【leetcode】二分查找专题

文章目录

1.基本的二分查找
2.使用二分查找左右端点
- 2.1 左右端点
- 2.2 二分模板
3.搜索插入位置
4.x的平方根
5.山脉数组的顶峰
6.寻找峰值
7.寻找旋转排序数组中的最小值

在这里插入图片描述

对于二分查找，相信大家都再熟悉不过了。一旦数据是有序的，我们大概率会想到二分，但是有时候数据不是有序时，也可以使用二分。下面我们就来写几道关于二分的题目。

1.基本的二分查找

在这里插入图片描述

题目链接

二分的精髓就在于它一次就可以决定一半数据的归属，该题就是一个最简单的二分题。

在这里插入图片描述

由于left和right相遇时可能就是target，所以循环的条件应该是left <= right。

当left与right错开时，就说明没有target这个元素，返回-1。

如果数据太多，left和right较大时，我们计算mid时，left + right可能会溢出；
所以我们可以这样 mid = left + (right - left) / 2 ;

    int search(vector<int>& nums, int target) {
        int left = 0;
        int right = nums.size() - 1;
        while(left <= right)
        {
            int mid = left + (right - left) / 2;
            if(nums[mid] < target)
                left = mid + 1;
            else if(nums[mid] > target)
                right = mid - 1;
            else
                return mid;
        }
        return -1;
    }

2.使用二分查找左右端点

2.1 左右端点

在这里插入图片描述
题目链接

对于该题目，就是在朴素二分的基础上，让你在区间中选择两个位置，该位置标记了target元素的开始与结束。

但是我们这一题需要在朴素二分的基础上进行变化。

在这里插入图片描述

    vector<int> searchRange(vector<int>& nums, int target) {
        int left = 0;
        int right = nums.size()-1;
        if(nums.size() == 0)
            return {-1,-1};

        int begin = -1;
        int end = -1;
        while(left < right)
        {
            int mid = left + (right - left) / 2;
            //小于target，去掉[left,mid]区间
            if(nums[mid] < target)
                left = mid + 1;
            //大于等于target,去掉(mid,right]
            else
                right = mid;
        }
        if(nums[left] != target)
            return {-1,-1};
        
        begin = left;

        left = 0;
        right = nums.size() - 1;

        while(left < right)
        {
            int mid = left + (right - left + 1) / 2;
            //小于等于target，去掉[left,mid)区间
            if(nums[mid] <= target)
                left = mid;
            //大于target,去掉[mid,right]区间
            else
                right = mid - 1;
        }   
        if(nums[left] != target)
            return {-1,-1};
        end = left;
        return {begin,end};
    }

在这里插入图片描述

2.2 二分模板

求左端点

        while (left < right)
        {
            int mid = left + (right - left) / 2;
            //小于target，去掉[left,mid]区间
            if (...)
                left = mid + 1;
            //大于等于target,去掉(mid,right]
            else
                right = mid;
        }

求右端点

        while (left < right)
        {
            int mid = left + (right - left + 1) / 2;
            //小于等于target，去掉[left,mid)区间
            if ()
                left = mid;
            //大于target,去掉[mid,right]区间
            else
                right = mid - 1;
        }

3.搜索插入位置

在这里插入图片描述

由于该题目也具有二段性，因此也使用二分。、

当left与right相遇时
- 如果 nums[left] < target，则表明数组中没有target元素，则target元素应插入到left后面
- 如果 nums[left] > target，则表明数组中没有target元素，left位置就是target要插入的位置
- 如果 nums[left] == target，则表明数组中有target元素，left位置就是target的下标

    int searchInsert(vector<int>& nums, int target) {
        int left = 0;
        int right = nums.size() - 1;

        while(left < right)
        {
            int mid = left + (right - left) / 2;
            if(nums[mid] < target)
                left = mid + 1;
            else
                right = mid;
        }

        if(nums[left] < target)
            return left + 1;
        else 
            return left;
    }

4.x的平方根

在这里插入图片描述
题目链接

解法一：暴力查找

使用 i 依次遍历1-x的数，直到 i*i >= x时，就可以出现结果。为了防止溢出，应使用long long

    int mySqrt(int x) {
        for(long long i=1; i<=x; i++)
        {
            if(i* i == x)
                return i;
            else if(i *i > x)
                return i-1;
        }
        return 0;
    }

解法二：二分查找

对于1-x之间的数，它平方的结果具有二段性，要么> x，要么 <= x，因此可以使用二分优化暴力解法。

    int mySqrt(int x) {
        if(x == 0)
            return 0;
        int left = 1;
        int right = x;
        while(left < right)
        {
            long long mid = left + (right - left + 1) / 2;
            if(mid * mid <= x)
                left = mid;
            else
                right = mid - 1;
        }
        return left;
    }

5.山脉数组的顶峰

在这里插入图片描述
题目链接

根据题目可知，山脉递增以后再递减，那么一定会存在相邻的两个数前者大于后者的情况，此时前者就是峰顶。

解法一：暴力求解

从i = 1下标依次遍历数组，如果nums[i-1] > nums[i]，此时i-1位置就是峰顶。

解法二：二分求解

如果nums[i] > nums[i-1]，那么nums[i]之前一定是递增的，峰值还再后面，因此可以排除 i 之前的区间 left = mid;
如果nums[i] < nums[i-1]，那么i及后面的都不可能是峰值，right = mid - 1;
未避免死循环和mid-1越界，求mid时应选择后面的一个

    int peakIndexInMountainArray(vector<int>& arr) {
        int left = 0;
        int right = arr.size()-1;

        while(left < right)
        {
            int mid = left + (right - left + 1)/ 2;
            if(arr[mid] > arr[mid-1])
                left = mid;
            else
                right = mid - 1;
        }
        return left;
    }

6.寻找峰值

在这里插入图片描述

任取⼀个点 i ，与前⼀个点 i - 1，会有如下两种情况：

arr[i] > arr[i - 1] ：此时「右侧区域」⼀定会存在山峰（因为最右侧是负⽆穷），那么我们可以去右侧去寻找结果；
arr[i] < arr[i - 1] ：此时「左侧区域」⼀定会存在山峰（因为最左侧是负⽆穷），那么我们可以去左侧去寻找结果。
注意边界情况

    int findPeakElement(vector<int>& nums) 
    {
        int left = 0;
        int right= nums.size()-1;
        while(left < right)
        {
            //防止下标越界和死循环，mid总是取后一个
            int mid = left + (right - left + 1) / 2;

            if(nums[mid] > nums[mid-1])//去右边区域找
                left = mid;
            else
                right = mid - 1;
        }
        return left;
    }

7.寻找旋转排序数组中的最小值

在这里插入图片描述
题目链接

由于数组原本是一个有序的数组，那么旋转后数组就会变成含有两段有序元素的数组。
在这里插入图片描述

对于任意一个点 i 而言，我们就是要找C的位置

如果nums[i]落在AB区间中，也就是nums[i] > nums[D]，此时应该去 [i+1，D]区间中找，即left = mid + 1
如果nums[i]落在CD区间中，也就是nums[i] < nums[D]，此时应该去[C，i]区间中找，即right = mid;
当区间长度变为1时，就是结果

    int findMin(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size()-1;
        int left = 0;
        int right = n;
        while(left < right)
        {
            int mid = left + (right - left) / 2;
            if(nums[mid] > nums[n])
                left = mid + 1;
            else
                right = mid;
        }
        return nums[left];
    }