声明：以下笔记中的图片均来自“数学建模学习交流”清风老师的课程ppt，仅用作学习交流使用

模糊综合评价

模糊数学

1965年美国控制论专家L.A.Zadeh发表的论文“Fuzzy sets”标志模糊数学诞生。模糊数学又称Fuzzy 数学，是研究和处理模糊性现象的⼀种数学理论和方法。由于模糊性概念已经找到了模糊集的描述方式，人们运用概念进行判断、评价、推理、决策和控制的过程也可以用模糊性数学的方法来描述。

经典集合和模糊集合的基本概念

经典集合和特征函数

集合：既有相同属性的事物的集体 互斥性 确定性 非此即彼
特征函数： f A : ℧ → { 0 , 1 } f_A: \mho \to \{0,1\} fA​:℧→{0,1}
$\mho$: 论域 （我们感兴趣的一些对象的集合）；$f_A$表示A集合的特征函数
举例：$\mho$为全班成绩的集合，$A$为成绩及格的集合
$$\begin{array}{c}\begin{array}{rlrlr}{f}_A& =\{\begin{array}{rlc}1,& x\in A& (x\ge 60)\\ 0,& x\notin A& (x<60)\end{array}& & & \forall x\in \mho \end{array}\end{array}$$

模糊集合和隶属函数

模糊集合：用来描述模糊性概念的集合 承认亦此亦彼
隶属函数：$u_A:\mho \to [0,1]$
举例：$\mho$为一群人年龄的集合，$A$=”年轻“

$$\begin{array}{c}\begin{array}{rlrlr}{u}_A& =\{\begin{array}{rl}1,& 0<x<20\\ \frac{40-x}{20},& 20\le x\le 40\\ 0,& x>40\end{array}& & & \forall x\in \mho \end{array}\end{array}$$

对于$\mho$中的每一个元素，均对应A中的一个隶属度，介于$[0,1]$，越大表示越属于这种集合。

模糊集合的分类

• 偏小型：年轻 冷
• 中间型：中年 暖
• 偏大型：老年 热

隶属函数的确定方法

方法一 模糊统计法

• 需要设计发放问卷，在实际研究中用的比较多，但是数模比赛中用的少
• 原理：找多个人对同一个模糊概念进行描述，用隶属频率定义隶属度。

例：定义“年轻人”的隶属函数

1. 定义人的年龄的论域$\mho$，调查n个人
2. 让这n个人仔细考虑好“年轻”的含义后，给出他们认为最合适的年龄区间
3. 对于任意一个确定的年龄，例如25，若这n个人中有m个人的年龄区间包含25，则称$\frac{m}{n}$为25岁对于“年轻”的隶属频率
4. 依次类推，我们可以找出所有年龄对于“年轻”的隶属频率
5. 若n很大时，隶属频率会趋于稳定，此时我们可以将其视为隶属度，进而得到隶属函数

方法二 借助已有的客观尺度

• 需要有合适的指标，并能收集到数据

例如：

论域	模糊集	隶属度
设备	设备完好	设备完好率
产品	质量稳定	正品率
家庭	小康家庭	恩格尔系数

这里找的指标如果范围超过隶属函数的值域，则需要归一化

方法三 指派法（最常用）

• 根据问题的性质直接套用某些分布作为隶属函数，主观性较强

其中最最常用的是梯形分布

例：试用柯西分布确定“年轻”的隶属函数
“年轻”是偏小型，对应的柯西分布为
$$\begin{array}{c}\begin{array}{rl}A(x)& =\{\begin{array}{rl}1,& x\le a\\ \frac{1}{1+\alpha (x-a)\beta },& x>a\end{array}\end{array}\end{array}$$
这里有三个未知参数：$a,\alpha ,\beta$
根据生活经验或别人的研究成果，我们令$a=20,A(30)=0.5$，$\beta$在指数部分，我们一般倾向于简化模型，则$\beta$可取1或2，此处我们令$\beta =2$，可以解得$\alpha =0.01$

应用 ：模糊综合评价

评价问题概述

模糊评价问题解决以下两种问题：

• 将论域中的一个对象指定评语集中的一个评语
• 将方案作为评语集并选一个最终方案

模糊综合评价中引入了三个集合：

• 因素集（评价指标集） U = { u 1 , u 2 , . . . , , u n } U=\{u_1,u_2,...,,u_n\} U={u1​,u2​,...,,un​} eg：专业排名、课外实践、志愿服务、竞赛成绩
• 评语集（评价的结果） V = { v 1 , v 2 , . . . , v m } V=\{v_1,v_2,...,v_m\} V={v1​,v2​,...,vm​} eg：优、良、差
• 权重集（指标的权重） A = { a 1 , a 2 , . . . , a n } A=\{a_1,a_2,...,a_n\} A={a1​,a2​,...,an​} eg：0.1, 0.5, 0.2, 0.3

权重与因素一一对应，有n个元素，m为评语集的元素个数，n，m的大小没有必然联系

一级模糊综合评价

适用于指标较少的考核，且指标间的独立性较强

第一步 确定三个集合

确定权重的方法：无数据：层次分析法；有数据：熵权法

第二步 确定模糊综合判断矩阵

对指标$u_i$来说，对各个评语的隶属度为$V$上的模糊子集。
对指标$u_i$的评判记为$$R_i=[r_{i1},r_{i2},...,r_{im}]$$
则各个指标的模糊综合判断矩阵为
$$R=\left[\begin{array}{cccc}{r}_{11}& r_{12}& \cdots & r_{1m}\\ r_{21}& r_{22}& \cdots & r_{2m}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ r_{n1}& r_{n2}& \cdots & r_{nm}\end{array}\right]$$
这是一个从$U$到$V$的模糊关系矩阵

