softmax回归的简洁实现

我们发现(通过深度学习框架的高级API能够使实现)(softmax)线性(回归变得更加容易)。
同样，通过深度学习框架的高级API也能更方便地实现softmax回归模型。
本节继续使用Fashion-MNIST数据集，并保持批量大小为256。

import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l

初始化模型参数

[softmax回归的输出层是一个全连接层]。
因此，为了实现我们的模型，我们只需在Sequential中添加一个带有10个输出的全连接层。
同样，在这里Sequential并不是必要的，但它是实现深度模型的基础。
我们仍然以均值0和标准差0.01随机初始化权重。

'''
PyTorch不会隐式地调整输入的形状。
因此，我们在线性层前定义了展平层（flatten），来调整网络输入的形状
'''
net = nn.Sequential(nn.Flatten(), nn.Linear(784, 10))


def init_weights(m):
    if type(m) == nn.Linear:
        nn.init.normal_(m.weight, std=0.01)

net.apply(init_weights);

• nn.Sequential：
  这是 PyTorch 里的一个容器模块，
  其功能是按顺序依次排列多个神经网络层。
  在执行前向传播时，输入数据会依照层的先后顺序依次通过各个层。
• nn.Flatten()：
  该层的主要作用是把输入的多维张量展平为一维张量。
  方便后续输入到全连接层。
• nn.Linear(784, 10)：
  这是一个全连接层（线性层）。
  全连接层会对输入的 784 维向量进行线性变换，输出一个 10 维的向量。
• net.apply(init_weights)：
  apply 是 nn.Module 类的一个方法，它会递归地把指定的函数（这里是 init_weights）应用到 net 网络的每一个子模块上。也就是说，对于 net 中的每个子层，都会调用 init_weights 函数进行权重初始化。

重新审视Softmax的实现

在前面例子中，我们计算了模型的输出，然后将此输出送入交叉熵损失。

从数学上讲，这是一件完全合理的事情。

然而，从计算角度来看，指数可能会造成数值稳定性问题。

回想一下，
softmax函数${\hat{y}}_j=\frac{\exp (o_j)}{{\sum }_k\exp (o_k)}$，
其中${\hat{y}}_j$是预测的概率分布。$o_j$是未规范化的预测$\mathbf{o}$的第$j$个元素。如果$o_k$中的一些数值非常大，那么$\exp (o_k)$可能大于数据类型容许的最大数字，即上溢（overflow）。
这将使分母或分子变为inf（无穷大），
最后得到的是0、inf或nan（不是数字）的${\hat{y}}_j$。
在这些情况下，我们无法得到一个明确定义的交叉熵值。

解决这个问题的一个技巧是：
在继续softmax计算之前，先从所有$o_k$中减去$\max (o_k)$。
这里可以看到每个$o_k$按常数进行的移动不会改变softmax的返回值：

$$\begin{array}{rl}{\hat{y}}_j& =\frac{\exp (o_j-\max (o_k))\exp (\max (o_k))}{{\sum }_k\exp (o_k-\max (o_k))\exp (\max (o_k))}\\ & =\frac{\exp (o_j-\max (o_k))}{{\sum }_k\exp (o_k-\max (o_k))}.\end{array}$$

在减法和规范化步骤之后，可能有些$o_j-\max (o_k)$具有较大的负值。
由于精度受限，$\exp (o_j-\max (o_k))$将有接近零的值，即下溢（underflow）。
这些值可能会四舍五入为零，使${\hat{y}}_j$为零，
并且使得$\log ({\hat{y}}_j)$的值为-inf。
反向传播几步后，我们可能会发现自己面对一屏幕可怕的nan结果。

尽管我们要计算指数函数，但我们最终在计算交叉熵损失时会取它们的对数。
通过将softmax和交叉熵结合在一起，可以避免反向传播过程中可能会困扰我们的数值稳定性问题。
如下面的等式所示，我们避免计算$\exp (o_j-\max (o_k))$，
而可以直接使用$o_j-\max (o_k)$，因为$\log (\exp (\cdot ))$被抵消了。

$$\begin{array}{rl}\log ({\hat{y}}_j)& =\log \left(\frac{\exp (o_j-\max (o_k))}{{\sum }_k\exp (o_k-\max (o_k))}\right)\\ & =\log (\exp (o_j-\max (o_k)))-\log \left(\sum _k\exp (o_k-\max (o_k))\right)\\ & =o_j-\max (o_k)-\log \left(\sum _k\exp (o_k-\max (o_k))\right).\end{array}$$

我们也希望保留传统的softmax函数，以备我们需要评估通过模型输出的概率。
但是，我们没有将softmax概率传递到损失函数中，
而是[在交叉熵损失函数中传递未规范化的预测，并同时计算softmax及其对数]，
这是一种类似"LogSumExp技巧"的聪明方式。

loss = nn.CrossEntropyLoss(reduction='none')

• nn.CrossEntropyLoss
  nn.CrossEntropyLoss 是 PyTorch 中用于计算交叉熵损失的类。
  在分类问题中，它结合了 nn.LogSoftmax() 和 nn.NLLLoss() 两个操作，适用于多分类任务。其输入通常是模型的原始输出（未经过 Softmax 激活函数处理）和真实标签。
• reduction=‘none’
  reduction 是 nn.CrossEntropyLoss 类的一个重要参数，它控制着如何对每个样本的损失进行汇总，具体有以下几种取值：
  • 'none'：不进行任何汇总操作，直接返回每个样本的损失值，返回的结果是一个与输入样本数量相同的张量。
  • 'mean'：（默认值）对每个样本的损失求平均值，返回一个标量值。
  • 'sum'：对每个样本的损失求和，返回一个标量值。

优化算法

在这里，我们(使用学习率为0.1的小批量随机梯度下降作为优化算法)。
这与我们在线性回归例子中的相同，这说明了优化器的普适性。

trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=0.1)

net.parameters() 是一个生成器，它会返回模型中所有需要学习的参数（如权重和偏置）。这些参数会被传递给优化器，以便优化器在训练过程中对它们进行更新。
torch.optim.SGD 是 PyTorch 中实现随机梯度下降优化算法的类。它接受模型的参数和一些超参数作为输入，用于更新模型的参数。

训练

接下来我们[调用] 之前(定义的训练函数来训练模型)。

num_epochs = 10
d2l.train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, trainer)