二叉搜索树的概念
如图所示，二叉搜索树（binary search tree）满足以下条件。
- 对于根节点，左子树中所有节点的值 < 根节点的值 < 右子树中所有节点的值。
- 任意节点的左、右子树也是二叉搜索树，即同样满足条件
1.。
二叉搜索树的操作
我们将二叉搜索树封装为一个类 BinarySearchTree ，并声明一个成员变量 root ，指向树的根节点。
1.查找节点
给定目标节点值 num ，可以根据二叉搜索树的性质来查找。如图 7-17 所示，我们声明一个节点 cur ，从二叉树的根节点 root 出发，循环比较节点值 cur.val 和 num 之间的大小关系。
- 若
cur.val < num，说明目标节点在cur的右子树中，因此执行cur = cur.right。 - 若
cur.val > num，说明目标节点在cur的左子树中，因此执行cur = cur.left。 - 若
cur.val = num，说明找到目标节点，跳出循环并返回该节点。
二叉搜索树的查找操作与二分查找算法的工作原理一致，都是每轮排除一半情况。循环次数最多为二叉树的高度，当二叉树平衡时，使用 O(logn) 时间。示例代码如下：
// 查找元素
bool search(Node* root, int key) {
while (root != NULL) {
if (root->data == key) {
return true;
}
else if (root->data > key) {
root = root->left;
}
else {
root = root->right;
}
}
return false;
}2.插入节点
给定一个待插入元素 num ，为了保持二叉搜索树“左子树 < 根节点 < 右子树”的性质，插入操作流程如图所示。
- 查找插入位置：与查找操作相似，从根节点出发，根据当前节点值和
num的大小关系循环向下搜索，直到越过叶节点（遍历至None）时跳出循环。 - 在该位置插入节点：初始化节点
num，将该节点置于None的位置。
在代码实现中，需要注意以下两点。
- 二叉搜索树不允许存在重复节点，否则将违反其定义。因此，若待插入节点在树中已存在，则不执行插入，直接返回。
- 为了实现插入节点，我们需要借助节点
pre保存上一轮循环的节点。这样在遍历至None时，我们可以获取到其父节点，从而完成节点插入操作。
// 插入数据
void insert(int key) {
Node* temp = root; // 用于遍历
Node* prev = NULL; // 指向temp的前一节点
while (temp != NULL) {
prev = temp;
if (temp->data > key) {
temp = temp->left;
}
else if (temp->data < key) {
temp = temp->right;
}
else {
return;
}
}
Node* newNode = (Node*)malloc(sizeof(Node));
newNode->data = key;
newNode->left = NULL;
newNode->right = NULL;
if (key > prev->data) {
prev->right = newNode;
}
else {
prev->left = newNode;
}
}3.删除节点
先在二叉树中查找到目标节点，再将其删除。与插入节点类似，我们需要保证在删除操作完成后，二叉搜索树的“左子树 < 根节点 < 右子树”的性质仍然满足。因此，我们根据目标节点的子节点数量，分 0、1 和 2 三种情况，执行对应的删除节点操作。
如图所示，当待删除节点的度为 0 时，表示该节点是叶节点，可以直接删除。
当待删除节点的度为 1 时，将待删除节点替换为其子节点即可。
当待删除节点的度为 2 时，我们无法直接删除它，而需要使用一个节点替换该节点。由于要保持二叉搜索树“左子树 < 根节点 < 右子树”的性质，因此这个节点可以是右子树的最小节点或左子树的最大节点。
假设我们选择右子树的最小节点（中序遍历的下一个节点），则删除操作流程如图所示。
- 找到待删除节点在“中序遍历序列”中的下一个节点，记为
tmp。 - 用
tmp的值覆盖待删除节点的值，并在树中递归删除节点tmp。
删除节点操作同样使用 O(logn) 时间，其中查找待删除节点需要 O(logn) 时间，获取中序遍历后继节点需要 O(logn) 时间。示例代码如下：
// 删除元素
void delete(Node** root, int key) {
Node* temp = *root; // 用于遍历二叉树
Node* parent = NULL; // 指向待删除节点的父节点
// 寻找待删除节点以及其父节点
while (temp != NULL && temp->data != key) {
parent = temp;
if (key < temp->data) {
temp = temp->left;
}
else {
temp = temp->right;
}
}
// 如果没有找到该节点，直接返回
if (temp == NULL) {
printf("Key %d not found!\n", key);
return;
}
// 1. 如果待删除节点没有子节点（叶节点）
if (temp->left == NULL && temp->right == NULL) {
if (temp == *root) {
*root = NULL; // 删除根节点时，需要将根指针置为 NULL
}
else {
if (parent->left == temp) {
parent->left = NULL; // 将父节点的左子节点指针置为 NULL
}
else {
parent->right = NULL; // 将父节点的右子节点指针置为 NULL
}
}
free(temp); // 释放内存
}
