因果推断 | 双重机器学习（DML）算法原理和实例应用

文章目录

  • 1 引言
  • 2 DML算法原理
    • 2.1 问题阐述
    • 2.2 DML算法
  • 3 DML代码实现
    • 3.1 策略变量为0/1变量
    • 3.2 策略变量为连续变量
  • 4 总结
  • 5 相关阅读

1 引言

小伙伴们，好久不见呀。

距离上次更新已经过去了一个半月，上次发文章时还信誓旦旦地表达自己后续目标是3周更新一篇文章，然后马上就打脸了。

其实第3周的时候，有想过把当时的一些学习心得总结一下，先发出来。但是宁缺毋滥的理性很快打败了内心的小心机，毕竟骗自己的态度不可取。看清目标与现实间的差异，逐渐认识自身有限的学习能力，本身也是一种收获。

回到文章本身，今天要说的主题是：一种结合机器学习做因果推断任务的算法，学术名叫Double Machine Learning（DML），双重机器学习。

围绕DML，本文将首先介绍DML的算法原理；然后使用简单的模拟数据手动实现该算法，并和已有的工具包做对比，以此加深对该算法的理解；在此基础上，针对更实际的案例，尝试求解物理意义更强的因果推断问题。

正文见下。

2 DML算法原理

2.1 问题阐述

先回顾一下潜在因果框架中因果推断问题的定义：样本数据集为： D = { d 1 , d 2 , . . . , d n } D=\{d_1,d_2,...,d_n\} D={d1​,d2​,...,dn​}， n n n为样本数量；策略变量为 T ∈ { 0 , 1 } T\in \{0, 1\} T∈{0,1}， T = 0 T=0 T=0表示不施加策略， T = 1 T=1 T=1表示施加策略；协变量 X X X，一般指与策略无关的变量；结果变量 Y Y Y： Y 0 i Y_{0i} Y0i​表示无策略时第 i i i个样本的结果变量， Y 1 i Y_{1i} Y1i​表示有策略时第 i i i个样本的结果变量。目标是：基于数据集 D = { T i , X i , Y i } i n D=\{T_i,X_i,Y_i\}_i^n D={Ti​,Xi​,Yi​}in​，估计 T T T和 Y Y Y之间的因果效应。

在这个定义里面，有个前提假设很容易不满足，那就是 X X X和 T T T无关。一方面，在寻找 X X X时，很难确认 X X X和 T T T无关。举个例子，我们想知道冰淇淋的价格与销量间的因果效应，此处 T T T是价格， Y Y Y是销量。 X X X很容易想到有：当时的天气温度、当地的生活水平等等。但当地的生活水平和价格之间大概率是正相关的，比如同一款巧乐兹在北京卖的价格和十八线小城市的价格，大概率是有差别的。

另一方面，为了更全面考虑问题，变量 X X X中会纳入尽可能多的特征，而特征越多，就越难保证其和策略变量 T T T是否相关。

当 X X X和 T T T相关后，就会产生混淆变量 W W W，该类变量既影响 Y Y Y，又影响 T T T，如下图所示。

在此情况下，要得到 T T T和 Y Y Y之间纯净的因果效应就更难了。

2.2 DML算法

为了解决包含混淆变量的因果推断问题，本节介绍一种被称为双重机器学习的算法，英文是：Double Machine Learning (DML)。

该算法考虑如下一种线性模型：
Y = T θ 0 + X β 0 + U , E [ U ( X , T ) ] = 0 Y=T\theta_0+X\beta_0+U, \quad E[U(X,T)]=0 Y=Tθ0​+Xβ0​+U,E[U(X,T)]=0
T = X γ 0 + V , E [ V ∣ X ] = 0 T=X\gamma_0+V, \quad E[V|X]=0 T=Xγ0​+V,E[V∣X]=0
解释一下上述两个公式：第一个公式表达的是 Y Y Y和 T T T、 X X X之间为线性关系，其中 U U U为随机扰动项；第二个公式表达的是 T T T和 X X X之间也是线性关系，其中 V V V是为随机扰动项。

