 $I_S$ 对运算关系的影响。型号为 ICL8048 的对数运算电路如图7.1.26所示，点划线框内为集成电路，框外为外接电阻。

电路分析的思路是：欲知 $u_O$ 需知 $u_{P2}$，而根据图中所标注的电压方向，$u_{P2}=u_{BE2}-u_{BE1}$；因为 $u_{BE2}$ 与 $I_R$ 成对数关系，$u_{BE1}$ 与 $i_I$ 呈对数关系，而 $i_I$ 与 $u_I$ 呈线性关系，故可求出 $u_O$ 与 $u_I$ 的运算关系。
结点 ${\text{N}}_1$ 的电流方程为$$i_{C1}=i_I=\frac{u_I}{R_3}\approx I_S{e}^{\frac{u_{BE1}}{U_T}}$$因而$$u_{BE1}\approx U_T\ln \frac{u_I}{I_S{R}_3}$$结点 ${\text{P}}_2$ 的电流方程为$$i_{C2}=I_R\approx I_S{e}^{\frac{u_{BE2}}{U_T}}$$因而$$u_{BE2}\approx U_T\ln \frac{I_R}{I_S}$$${\text{P}}_2$ 点的电位为$$u_P=u_{BE2}-u_{BE1}\approx -U_T\ln \frac{u_I}{I_R{R}_3}$$$u_P=u_N$，因而输出电压 $$u_O\approx -(1+\frac{R_2}{R_5})U_T\ln \frac{u_I}{I_R{R}_3}(\mathrm{7.1.24})$$若外接电阻 $R_5$ 为热敏电阻，则可补偿 $U_T$ 的温度特性。$R_5$ 应具有正温度系数，当环境温度升高时，$R_5$ 阻值增大，使得放大倍数 $(1+R_2/R_5)$ 减小，以补偿 $U_T$ 的增大，使 $u_O$ 在 $u_I$ 不变时基本不变。

2、指数运算电路

（1）将图7.1.25所示对数运算电路中的电阻和晶体管互换，便可得到指数运算电路，如图7.1.27所示。
因为集成运放反相输入端为 “虚地”，所以$$u_{BE}=u_I$$$$i_R=i_E\approx I_S{e}^{\frac{u_I}{U_T}}$$输出电压$$u_O=-i_{R}R=-I_S{e}^{\frac{u_I}{U_T}}R(\mathrm{7.1.25})$$为使晶体管导通，$u_I$ 应大于零，且只能在发射结导通电压范围内，故其变化范围很小。同时，从式（7.1.25）可以看出，由于运算结果与受温度影响较大的 $I_S$ 有关，因而指数运算的精度也与温度有关。

（2）集成指数运算电路
在集成指数运算电路中，采用了类似集成对数运算电路的方法，利用两只双极型晶体管特性的对称性，消除 $I_S$ 对运算关系的影响；并且，采用热敏电阻补偿 $U_T$ 的变化；电路如图7.1.28所示。
在忽略 $T_1$ 管基极电流的情况下，$\text{P}$ 点的电位$$u_P\approx \frac{R_3}{R_1+R_3}\cdot u_I$$$T_1$ 管的集电极电流$$i_{C1}=I_{REF}\approx I_S{e}^{\frac{u_{BE1}}{U_T}}$$$\text{E}$ 点电位$$u_E=u_P-u_{BE1}=-u_{BE2}$$$$u_{BE2}=-u_P+u_{BE1}$$输出电压$$u_O=i_{C2}{R}_f=I_S{e}^{\frac{u_{BE2}}{U_T}}{R}_f=I_S{e}^{\frac{u_{BE1}}{U_T}}{e}^{-\frac{R_3}{R_1+R_3}\cdot \frac{u_I}{U_T}}{R}_f$$ $$u_O=I_{REF}{e}^{-\frac{R_3}{R_1+R_3}\cdot \frac{u_I}{U_T}}{R}_f(\mathrm{7.1.26})$$

六、利用对数和指数运算电路实现的乘法运算电路和除法运算电路

利用对数和指数运算电路实现的乘法运算电路的方框图如图7.1.29所示，具体电路如图7.1.30所示。


在图7.1.30所示电路中$$u_{O1}\approx -U_T\ln \frac{u_{I1}}{I_{S}R}$$$$u_{O2}\approx -U_T\ln \frac{u_{I2}}{I_{S}R}$$为了满足指数运算电路输入电压的幅值要求，求和运算电路的系数为 1，故$$u_{O3}=-(u_{O1}+u_{O2})\approx U_T\ln \frac{u_{I1}{u}_{I2}}{(I_{S}R{)}^2}$$$$u_O\approx -I_{S}R{e}^{\frac{u_{O3}}{U_T}}\approx -\frac{u_{I1}{u}_{I2}}{I_{S}R}(\mathrm{7.1.27})$$若将图7.1.29和图7.1.30所示电路中的求和运算电路换为求差（差分）运算电路，则可实现除法运算电路。