机器学习（3）：逻辑回归

1 介绍

逻辑回归（Logistic Regression）是一种广泛应用于分类问题的监督学习算法。尽管名字中含有“回归”二字，但这并不意味着它用于解决回归问题。相反，逻辑回归专注于解决二元或多元分类问题，如邮件是垃圾邮件还是非垃圾邮件，一个交易是欺诈还是合法等。

逻辑回归源于统计学，旨在模拟一个因变量和一个或多个自变量之间的关系。与线性回归不同，逻辑回归并不直接预测数值，而是估计样本属于某一类别的概率。这通常通过Sigmoid函数（或对数几率函数）来实现，该函数能够将任何实数映射到0和1之间。

逻辑回归的算法实现通常基于最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation, MLE），这是一种针对模型参数进行估计的优化算法。通过优化损失函数，算法试图找到最有可能解释观测数据的模型参数。

虽然逻辑回归在许多方面都很优秀，但它也有其局限性。例如，它假定因变量和自变量之间存在线性关系，这在某些复杂场景下可能不成立。然而，通过特征工程和正则化等手段，这些问题往往可以得到缓解。

总体而言，逻辑回归是机器学习领域中不可或缺的工具，其背后的数学原理和实际应用都值得深入研究。通过本文，我们将深入探讨逻辑回归的各个方面，以期提供一个全面、深入且易于理解的视角。

2 概念

逻辑回归是一种针对分类问题的监督学习模型。它起源于统计学，尤其是当我们希望预测一个二元输出时，逻辑回归成为一个非常实用的工具。

2.1 从线性回归到逻辑回归

逻辑回归的思想是基于线性回归的，但有几个关键的不同点。在线性回归中，我们试图拟合一个线性方程来预测一个连续的输出值。然而，在逻辑回归中，我们不是直接预测输出值，而是预测输出值属于某一特定类别的概率。

假设我们有一个用于检测某种疾病（如糖尿病）的医学测试。在这种情况下，线性回归可能会预测一个人患疾病的程度或严重性。但逻辑回归更进一步：它会预测一个人患疾病的概率，并根据这个概率进行分类——例如，概率大于0.5则判断为阳性。

2.2 Sigmoid 函数

逻辑回归中最关键的组成部分是 Sigmoid（或称为 logistic）函数。这个函数接受任何实数作为输入，并将其映射到0和1之间，使其可以解释为概率。

考虑一个学生根据其考试成绩被大学录取的例子。线性回归可能会直接预测录取概率，但数值可能会超过[0,1]的范围。通过使用 Sigmoid 函数，我们可以确保预测值始终在合适的范围内。

2.3 损失函数

在逻辑回归中，最常用的损失函数是交叉熵损失（Cross-Entropy Loss）。该损失函数度量模型预测的概率分布与真实概率分布之间的差距。

假设我们正在构建一个垃圾邮件过滤器。对于每封邮件，模型会预测这封邮件是垃圾邮件的概率。如果一封实际上是垃圾邮件（y=1）的邮件被预测为非垃圾邮件（yhat约等于0），损失函数的值会非常高，反之亦然。

2.4 优点与局限性

优点

解释性强：逻辑回归模型易于理解和解释。
计算效率：模型简单，训练和预测速度快。
概率输出：提供预测类别的概率，增加了解释性。

局限性

线性边界：逻辑回归假设数据是线性可分的，这在某些复杂场景下可能不成立。
特征选择：逻辑回归对于不相关的特征和特征之间的相互作用比较敏感。

3 原理

理解逻辑回归背后的数学原理是掌握这一算法的关键，包括概率模型、损失函数优化和特征选择。

3.1 概率模型

想象你正在开发一个用于检测信用卡欺诈交易的模型。在这种情况下，(X) 可能包括交易金额、地点、时间等特征，模型会输出这笔交易是欺诈交易的概率。

3.2 损失函数与最大似然估计

最常用于逻辑回归的损失函数是交叉熵损失。这其实是最大似然估计（MLE）在逻辑回归中的具体应用。

假设你正在构建一个电子邮件分类器来区分垃圾邮件和正常邮件。使用交叉熵损失函数，你可以通过最大化似然函数来“教”模型如何更准确地进行分类。

3.3 梯度下降优化

虽然逻辑回归通常不用于回归问题，但梯度下降的优化算法在很多其他类型的问题中也是通用的。例如，在预测股票价格时，同样可以使用梯度下降来优化模型参数。

3.4 特征选择与正则化

特征选择在逻辑回归中非常重要，因为不相关或冗余的特征可能会导致模型性能下降。正则化是一种用于防止过拟合的技术，常见的正则化方法包括 L1 正则化和 L2 正则化。

在房价预测模型中，可能有很多相关和不相关的特征，如面积、地段、周围学校数量等。通过使用正则化，你可以确保模型在拟合这些特征时不会过于复杂，从而提高模型的泛化能力。

4 python 实现

4.1 导入必要库

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.datasets import load_iris
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
from sklearn.metrics import accuracy_score, confusion_matrix, classification_report

4.2 加载数据集

我们将使用 Scikit-learn 自带的 Iris 数据集。Iris 数据集包含 150 个样本，每个样本有 4 个特征，目标是将样本分为 3 类。为了简化问题，我们只使用前两个特征，并将问题转化为二分类问题。

# 加载数据集
iris = load_iris()
X = iris.data[:, :2]  # 只使用前两个特征
y = (iris.target != 0) * 1  # 将目标转化为二分类问题

# 划分训练集和测试集
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.3, random_state=42)

4.3 训练逻辑回归模型

# 创建逻辑回归模型
model = LogisticRegression()

# 训练模型
model.fit(X_train, y_train)

4.4 模型评估

# 预测测试集
y_pred = model.predict(X_test)

# 计算准确率
accuracy = accuracy_score(y_test, y_pred)
print(f"模型准确率: {accuracy:.2f}")

# 混淆矩阵
conf_matrix = confusion_matrix(y_test, y_pred)
print("混淆矩阵:")
print(conf_matrix)

# 分类报告
class_report = classification_report(y_test, y_pred)
print("分类报告:")
print(class_report)

4.5 可视化决策边界

# 可视化决策边界
x_min, x_max = X[:, 0].min() - 1, X[:, 0].max() + 1
y_min, y_max = X[:, 1].min() - 1, X[:, 1].max() + 1
xx, yy = np.meshgrid(np.arange(x_min, x_max, 0.01),
                     np.arange(y_min, y_max, 0.01))

Z = model.predict(np.c_[xx.ravel(), yy.ravel()])
Z = Z.reshape(xx.shape)

plt.contourf(xx, yy, Z, alpha=0.8)
plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], c=y, edgecolors='k', marker='o')
plt.xlabel('Sepal length')
plt.ylabel('Sepal width')
plt.title('Logistic Regression Decision Boundary')
plt.show()