在该模型中，变量 X X X会同时影响 T T T和 Y Y Y，即 X X X被看做一个混淆变量，只是限定了变量间为线性关系。

DML的算法方案分为两步：第一步是基于机器学习模型使用协变量 X X X分别拟合 Y Y Y和 T T T，得到 Y ^ , T ^ \hat Y, \hat T Y^,T^，此时残差分别为 Y − Y ^ Y-\hat Y Y−Y^和 T − T ^ T-\hat T T−T^；

第二步是对残差，用任意机器学习模型(很多是最小二乘法)拟合，得到参数 τ \tau τ，即认为是 T T T和 Y Y Y之间的真正因果效应值。

( Y − Y ^ ) = τ ⋅ ( T − T ^ ) (Y-\hat Y) = \tau·(T-\hat T) (Y−Y^)=τ⋅(T−T^)

DML算法不复杂，不过有几点需要额外说明：

(1) 基于对 T T T和 Y Y Y残差的拟合，可以得到真正的因果效应值，直观上可以理解为：先剔除 X X X的影响后，再评估 T T T和 Y Y Y的因果效应，就会比较纯粹；理论上也是有证明的，只不过其推导证明对我来说有些复杂了，感兴趣的同学可以参考原文献：Double/debiased machine learning for treatment and structural parameters。B站上和CSDN上也有关于这篇文章的部分讲解，都可以参考一下。

(2) DML有个基本假设是： T T T和 Y Y Y之间是线性关系。所以如果 T T T不是0/1变量，而是个连续值，那么得到的因果效应值仅在 T T T附近有效。例如在上文提到的冰淇淋价格和销量的因果推断问题中， T T T是价格， Y Y Y是销量，设定 τ = 2 \tau=2 τ=2，我们可以说价格减少1个单位后销量能增加2个单位，但如果价格减少10个单位，就不能确认销量是否可以增加20个单位。

(3) 原问题中， X X X中有混杂变量 W W W；DML模型中，并没有刻意区分 W W W和 X X X。而且在实际操作时，由于拟合残差时使用的是机器学习模型，也不必仔细区分每个 X X X是不是混杂变量，直接扔进模型就行。

3 DML代码实现

本节通过两个实例，描述如何将DML应用于求解实际的业务问题。考虑到DML其中一种版本——因果森林DML，在业界很常用，本文也会更多关注因果森林DML的实践应用。

3.1 策略变量为0/1变量

策略变量为0/1变量是标准的因果推断问题，所以从这类问题入手比较适合。

本节的问题实例是个虚拟的合成数据，实现函数是causalml.dataset.synthetic_data，这是causalml自带的数据集，而causalml是Uber开源的因果推断工具包，未来肯定还会经常遇到它。

针对这个问题实例，下面的代码分别使用三种策略实现因果森林DML的技术方案：

(1) 自己编写代码实现。在计算 Y Y Y和 T T T的残差时，使用sklearn.ensemble.RandomForestRegressor；在拟合残差时，使用sklearn.linear_model.LinearRegression。

(2) 工具包+手动设置机器学习模型。工具包使用econml.dml.DML，然后依次设置计算残差和残差拟合的机器学习模型。

(3) 工具包一键完成。直接调用econml.dml.CausalForestDML。

这里的工具包需要单独描述一下。econml是微软开源的因果推断工具包，没有继续使用causalml，是因为causalml中暂时还不支持DML。在econml中，DML可以理解为一个简单框架，允许用户自行设置每个步骤上的机器学习模型；CausalForestDML可以理解为一个已经集成好的因果森林DML。

import pandas as pd
from causalml.metrics import auuc_score, plot_gain
from sklearn.ensemble import RandomForestRegressor
from sklearn.linear_model import LinearRegression
from causalml.dataset import synthetic_data
from econml.dml import CausalForestDML, DML


# 自编代码实现因果森林DML
def algo_by_self_cf_dml(y, treat, X):
    # 计算y的残差
    rf_y = RandomForestRegressor()
    rf_y.fit(X, y)
    y_res = y - rf_y.predict(X)

    # 计算treat的残差
    rf_t = RandomForestRegressor()
    rf_t.fit(X, treat)
    treat_res = treat - rf_t.predict(X)

    # 计算因果效果
    lr = LinearRegression(fit_intercept=False).fit(treat_res.reshape(-1, 1), y_res.reshape(-1, 1))
    print('self_cf_dml: w = {:.2f}'.format(lr.coef_[0, 0]))


