PCA算法所体现的核心数学思维

一、PCA算法的基本思想

PCA算法的核心思想是通过线性变换,将数据从原始的高维空间投影到低维空间,同时尽可能保留数据的主要变异性。这种变换是通过找到一组新的坐标轴(即主成分)来实现的,这些坐标轴是原始数据空间的线性组合,且彼此正交。在新的坐标系中,数据的主要变异性体现在前几个坐标轴上,而后面的坐标轴则包含较少的信息。因此,可以通过选择前几个坐标轴来降低数据的维度,同时保留数据的主要特征。

二、PCA算法的数学原理

  1. 数据预处理

在进行PCA算法之前,通常需要对数据进行预处理,包括去均值和方差归一化处理。去均值是为了确保数据的中心在原点,方差归一化则是为了确保各特征具有相同的尺度,以便后续计算。

  1. 计算协方差矩阵

预处理后的数据需要计算其协方差矩阵。协方差矩阵是一个对称矩阵,其元素表示数据各维度之间的相关性。通过对协方差矩阵进行特征值分解,可以得到一系列特征值和对应的特征向量。

  1. 求解特征值和特征向量

特征值分解是PCA算法的关键步骤之一。它通过对协方差矩阵进行分解,得到一组特征值和对应的特征向量。特征值表示了数据在对应特征向量方向上的方差大小,而特征向量则指明了这些方向。特征值越大,说明数据在该方向上的变异性越大,因此该方向上的信息也越重要。

  1. 选择主成分

根据特征值的大小,选择前几个最大的特征值所对应的特征向量作为主成分。这些特征向量构成了一个新的特征空间,即低维空间。在新的空间中,数据的变异性主要体现在前几个主成分上。

  1. 转换数据

将原始数据投影到新的特征空间中,得到降维后的数据。这个过程是通过将原始数据与主成分矩阵相乘来实现的。降维后的数据保留了原始数据的主要特征,同时降低了数据的维度。

三、PCA算法的数学推导

PCA算法的数学推导涉及到线性代数、特征分解以及正交变换等概念。以下是对PCA算法数学推导的详细阐述:

  1. 数据矩阵与变换矩阵

设原始数据矩阵为X,其维度为n×p,其中n表示样本数量,p表示特征数量。为了将数据从p维空间降维到k维空间(k<p),需要找到一个变换矩阵W,使得变换后的数据矩阵T=XW。变换矩阵W的维度为p×k,其列向量即为所选的主成分。

  1. 最大化方差

为了使降维后的数据尽可能保留原始数据的主要特征,需要最大化降维后数据的方差。这可以通过最大化变换后数据矩阵T的每一列的数值的平方和来实现。即需要找到一个变换矩阵W,使得T的每一列的方差最大化。

  1. 特征值分解

为了找到使得方差最大化的变换矩阵W,可以对协方差矩阵进行特征值分解。协方差矩阵是一个对称矩阵,其特征值分解可以得到一组特征值和对应的特征向量。特征值表示了数据在对应特征向量方向上的方差大小,而特征向量则指明了这些方向。因此,可以选择前k个最大的特征值对应的特征向量作为主成分,构成变换矩阵W。

  1. 正交性

由于PCA算法要求所选的主成分彼此正交,因此变换矩阵W的列向量(即主成分)也必须是正交的。这可以通过施密特正交化等算法来实现。正交性保证了降维后的数据在各个主成分方向上是独立的,从而避免了信息的冗余。

  1. 降维与投影

在确定了变换矩阵W后,可以将原始数据矩阵X投影到由主成分构成的低维空间中,得到降维后的数据矩阵T。这个过程是通过将X与W相乘来实现的。降维后的数据矩阵T的维度为n×k,其中n表示样本数量,k表示所选的主成分数量。

四、PCA算法的应用与优势

PCA算法在数据分析和机器学习领域有着广泛的应用。其优势主要体现在以下几个方面:

  1. 降维与简化模型

PCA算法可以通过降低数据的维度来简化模型的复杂度。这对于处理大规模数据集时尤其有用,可以显著降低计算复杂度并提高计算效率。

  1. 特征提取与可视化

PCA算法可以将原始数据转换到一个新的特征空间中,新空间中的特征(即主成分)是原始特征的线性组合,并且按照方差的大小排序。这有助于理解数据中的结构和模式,并提取出最重要的特征进行可视化展示。

  1. 去相关性

PCA算法能够去除数据特征之间的相关性,使得新空间中的特征是正交的。这有助于简化后续的数据分析和建模过程,并避免信息的冗余和重复。

  1. 提高模型性能

通过PCA算法进行降维处理,可以去除数据中的噪声和冗余信息,从而提高后续分析和建模的性能。例如,在分类、聚类等机器学习任务中,PCA算法可以作为预处理步骤来提高模型的准确性和鲁棒性。

本文来自互联网用户投稿,该文观点仅代表作者本人,不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如若转载,请注明出处:/a/922237.html

如若内容造成侵权/违法违规/事实不符,请联系我们进行投诉反馈qq邮箱809451989@qq.com,一经查实,立即删除!