// 2. 如果待删除节点只有一个子节点
else if (temp->left == NULL || temp->right == NULL) {
Node* child = (temp->left != NULL) ? temp->left : temp->right; // 获取唯一子节点
if (temp == *root) {
*root = child; // 如果删除的是根节点，将根指针指向唯一子节点
}
else {
if (parent->left == temp) {
parent->left = child; // 父节点的左指针指向子节点
}
else {
parent->right = child; // 父节点的右指针指向子节点
}
}
free(temp); // 释放当前节点内存
}
// 3. 如果待删除节点有两个子节点
else {
// 找到右子树中的最小节点
Node* minNodeParent = temp;
Node* minNode = temp->right;
// 寻找右子树中的最小节点及其父节点
while (minNode->left != NULL) {
minNodeParent = minNode;
minNode = minNode->left;
}
// 将最小节点的值赋给当前节点
temp->data = minNode->data;
// 删除右子树中的最小节点
if (minNodeParent->left == minNode) {
minNodeParent->left = minNode->right; // 将父节点的左子指针指向最小节点的右子节点
}
else {
minNodeParent->right = minNode->right; // 将父节点的右子指针指向最小节点的右子节点
}
free(minNode); // 释放最小节点的内存
}
}4.二叉搜索树的效率
给定一组数据，我们考虑使用数组或二叉搜索树存储。观察表，二叉搜索树的各项操作的时间复杂度都是对数阶，具有稳定且高效的性能。只有在高频添加、低频查找删除数据的场景下，数组比二叉搜索树的效率更高。
在理想情况下，二叉搜索树是“平衡”的，这样就可以在 logn 轮循环内查找任意节点。
然而，如果我们在二叉搜索树中不断地插入和删除节点，可能导致二叉树退化为图所示的链表，这时各种操作的时间复杂度也会退化为 O(n) 。
5.主函数以及测试案例
// 删除元素
void delete(Node** root, int key) {
Node* temp = *root; // 用于遍历二叉树
Node* parent = NULL; // 指向待删除节点的父节点
// 寻找待删除节点以及其父节点
while (temp != NULL && temp->data != key) {
parent = temp;
if (key < temp->data) {
temp = temp->left;
}
else {
temp = temp->right;
}
}
// 如果没有找到该节点，直接返回
if (temp == NULL) {
printf("Key %d not found!\n", key);
return;
}
// 1. 如果待删除节点没有子节点（叶节点）
if (temp->left == NULL && temp->right == NULL) {
if (temp == *root) {
*root = NULL; // 删除根节点时，需要将根指针置为 NULL
}
else {
if (parent->left == temp) {
parent->left = NULL; // 将父节点的左子节点指针置为 NULL
}
else {
parent->right = NULL; // 将父节点的右子节点指针置为 NULL
}
}
free(temp); // 释放内存
}
// 2. 如果待删除节点只有一个子节点
else if (temp->left == NULL || temp->right == NULL) {
Node* child = (temp->left != NULL) ? temp->left : temp->right; // 获取唯一子节点
if (temp == *root) {
*root = child; // 如果删除的是根节点，将根指针指向唯一子节点
}
else {
if (parent->left == temp) {
parent->left = child; // 父节点的左指针指向子节点
}
else {
parent->right = child; // 父节点的右指针指向子节点
}
}
free(temp); // 释放当前节点内存
}
// 3. 如果待删除节点有两个子节点
else {
// 找到右子树中的最小节点
Node* minNodeParent = temp;
Node* minNode = temp->right;
// 寻找右子树中的最小节点及其父节点
while (minNode->left != NULL) {
minNodeParent = minNode;
minNode = minNode->left;
}
// 将最小节点的值赋给当前节点
temp->data = minNode->data;
// 删除右子树中的最小节点
if (minNodeParent->left == minNode) {
minNodeParent->left = minNode->right; // 将父节点的左子指针指向最小节点的右子节点
}
else {
minNodeParent->right = minNode->right; // 将父节点的右子指针指向最小节点的右子节点
}
free(minNode); // 释放最小节点的内存
}
}
二叉搜索树常见应用¶
- 用作系统中的多级索引，实现高效的查找、插入、删除操作。
- 作为某些搜索算法的底层数据结构。
- 用于存储数据流，以保持其有序状态。