# econml工具包实现因果森林DML
def algo_by_econml_dml(y, treat, X):
    # dml + 手动设置
    dml = DML(model_y=RandomForestRegressor(),
              model_t=RandomForestRegressor(),
              model_final=LinearRegression(fit_intercept=False))
    dml.fit(y, treat, X=X)
    print('DML: {}'.format(dml.ate(X)))

    # 因果森林DML
    cf_dml = CausalForestDML()
    cf_dml.fit(y, treat, X=X)
    print('CausalForestDML: {}'.format(cf_dml.ate(X)))

    return dml, cf_dml


# 计算AUUC和绘制gain曲线
def auuc_score_and_plot(y, treat, X, dml, cf_dml):

    # 使用dataframe组织计算AUUC的必要数据
    df = pd.DataFrame({
        'y': y,
        'treat': treat,
        'cf_dml': cf_dml.effect(X),
        'dml': dml.effect(X)
    })

    # 计算AUUC值
    auuc = auuc_score(df, outcome_col='y', treatment_col='treat', normalize=True, tmle=False)
    print(auuc)

    # 绘制gain曲线
    plot_gain(df, outcome_col='y', treatment_col='treat', normalize=True, random_seed=10, n=100, figsize=(8, 8))


if __name__ == '__main__':
    # 使用synthetic_data生成数据
    y, X, treat, _, _, _ = synthetic_data(mode=1, n=10000, p=8, sigma=1.0)

    # 自编代码实现因果森林DML
    algo_by_self_cf_dml(y, treat, X)

    # econml工具包实现因果森林DML
    dml, cf_dml = algo_by_econml_dml(y, treat, X)

    # 计算AUUC和绘制gain曲线
    auuc_score_and_plot(y, treat, X, dml, cf_dml)

使用多种策略实现因果森林DML，最重要的价值是可以加深对DML算法原理和工具包的理解。结合实践过程和以下的输出结果，可以发现一些新认知：

(1) 前文介绍的DML算法原理中，直接求解得到的 τ \tau τ，看起来应该是平均因果效应 A T E ATE ATE。
至于如何使用 τ \tau τ去预测新样本的个体因果效应 I T E ITE ITE，并没有提到；但在econml.dml中，dml.effect(X)却可以得到 I T E ITE ITE。

(2) 从 A T E ATE ATE的计算结果上可以看出，三种策略的结果是相似的，说明对DML算法原理的认知是没有多大问题的；第二种策略和第三种策略得到的结果并不完全相同，说明econml.dml.CausalForestDML相比econml.dml.DML，在代码层面还存在一些不同。

(3) 从auuc的结果来看，econml.dml.CausalForestDML的表现显著优于econml.dml.DML。但由于数据是虚拟的，下钻分析的意义不大，就不继续深入了。

关于auuc的计算还需要再描述一下。目前econml不支持针对auuc的计算和绘图，但是causalml可以。所以在代码中，我用到了 causalml.metrics.auuc_score和plot_gain这两个函数。这两个函数需要的数据，至少是2列：第1列是 Y Y Y值，第2列是 T T T值，其他的列都会被认为是不同模型输出的因果效应值，然后分别评估和输出。

self_cf_dml: w = 0.47
DML: 0.48424327569296155
CausalForestDML: 0.4705562443255083
cf_dml    0.716144
dml       0.505681
Random    0.498693
dtype: float64

3.2 策略变量为连续变量

通过上一节的实例，我们应该对因果森林DML有一个比较直观的感受了。本节尝试使用该模型解决一个业务场景中经常遇到的问题实例：推断商品价格和销量之间的因果效应。

本节实例的数据来源是kaggle竞赛中提供的在线零售销售数据。train_test_date_split函数参考其他内容对原始数据做了预处理，这部分的内容和因果森林DML无关，可以略过其中的逻辑细节（感兴趣的小伙伴可以在相关阅读中找到链接）。

为了将原问题转化为因果推断问题，需要设置： Y Y Y为销量的对数， T T T为价格的对数， X X X包括：month、DoM、DoW、stock_age_days和sku_avg_p。