相关文章

如何解决pdf.js跨域从url动态加载pdf文档

摘要 当我们想用PDF.js从URL加载文档时&#xff0c;将会因遇到跨域问题而中断&#xff0c;且是因为会触发了PDF.js和浏览器的双重CORS block&#xff0c;这篇文章将会介绍&#xff1a;①如何禁用pdf.js的跨域&#xff1f;②如何绕过浏览器的CORS加载URL文件&#xff1f;②如何使…

C语言数据结构——详细讲解 双链表

从单链表到双链表&#xff1a;数据结构的演进与优化 前言一、单链表回顾二、单链表的局限性三、什么是双链表四、双链表的优势1.双向遍历2.不带头双链表的用途3.带头双链表的用途 五、双链表的操作双链表的插入操作&#xff08;一&#xff09;双链表的尾插操作&#xff08;二&a…

Java小白成长记(创作笔记二)

目录 序言 思维导图 续 用户登录/注册 数据表 实体层 持久层 服务层 认证与授权 整合springsecurity controller注册测试 controller登录测试 跨域解决 方法 Java小白成长记&#xff08;创作笔记一&#xff09; Java小白成长记&#xff08;创作笔记二&#xff09;…

案例研究|阿特斯的JumpServer分布式部署和多组织管理实践

苏州阿特斯阳光电力科技有限公司&#xff08;以下简称为阿特斯&#xff09;是一家集太阳能光伏组件制造和为全球客户提供太阳能应用产品研发、设计、制造、销售的专业公司。 阿特斯集团总部位于加拿大&#xff0c;中国区总部位于江苏省苏州市。通过全球战略和多元化的市场布局…

20241123-四元数高阶奇异值分解-(1)

四元数高阶奇异值分解及其在彩色图像处理中的应用-(1) &#x1f4d4; 声明 &#x1f1e8;&#x1f1f3; : 1️⃣ &#x1f4c3; 原文网址链接: 四元数高阶奇异值分解及其在彩色图像处理中的应用 - ScienceDirect &#x1f517; Quaternion … image processing (arxiv.org) ​ …

游戏引擎学习第20天

视频参考:https://www.bilibili.com/video/BV1VkBCYmExt 解释 off-by-one 错误 从演讲者的视角&#xff1a;对代码问题的剖析与修复过程 问题的起因 演讲者提到&#xff0c;他可能无意中在代码中造成了一个错误&#xff0c;这与“调试时间标记索引”有关。他发现了一个逻辑问题…

python开发之Linux

文章目录 1. 基础2. 进阶链接压缩/解压缩 文件权限用户远程操作编辑文件软件安装 1. 基础 # 查看当前目录下文件 ls# 查看当前目录 pwd# 清除界面内容 clear# 切换目录 cd# 创建目录 mkdir# 创建文件 touch 文件 vi 文件# 强制删除 rm -rf # 复制文件 cp 复制文件 复制文件路径…

Docker2:docker快速入门(部署MySQL)

欢迎来到“雪碧聊技术”CSDN博客&#xff01; 在这里&#xff0c;您将踏入一个专注于Java开发技术的知识殿堂。无论您是Java编程的初学者&#xff0c;还是具有一定经验的开发者&#xff0c;相信我的博客都能为您提供宝贵的学习资源和实用技巧。作为您的技术向导&#xff0c;我将…

oracle的静态注册和动态注册

oracle的静态注册和动态注册 静态注册&#xff1a; 静态注册 : 指将实例的相关信息手动告知 listener 侦 听 器 &#xff0c; 可以使用netmgr,netca,oem 以及直接 vi listener.ora 文件来实现静态注册&#xff0c;在动态注册不稳定时使用&#xff0c;特点是&#xff1a;稳定&…

