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首先要了解的一点基础知识：

三角函数系

{ sin ⁡ 0 , cos ⁡ 0 , sin ⁡ x , cos ⁡ x , sin ⁡ 2 x , cos ⁡ 2 x , … , sin ⁡ n x , cos ⁡ n x , …   } \left \{ \sin 0,\cos 0,\sin x,\cos x,\sin 2x, \cos 2x, \dots,\sin nx,\cos nx,\dots \right \} {sin0,cos0,sinx,cosx,sin2x,cos2x,…,sinnx,cosnx,…}
一般常见的是下面这种
{ 1 , sin ⁡ x , cos ⁡ x , sin ⁡ 2 x , cos ⁡ 2 x , … , sin ⁡ n x , cos ⁡ n x , …   } \left \{ 1, \sin x,\cos x,\sin 2x, \cos 2x, \dots,\sin nx,\cos nx,\dots \right \} {1,sinx,cosx,sin2x,cos2x,…,sinnx,cosnx,…}

正交

三角函数正交性，上面每个元素项和其他项（非自身）的乘积的积分为零
$$\{\begin{array}{c}{\int }_{-\pi }^{\pi }\sin nx\cos mx\mathrm{d}t=0,n\ne m\\ {\int }_{-\pi }^{\pi }\sin mx\cos nx\mathrm{d}t=0,m\ne n\end{array}$$

证明

图观法

直接画出两个乘积后的图像，如下（ $\sin xsin2x$） 的曲线， 积分区间也就是图像围成的面积和，可以直接观察下图1面积为零。

图1
如下（ $\sin 2xsin2x$） 的曲线， 面积和不为零。

图2

数学证明法

首先下面一些基础式子要用到。
积化和差
$$\begin{gathered} \sin a\sin b=\frac{1}{2}\left[\cos \left(a-b\right)-\cos \left(a+b\right)\right] \\ \cos a\cos b=\frac{1}{2}\left[\cos \left(a-b\right)+\cos \left(a+b\right)\right] \end{gathered}$$

积分公式
$$\int \cos \theta \mathrm{d}\theta =\sin \theta +\mathrm{C}$$

基本式子

$$\begin{array}{l}f(x)=\int \cos \left(n-m\right)x\mathrm{d}x\\ \text{令：}\theta =(n-m)x,x=\frac{\theta }{n-m}\\ f(x)=\int \cos \theta \mathrm{d}\theta \frac{1}{n-m}\\ =\frac{1}{n-m}\sin \theta +\mathrm{C}\\ \text{回代}\theta \\ =\frac{1}{n-m}\sin (n-m)x+\mathrm{C}\end{array}$$

计算

当 n不等于m

$$\begin{array}{l}f(x)={\int }_{-\pi }^{\pi }\cos nx\cos mx\mathrm{d}x,\text{当}n\ne m\\ =\frac{1}{2}[{\int }_{-\pi }^{\pi }\cos (n-m)x\mathrm{d}x+{\int }_{-\pi }^{\pi }\cos (n+m)x\mathrm{d}x]\\ =\frac{1}{2}[\frac{1}{n-m}\sin (n-m)x{|}_{-\pi }^{\pi }+\frac{1}{n-m}\sin (n+m)x{|}_{-\pi }^{\pi }]\\ =\frac{1}{2}[0+0]\\ =0\end{array}$$

当 n等于m（重点）

这个结果很重要，后面会用到。
$$\begin{array}{l}f(x)={\int }_{-\pi }^{\pi }\cos nx\cos mx\mathrm{d}x,\text{当}n=m\\ =\frac{1}{2}[{\int }_{-\pi }^{\pi }\cos (n-m)x\mathrm{d}x+{\int }_{-\pi }^{\pi }\cos (n+m)x\mathrm{d}x]\\ \text{令}m=n\\ =\frac{1}{2}[{\int }_{-\pi }^{\pi }\cos (n-n)x\mathrm{d}x+{\int }_{-\pi }^{\pi }\cos (n+n)x\mathrm{d}x]\\ =\frac{1}{2}[{\int }_{-\pi }^{\pi }1\mathrm{d}x+{\int }_{-\pi }^{\pi }\cos 2nx\mathrm{d}x]\\ \text{根据上面正交性加号后面为0}\\ =\frac{1}{2}[2\pi +0]\\ =\pi \end{array}$$

其它同理

更多视频参考：

https://www.bilibili.com/video/BV17t411d7hm/?spm_id_from=333.1391.0.0&vd_source=d45742076f53438671ec261bbacb2002

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—————— 但行好事莫问前程，你若盛开蝴蝶自来