Y Y Y和 T T T需要取对数的原因是：价格和销量间的关系大致应该为
τ = d Q / Q d P / P \tau=\frac{dQ/Q}{dP/P} τ=dP/PdQ/Q​
此处， Q Q Q是销量， P P P是价格。该式和DML的基本公式有些出入，需要调整一下：对上述公式两边取对数，得到
log ⁡ Q = log ⁡ P + 截距 \log Q = \log P +截距 logQ=logP+截距
所以 Q Q Q和 P P P本身不是线性，但是取对数后，就变为线性，满足DML的使用条件了。

X X X的维度不多，如果在实际场景中，大概率还会包含商品的信息特征、用户历史购买特征等，本节的主要目标不在于精确给出其因果效应值，而是展现完整的计算过程，所以可以接受特征维度不那么全面的现状。

有了训练集后，使用因果森林DML进行训练，这个过程比较简单，一行代码便可以解决，就不赘述了。

得到模型后，依然需要使用auuc去验证模型的效果。不过在这里尤其需要注意两个方面：

(1) plot_gain和auuc_score中使用的treat只能接受0/1变量，而当前场景中价格是连续变量。代码里设置的逻辑是： log ⁡ P \log P logP<0认为是1，反之是0，物理意义可以理解为1为降价，0为不降价。

(2) 价格和销量间的因果效应值为负数，所以在传入auuc计算时，需要先取负号，将其转为正数。

import pandas as pd
import numpy as np
from datetime import datetime, date
from causalml.metrics import plot_gain, auuc_score
from sklearn.model_selection import train_test_split
from econml.dml import CausalForestDML


def train_test_date_split():
    # 数据预处理
    df = pd.read_csv('OnlineRetail.csv', encoding="unicode_escape")
    df = df[(df['UnitPrice'] > 0) & (df['Quantity'] > 0)].reset_index(drop=True)
    df = df[~df.StockCode.isin(['POST', 'DOT', 'M', 'AMAZONFEE', 'BANK CHARGES', 'C2', 'S'])]
    df['InvoiceDate'] = pd.to_datetime(df.InvoiceDate)
    df['Date'] = pd.to_datetime(df.InvoiceDate.dt.date)
    df['revenue'] = df.Quantity * df.UnitPrice
    df = (
        df.assign(dNormalPrice=lambda d: d.UnitPrice / d.groupby('StockCode').UnitPrice.transform('median')
                  ).pipe(lambda d: d[(d['dNormalPrice'] > 1. / 3) & (d['dNormalPrice'] < 3.)]
                         ).drop(columns=['dNormalPrice'])
    )
    df = df.groupby(['Date', 'StockCode', 'Country'], as_index=False).agg({
        'Description': 'first',
        'Quantity': 'sum',
        'revenue': 'sum'
    })
    df['Description'] = df.groupby('StockCode').Description.transform('first')
    df['UnitPrice'] = df['revenue'] / df['Quantity']
    df_dml = df[(df.groupby('StockCode').UnitPrice.transform('std') > 0)]
    df_dml = df_dml.assign(
        LnP=np.log(df_dml['UnitPrice']),
        LnQ=np.log(df_dml['Quantity']),
    )
    df_dml['dLnP'] = np.log(df_dml.UnitPrice) - np.log(df_dml.groupby('StockCode').UnitPrice.transform('mean'))
    df_dml['dLnQ'] = np.log(df_dml.Quantity) - np.log(df_dml.groupby('StockCode').Quantity.transform('mean'))
    df_dml = df_dml.assign(
        month=lambda d: d.Date.dt.month,
        DoM=lambda d: d.Date.dt.day,
        DoW=lambda d: d.Date.dt.weekday,
        stock_age_days=lambda d: (d.Date - d.groupby('StockCode').Date.transform('min')).dt.days,
        sku_avg_p=lambda d: d.groupby('StockCode').UnitPrice.transform('median')
    )
    
    y = df_dml['dLnQ']
    treat = df_dml['dLnP']
    X = df_dml[['month', 'DoM', 'DoW', 'stock_age_days', 'sku_avg_p']]

    y_train, y_test, treat_train, treat_test, X_train, X_test = train_test_split(y, treat, X, test_size=.2)

    return X_train, y_train, treat_train, X_test, y_test, treat_test


if __name__ == '__main__':
    # 整合训练和测试数据
    X_train, y_train, treat_train, X_test, y_test, treat_test = train_test_date_split()

