【三维向量旋转】基于Matlab的三维坐标旋转

一、问题描述

若空间中存在三个点A,B,C，其中A点是不动点，B点是当前方向向量上的一个点，C是目标方向上的一个点。如果要让AB向量沿着BC方向进行旋转，使得AB最终旋转到AC。这个过程就是三维向量的旋转过程。我们关注的是这个过程，即确定好A,B,C三点后，指定任意的旋转角度，可以得到B点旋转到C点过程中的对应轨迹点。

在这里插入图片描述

二、求解思路

第一步：求解ABC 平面的法向量

要求三维屏幕的法向量，你可以使用这三个点来计算。假设这三个点分别为 A,B,C

法向量可以通过计算两个向量的叉积来获得。在这种情况下，可以选择两个向量为AB,AC，然后计算这两个向量的叉积来得到法向量。

具体步骤如下：

在这里插入图片描述
下面是一个示例 MATLAB 代码，演示如何计算三维空间中由三个点定义的平面的法向量：

% 定义三个屏幕上的点
A = [1, 2, 3]; % 举例点 A
B = [4, 5, 6]; % 举例点 B
C = [7, 8, 9]; % 举例点 C

% 计算向量 AB 和 AC
AB = B - A;
AC = C - A;

% 计算法向量
n = cross(AB, AC);

disp('屏幕的法向量 n:');
disp(n);

这段代码将计算由三个点定义的平面的法向量。你可以替换示例点的实际值，并运行代码来获得平面的法向量。
在这里插入图片描述

第二步求解旋转后的向量

当涉及三维空间向量沿特定方向旋转时，可以使用旋转矩阵来实现这一点。假设我们有一个三维向量 v= [x, y, z],我们希望将其绕一个单位向量u= [u_x, u_y, u_z]所表示的方向进行旋转。以下是一个基本的步骤：

计算旋转矩阵：首先需要计算一个旋转矩阵，该矩阵描述了如何将向量旋转到新的方向。这个旋转矩阵通常是一个3x3的矩阵。
进行旋转：将向量 v 与旋转矩阵相乘，即可得到旋转后的向量。

三、代码实现

clc
close all
clear all
dbstop if error


% 定义三个屏幕上的点
A = [0, 0, 0]; % 举例点 A 
B = [0, 1, 0]; % 举例点 B 
C = [0, 0, 1]; % 举例点 C 

% 计算向量 AB 和 AC
AB = B - A;
AC = C - A;

% 计算法向量
n = cross(AB, AC);

disp('屏幕的法向量 n:');
disp(n);


figure
view(3)
plot3([A(1)],[A(2)],[A(3)],'ro','DisplayName','A点')
hold on
% 
plot3([B(1)],[B(2)],[B(3)],'go','DisplayName','B点')

hold on
plot3([C(1)],[C(2)],[C(3)],'bo','DisplayName','C点')

plot3([0 n(1)],[0 n(2)],[0 n(3)],'r','DisplayName','ABC平面的法向量')

grid on

xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
legend
xlim([-2 2])
ylim([-2 2])
zlim([-2 2])

v=B-A;

u = n;          % 旋转轴（单位向量）
theta = pi *0.25;         % 旋转角度（45度）

% 计算旋转后的向量
v_rot = round(rotate_vector(v, u, theta));

% 显示结果
disp('旋转后的向量：');
disp(v_rot);

figure
view(3)
plot3([0 v(1)],[0 v(2)],[0 v(3)],'r','DisplayName','旋转前')
hold on
plot3([0 u(1)],[0 u(2)],[0 u(3)],'b','LineWidth',2,'DisplayName','法向量')
hold on
plot3([0 v_rot(1)],[0 v_rot(2)],[0 v_rot(3)],'g','DisplayName','旋转后')
grid on
axis equal

xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
legend

hold on

C=v_rot(:)+A(:);
B=v(:)+A(:);
xlim([-2 2])
ylim([-2 2])
zlim([-2 2])
% figure
view(3)
plot3([A(1)],[A(2)],[A(3)],'ro','DisplayName','A')
hold on
plot3([B(1)],[B(2)],[B(3)],'go','DisplayName','B')
hold on
plot3([C(1)],[C(2)],[C(3)],'bo','DisplayName','B’')
grid on
legend