定义和运算规则

• 点积（数量积、内积）
  • 定义：对于两个向量$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$和$\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)$，它们的点积定义为$\vec{a}\cdot \vec{b}=a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3$。例如，若$\vec{a}=(1,2,3)$，$\vec{b}=(4,5,6)$，则$\vec{a}\cdot \vec{b}=1\times 4+2\times 5+3\times 6=4+10+18=32$。
  • 运算结果：点积的结果是一个标量（数量）。这个标量的值与两个向量的长度以及它们之间夹角的余弦值有关，具体公式为$\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$，其中$\theta$是$\vec{a}$和$\vec{b}$之间的夹角。例如，当两个向量同向时，$\cos \theta =1$，点积等于两个向量模长的乘积；当两个向量垂直时，$\cos \theta =0$，点积为0。
• 叉积（向量积、外积）
  • 定义：对于两个三维向量$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$和$\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)$，它们的叉积是一个新的向量$\vec{c}=\vec{a}\times \vec{b}=(a_2{b}_3-a_3{b}_2,a_3{b}_1-a_1{b}_3,a_1{b}_2-a_2{b}_1)$。例如，若$\vec{a}=(1,2,3)$，$\vec{b}=(4,5,6)$，则$\vec{a}\times \vec{b}=(2\times 6-3\times 5,3\times 4-1\times 6,1\times 5-2\times 4)=(-3,6,-3)$。
  • 运算结果：叉积的结果是一个向量。这个向量的方向垂直于原来的两个向量$\vec{a}$和$\vec{b}$，其方向遵循右手定则。右手定则是指：将右手的食指指向$\vec{a}$的方向，中指指向$\vec{b}$的方向，那么大拇指所指的方向就是$\vec{a}\times \vec{b}$的方向。它的模长为$|\vec{c}|=|\vec{a}||\vec{b}|\sin \theta$，其中$\theta$是$\vec{a}$和$\vec{b}$之间的夹角。

几何意义

• 点积
  • 可以用来计算一个向量在另一个向量方向上的投影长度与另一个向量长度的乘积。例如，力$\vec{F}$作用在位移$\vec{d}$方向上做的功$W$，可以用点积来表示，即$W=\vec{F}\cdot \vec{d}$。如果力的方向与位移方向一致，那么做的功就等于力的大小与位移大小的乘积；如果力与位移方向有夹角，那么做的功就是力在位移方向上的投影（$|\vec{F}|\cos \theta$）与位移大小的乘积。
• 叉积
  • 几何意义主要体现在它的模长和方向上。其模长等于以这两个向量为邻边的平行四边形的面积，即$S=|\vec{a}\times \vec{b}|=|\vec{a}||\vec{b}|\sin \theta$。例如，在求由两个向量所确定的平面的法向量时，就可以通过叉积来得到。同时，它的方向可以确定平面的“旋转方向”或者空间中的“方向关系”。

应用场景

• 点积
  • 在物理学中，计算功、电场强度与电势差的关系等都会用到点积。例如，在静电场中，电场强度$\vec{E}$与两点之间的电势差$U$的关系可以通过点积来表示（在匀强电场中）：$U=\vec{E}\cdot \vec{d}$，其中$\vec{d}$是两点之间的位移向量。
  • 在计算机图形学中，用于计算光照效果。比如，计算光线方向向量与物体表面法线向量的点积，来确定光照强度在物体表面的分布情况。如果点积为正，说明光线方向与表面法线方向夹角小于90度，表面被照亮；如果点积为负，则表面处于阴影中。
• 叉积
  • 在物理学的电磁学领域，安培力的计算就涉及叉积。安培力$\vec{F}=B\vec{I}\times \vec{L}$，其中$B$是磁感应强度，$\vec{I}$是电流方向向量，$\vec{L}$是导线长度向量。叉积在这里用于确定安培力的方向，其方向垂直于电流方向和磁场方向。
  • 在计算机图形学和计算机视觉中，用于计算平面的法向量、判断三维空间中物体的前后关系等。例如，在三维建模中，通过两个边向量的叉积来计算多边形的法向量，这个法向量对于光照计算、碰撞检测等操作都非常重要。