    # 因果森林DML训练
    cf_dml = CausalForestDML(n_jobs=1).fit(y_train, treat_train, X=X_train)

    # AUUC评估训练集效果
    train_df = pd.DataFrame({
        'y': y_train,
        'treat': np.where(treat_train.values < 0, 1, 0),
        'cf_dml': -cf_dml.effect(X_train)
    })
    plot_gain(train_df, outcome_col='y', treatment_col='treat', normalize=True, random_seed=10, n=100, figsize=(8, 8))
    auuc = auuc_score(train_df, outcome_col='y', treatment_col='treat', normalize=True, tmle=False)
    print('train set auuc:')
    print(auuc)

    # AUUC评估测试集效果
    test_df = pd.DataFrame({
        'y': y_test,
        'treat': np.where(treat_test.values < 0, 1, 0),
        'cf_dml': -cf_dml.effect(X_test)
    })
    plot_gain(test_df, outcome_col='y', treatment_col='treat', normalize=True, random_seed=10, n=100, figsize=(8, 8))
    auuc = auuc_score(test_df, outcome_col='y', treatment_col='treat', normalize=True, tmle=False)
    print('\ntest set auuc:')
    print(auuc)

以下是代码的输出结果。从结果上来看，模型的auuc优于随机排序的auuc，同时测试集的auuc略低于训练集的auuc，整体上来看是符合预期的。

train set auuc:
cf_dml    0.691234
Random    0.500072
dtype: float64

test set auuc:
cf_dml    0.623231
Random    0.499888
dtype: float64

4 总结

文章正文到此就结束了，本节总结一下三个比较重要的内容：

(1) DML的原理是：基于对结果变量和策略变量残差的拟合，可以得到真正的因果效应值。

(2) econml工具包可以调用DML和因果森林DML算法。

(3) 使用auuc评估DML的预测效果时，可以调用causalml工具包。

5 相关阅读

DML算法原文：https://academic.oup.com/ectj/article/21/1/C1/5056401?login=false

DML算法原理讲解1：https://academic.oup.com/ectj/article/21/1/C1/5056401?login=false

DML算法原理讲解2：https://blog.csdn.net/a358463121/article/details/123999934

DML实例1：https://cloud.tencent.com/developer/article/1913864

DML实例2：https://cloud.tencent.com/developer/article/1938132

FWL定理：https://www.bilibili.com/video/BV1dA411H7nP/?spm_id_from=333.788&vd_source=f416a5e7c4817e8efccf51f2c8a2c704

在线零售销售数据：https://www.kaggle.com/datasets/vijayuv/onlineretail

销售数据预处理：https://github.com/Serena-TT/36-methods-for-data-analysis/blob/main/DML.ipynb

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随着科技的快速发展&#xff0c;我们的生活已离不开各种各样的电子设备&#xff0c;智能手机、平板电脑、智能手表、无线耳机……它们共同构建了我们丰富多彩的数字生活。然而&#xff0c;面对众多设备的充电需求&#xff0c;传统的单一充电口已难以满足现代人的使用习惯。在这…
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完整创建一个vite前端项目

完整创建一个vite前端项目

目录 1.先创建一个vite项目 2.下载第三方依赖 ① 安装路由vue-router ② 安装vuex全局数据管理 ③ 安装element-plus ④ 安装element-plus图标 ⑤ 安装axios发送请求 ⑥ 完整main.js代码模板 3.开发组件 4.登陆页面开发用例 5. 完整项目代码 废话少说&#xff0c;直接…
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DDei在线设计器-HTML渲染

DDei在线设计器-HTML渲染

Html渲染 HtmlViewer插件通过将一个外部DIV附着在图形控件上&#xff0c;从而改变原有图形的显示方式。允许使用者自己定义HTML通过HTML元素。本示例演示了通过Html来扩展渲染图形&#xff0c;从而获得更加丰富的图形展现。 通常情况下&#xff0c;我们创建的图形控件&#xff…
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IDEA的工程与模块管理

IDEA的工程与模块管理

《IDEA破解、配置、使用技巧与实战教程》系列文章目录 第一章 IDEA破解与HelloWorld的实战编写 第二章 IDEA的详细设置 第三章 IDEA的工程与模块管理 第四章 IDEA的常见代码模板的使用 第五章 IDEA中常用的快捷键 第六章 IDEA的断点调试&#xff08;Debug&#xff09; 第七章 …
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