杰发科技AC7840——EEP中RAM的配置

sample和手册中示例代码的sram区地址定义不一样 这个在RAM中使用没有限制&#xff0c;根据这个表格留下足够空间即可 比如需要4096字节的eep空间&#xff0c;可以把RAM的地址改成E000&#xff0c;即E000-EFFF&#xff0c;共4096bytes即可。

洛谷 P1616 疯狂的采药 C语言 记忆化搜索

题目&#xff1a; https://www.luogu.com.cn/problem/P1616?contestId215526 完全背包问题&#xff0c;最后一个超出空间了。完全背包和就是无限次的拿&#xff0c;公式跟01背包差不多。 但是&#xff0c;只有当前能拿和拿不下&#xff0c;换下一个。注意要处理好边界条件。…

分布式 Data Warebase - 构筑 AI 时代数据基石

导读&#xff1a;作者以人类世界一个信息层次模型 DIKW 为出发点&#xff0c;引出对计算机世界&#xff08;系统&#xff09;处理数据过程的介绍。接着以一个民宿平台数据架构随业务发展而不断演进的过程&#xff0c;展示了这场信息革命中&#xff0c;在具体应用场景下&#xf…

zotero7 插件使用

zotero style 1、下载地址 Zotero 插件商店 | Zotero 中文社区 2、配置 在工具插件里 3、配置 style 进入高级→设置编辑器 查找 easy 设置完即可显示&#xff0c; 注1&#xff1a;easyscholar的密钥要自行申请注册&#xff0c;注册地址&#xff1a;easySchol…

使用 Elastic AI Assistant for Search 和 Azure OpenAI 实现从 0 到 60 的转变

作者&#xff1a;来自 Elastic Greg Crist Elasticsearch 推出了一项新功能&#xff1a;Elastic AI Assistant for Search。你可以将其视为 Elasticsearch 和 Kibana 开发人员的内置指南&#xff0c;旨在回答问题、引导你了解功能并让你的生活更轻松。在 Microsoft AI Services…

CCF认证202406-02 | 矩阵重塑(其二)

题目背景 矩阵转置操作是将矩阵的行和列交换的过程。在转置过程中&#xff0c;原矩阵 A 的元素 aij​ 会移动到转置后的矩阵 AT 的 aji​ 的位置。这意味着 A 的第 i 行第 j 列的元素在 AT 中成为了第 j 行第 i 列的元素。 例如&#xff0c;有矩阵 A 如下&#xff1a; A[abc…

【CSP CCF记录】201903-2第16次认证 二十四点

题目 样例1输入 10 934x3 54x5x5 7-9-98 5x6/5x4 3579 1x19-9 1x9-5/9 8/56x9 6x7-3x6 6x44/5 样例1输出 Yes No No Yes Yes No No No Yes Yes 样例1解释 思路 参考&#xff1a;CCF小白刷题之路---201903-2 二十四点&#xff08;C/C 100分&#xff09;_ccf认证小白-CSDN博客 …

docker 容器运行Ruoyi-cloud

1&#xff0c;linux系统安装openjdk1.8,mvn,dokcer,node,git 2&#xff0c;拉取代码 1&#xff09;查看gitee仓库地址 2&#xff09;创建/app文件夹&#xff0c;进入app目录 mkdir /app cd /app 3&#xff09;clone代码 4&#xff09;修改配置文件中nacos地址 # 修改注…

浮点数的表示—IEEE754标准

浮点数的表示—IEEE754标准 引言 我们知道&#xff0c;在计算机中&#xff0c;数字以0和1组成的二进制序列来表示。但是&#xff0c;对于非常大的数字以及非常接近0的数字&#xff0c;简单的存储方式往往会造成精度的丢失。 为了解决这个问题&#xff0c;提供更高效的浮点数…

Window脚本自动化uiautomation详解_番茄出品

Window脚本自动化uiautomation详解_番茄出品 start 有时候pc端电脑&#xff0c;会有一些重复操作&#xff0c;希望能够通过代码实现这些操作。尝试了好几个库&#xff0c;但是识别准确率很低&#xff0c;在苦苦寻找之后&#xff0c;发现一个非常好用的 python 库 &#xff1a…

Java技术复习提升 11 常用类

第11章 常用类 1 包装类 不同包装类都继承自Object类 Serialiazble接口表示该类表示序列化 Comparable接口用于定义自然顺序 包装类和基本数据的转换 jdk5之前手动装箱拆箱 jdk5之后自动装箱拆箱 自动装箱底层调用的是valueof方法 拆箱仍然是intvalue方法 public class Inte…