第三步 综合评判

模糊变换$$T_R:F(U)\to F(V)$$
由此变换可得到综合评判结果
$$B_{1\times m}=A_{1\times n}\cdot R_{n\times m}$$
最终取数值最大的评语作为综合评判结果。

例：某单位对员工的年终综合评定

例：某露天煤矿的设计方案的选择

多级模糊综合评价

因素中指标较多，可以对其进行归类之后简化计算。一般有二级、三级模糊评价，四级及以上太复杂了，基本不会出现。

二级模糊综合评价

实际上就是拆分成两个一级模糊综评的步骤进行

• 划分因素集 确定三集
  第一级因素集 U = { U 1 , U 2 , . . . , U k } U =\{U_1,U_2,...,U_k\} U={U1​,U2​,...,Uk​}
  第二级因素集 U i = { u 1 ( i ) , u 2 ( i ) , . . . , u n i ( i ) } U_i=\{u^{(i)}_1,u^{(i)}_2,...,u^{(i)}_{n_i}\} Ui​={u1(i)​,u2(i)​,...,uni​(i)​}
• 对第二级因素集进行评判
  得到第二级综合评判矩阵
  $$R_i=\left[\begin{array}{cccc}{r}_{11}^{(i)}& r_{12}^{(i)}& \cdots & r_{1m}^{(i)}\\ r_{21}^{(i)}& r_{22}^{(i)}& \cdots & r_{2m}^{(i)}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ r_{n_{i}1}^{(i)}& r_{n_{i}2}^{(i)}& \cdots & r_{n_{i}m}^{(i)}\end{array}\right]$$
  若对于第二级因素集 U i = { u 1 ( i ) , u 2 ( i ) , . . . , u n i ( i ) } U_i=\{u^{(i)}_1,u^{(i)}_2,...,u^{(i)}_{n_i}\} Ui​={u1(i)​,u2(i)​,...,uni​(i)​} 的权重为 A i = { A 1 ( i ) , A 2 ( i ) , . . . , A n i ( i ) } A_i=\{A^{(i)}_1,A^{(i)}_2,...,A^{(i)}_{n_i}\} Ai​={A1(i)​,A2(i)​,...,Ani​(i)​},
  则综合评判为$$B_i=A_i\times R_i(i=1,2,...,k)$$
• 对第一级因素集进行评判
  由上一步得到的$B_i$可得第一级综合评判矩阵
  $$R=\left[\begin{array}{c}{B}_1\\ B_2\\ ⋮\\ B_k\end{array}\right]$$
  若对于第二级因素集 U = { U 1 , U 2 , . . . , U k } U =\{U_1,U_2,...,U_k\} U={U1​,U2​,...,Uk​} 的权重为 A = { A 1 , A 2 , . . . , A k } A =\{A_1,A_2,...,A_k\} A={A1​,A2​,...,Ak​}
  则综合评判为$$B=A\times R$$
• 按最大隶属度原则确定相应评语或等级

例：评价学生表现并作为奖学金评判标准

$$因素集U\{\begin{array}{l}学习成绩U_1\{\begin{array}{l}专业课成绩u_1^{(1)}\\ 非专业课成绩u_2^{(1)}\end{array}\\ \\ 竞赛成绩U_2\{\begin{array}{l}国家级竞赛成绩u_1^{(2)}\\ 省级竞赛成绩u_2^{(2)}\\ 校级竞赛成绩u_3^{(2)}\end{array}\\ \\ 个人荣誉U_3\{\begin{array}{l}国家级荣誉奖项u_1^{(3)}\\ 省级荣誉奖项u_2^{(3)}\\ 校级荣誉奖项u_3^{(3)}\end{array}\\ \\ 志愿服务U_4\{\begin{array}{l}志愿服务时长u_1^{(4)}\end{array}\end{array}$$

评语集 V = { 一等奖学金 V 1 ，二等奖学金 V 2 ，无奖学金 V 3 } V=\{一等奖学金V_1，二等奖学金V_2，无奖学金V_3\} V={一等奖学金V1​，二等奖学金V2​，无奖学金V3​}

假设我们通过投票（模糊统计法）得到
$$R_1=\left[\begin{array}{ccc}0.8& 0.2& 0\\ 0.7& 0.3& 0\end{array}\right]$$

又由已知
$$A_1=\left[\begin{array}{cc}0.6& 0.4\end{array}\right]$$

可得
$$B_1=A_1\times R_1=\left[\begin{array}{cc}0.6& 0.4\end{array}\right]$$
以此类推可得所有$B_i$

最终我们可以构造
$$R=\left[\begin{array}{c}{B}_1\\ B_2\\ B_3\\ B_4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0.76& 0.24& 0\\ 0.15& 0.27& 0.58\\ 0.4& 0.2& 0.4\\ 0.1& 0.8& 0.1\end{array}\right]$$
又由于
$$A=\left[\begin{array}{cccc}0.4& 0.3& 0.2& 0.1\end{array}\right]$$
则
$$R=A\times R=\left[\begin{array}{ccc}0.439& 0.297& 0.264\end{array}\right]$$
由于0.439最大，则该同学获得一等奖学金的隶属度最大，所以该同学应评为一等奖学金。
若一等奖学金名额有限，应该如何分配？选择一等奖学金隶属度最大的三位同学。

三级模糊综合评价

一道例题