前集（Pre-set）的概念是相对于集合（Set），由数学家 Bishop 提出的。Bishop 认为定义一个集合需要三个步骤：

        1. 定义该集合的元素是如何构建的（Construction）。

        2. 定义集合中的两元素的相等关系（Equality）。

        3. 证明该相等关系是自反的（Reflexive）、对称的（Symmetric）、以及传递的（Transitive）。

        如果，在定义一个集合时，只满足了第一步，那么该集合称为前集（Pre-set），即，还未（not yet）称得上是集合（Set）。

        那么，对于前集（Pre-set），可以其基础上，像集合一样，定义关系（Relation）与函数（Function），称为 前关系（Pre-relation）与前函数（Pre-function）。其中，最大的区别在于，不保持（preserve）相等关系（Equality），即，a = b ∈ S，f(a) 与 f(b) 不要求相等（equals）。

        反过来说，也可以称函数（Function），是保持（preserve）相等关系的前函数。称保持相等关系的前函数满足外延性（Extensionality）。

        那么，看看 ZFC in Lean中，是如何定义前集（Pre-set)。

        这里，需要抽象地理解上述的定义，就是，通过 PSet 的构建函数 PSet.mk，给定一个类型α，以及 索引函数 A: α → PSet，可以得到一个PSet元素，记 PSet α A。也可以，反过来理解，一个前集（PSet），它包含了一个基类型（underlying type），以及基于其基类（underlying type）的前集索引函数，其中，索引指向的所有前集是正被定义前集的元素（members）。

        还有一个注意的地方，就是 PSet: Type (u + 1)，这里的 u+1 作用是以免 PSet 包含自身。

        那么，就会问，什么样的元素属于 PSet？类似，集合中，其最底层元素是空集，这里也有对于PSet，的空集，定义如下：

        然后，看看 PEmpty.elim 的定义：

        其中，PEmpty的定义如下：

        这样，对照起来看，对于PSet，其 类型α 为 PEmpty，其前集索引函数为  PEmpty.elim。这就是 PSet的空集，也记 ∅。

        此时，就有了第一个 PSet 元素了，∅：PSet u，亦 empty: PSet u。

这里，有个有意思的知识点，因为，Lean里的类型宇宙并不累积的（Non-cumulative），因此，对于每层级类型宇宙 u，都会实例化其层级 u 为一个自然数，然后实例化其宇宙层次多态类型（universe-polymorphic type）。也就是，每层次的类型宇宙中，都存在一个实例化后的宇宙层次多态类型。对于 PSet来说，也是一样，即 PSet是宇宙层次多态类型，对于每层次的类型宇宙，都存在一个PSet类型，其中，∅是其元素。记，∅：PSet u。