浮点数的表示—IEEE754标准
引言
我们知道，在计算机中，数字以0和1组成的二进制序列来表示。但是，对于非常大的数字以及非常接近0的数字，简单的存储方式往往会造成精度的丢失。
为了解决这个问题，提供更高效的浮点数表示方法，各大厂商纷纷推出自己的浮点数表示标准。大约在1985年，IEEE（电气和电子工程师协会）推出了754标准，从此，江湖一统。
IEEE754标准浮点格式
IEEE754标准浮点格式由三部分组成： ( − 1 ) S ∗ M ∗ 2 E (-1)^S*M*2^E (−1)S∗M∗2E
- S：符号，表示浮点数是正数（s=0）还是负数（s=1）
- E：阶码，对浮点数进行加权。阶码被解释为以偏置形式表示的有符号整数，偏置值（Bias）为 2 ( n − 1 ) − 1 2^{(n-1)}-1 2(n−1)−1，n为e所占的位数（Bias单精度为 2 ( 8 − 1 ) − 1 = 12 7 10 = 0111111 1 2 2^{(8-1)}-1=127_{10}=0111 1111_2 2(8−1)−1=12710=011111112，双精度为 2 ( 11 − 1 ) − 1 = 1023 2^{(11-1)}-1=1023 2(11−1)−1=1023）。
- M：尾数，用于表示小数
如下图所示，IEEE754标准浮点格式下的单精度浮点数占32位：符号占1位，阶码占8位，尾数占23位；双精度浮点数占64位。
规格化的值
当阶码位既不全为0也不全为1时，是规格化浮点数。此时E=e-Bias，M>=1。
例子：十进制的 ( − 0.75 ) 10 (-0.75)_{10} (−0.75)10，将其转化为IEEE754格式：
- 转化为二进制： ( − 0.75 ) 10 = ( − 3 / 4 ) 10 = − ( 2 − 1 + 2 − 2 ) 10 = ( − 0.11 ) 2 (-0.75)_{10}=(-3/4)_{10}=-(2^{-1}+2^{-2})_{10}=(-0.11)_2 (−0.75)10=(−3/4)10=−(2−1+2−2)10=(−0.11)2
- 写为 ( − 1 ) S ∗ M ∗ 2 E (-1)^S*M*2^E (−1)S∗M∗2E格式： ( − 1 ) 1 ∗ 1. 1 2 ∗ 2 − 1 2 (-1)^1*1.1_2*2^{-1_2} (−1)1∗1.12∗2−12
- S=1，E=-1，M=1.1， e = E + B i a s = − 1 10 + 12 7 10 = − 0000000 1 2 + 0111111 1 2 = 0111111 0 2 e=E+Bias=-1_{10}+127_{10}=-0000 0001_2 + 0111 1111_2 = 0111 1110_2 e=E+Bias=−110+12710=−000000012+011111112=011111102，将M去除包含的最高位1只留小数部分得到 m = 2 ( − 1 ) 2 = 1000000000000000000000 0 2 m=2^{(-1)_2}=100 0000 0000 0000 0000 0000_2 m=2(−1)2=100000000000000000000002
- 组合S、e、m即得IEEE754格式： 10111111010000000000000000000000 1 011 1111 0100 0000 0000 0000 0000 0000 10111111010000000000000000000000
非规格化的值
当阶码位全为0时，是非规格化浮点数。此时E=1-Bias。
因为M不需要>=1，所以提供了表示非常接近0值的方式。当尾数位也全为0时，表示0。
特殊值
当阶码位全为1时，是特殊浮点数。
此时，如果尾数位也全为1，当阶码位为1时代表负无穷，当阶码位为0时代表正无穷；
当尾数位不全为1时，代表NaN，（Not a Number）不是一个数。
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当尾数位不全为1时，代表NaN，（Not a Number）不是一个数。
