图形几何之美系列：仿射变换矩阵（二）

“ 在几何计算、图形渲染、动画、游戏开发等领域，常需要进行元素的平移、旋转、缩放等操作，一种广泛应用且简便的方法是使用仿射变换进行处理。相关的概念还有欧拉角、四元数等，四元数在图形学中主要用于解决旋转问题，特别是在三维空间中绕任意轴的旋转，且四元数与仿射变换可以相互转换。”

上一篇我们介绍了仿射变换矩阵原理、构成和转换：图形几何之美系列：仿射变换矩阵。

本篇我们继续进行探索，包括左乘还是右乘、左手/右手坐标系、先转后偏等内容。

1. 左乘还是右乘

通过前文（图形几何之美系列：仿射变换矩阵）办法构造的仿射变换矩阵作用于点和向量时是左乘，且如果有多次姿态变换时，需要依次将对应的仿射变换矩阵左乘于点或向量。

如物体Object依次经过旋转、偏移、绕点P缩放姿态变换，对应的仿射变换矩阵分别为TrsRotate、TrsTrans、TrsScaleBaseP，其数学表达如下，

可以右乘吗？在把点或向量看作1X4矩阵时，可以右乘4X4的仿射变换矩阵吗？答案是可以，但需要更改4X4矩阵的构造，对其进行转置。

1. 一般我们不采用右乘的方案，你可以简单的认为是业界如此，需要制定清晰和明确的规则，方便大家学习和执行。
2. 就像在世界各国汽车要靠右侧或左侧行驶一样，需要制定明确清晰的规则，方便大家学习和遵守，如果都可以，那道路将无法畅通。

2. 右手坐标系&左手坐标系

仿射变换矩阵和左手或右手坐标系有关系吗？或者只能应用于右手坐标系吗？
仿射变换矩阵和左右手坐标系没有关联关系，其应用也没有局限于此，甚至可以将左手坐标系的物体转换为右手坐标系下的度量，只要你愿意。

提示
1. 通过修改4X4矩阵中左上角的3个列向量即可进行左右手坐标系间的转换，比如当左手坐标系相对于目标右手坐标系仅存在X轴方向反向时，可以将X轴基向量baseX取反即可得到到目标右手坐标系的仿射变换矩阵。
2. 这其实和局部坐标系转为世界坐标系是类似的，可以认为左手坐标系是局部坐标系，而目标右手坐标系是世界坐标系。
3. 即使实际情况比较复杂，也可以基于上述章节中仿射变换矩阵构成和原理进行矩阵的构造。
4. 镜像变换也是类似的原理。

3. 先转后偏

如果一次变换中存在多种类型的姿态变换，需要先构造矩阵左上角的3X3部分（缩放、旋转、镜像、非均匀变换），最后再叠加偏移。

如果先偏移，则需要基于偏移值的坐标点进行矩阵左上角3X3部分的构造，这将变得复杂的多，这对于大多数人来说不可接受，毕竟我们很多时候要做的是化繁为简，同时提高精度。

如上图所示，我们对点P进行仿射变换，同时包含旋转和平移，即绕点T旋转Θ，然后平移向量P'P''。

如果是先旋转后偏移：(1)P绕T旋转θ；(2)移动P'P''；即可得到最终姿态P''。

补充
构造P绕T旋转θ的仿射变换矩阵时：

可以先构造偏移TO的偏移矩阵（这样T偏移到了原点，而P可以绕原点旋转了）TrsT2O;

然后构造P绕原点旋转θ的3X3矩阵，再叠加OT偏移得到TrsRotate_and_O2T；嘿嘿，这又是一个先转后偏的实践。

左乘上述两个矩阵得到结果矩阵：TrsRotate_and_O2T x TrsT2O。