代码随想录算法训练营第74天：路径总结[1]

代码随想录算法训练营第74天：路径总结

‍

A * 算法精讲（A star算法）

卡码网：126. 骑士的攻击(opens new window)

题目描述

在象棋中，马和象的移动规则分别是“马走日”和“象走田”。现给定骑士的起始坐标和目标坐标，要求根据骑士的移动规则，计算从起点到达目标点所需的最短步数。

棋盘大小 1000 x 1000（棋盘的 x 和 y 坐标均在 [1, 1000] 区间内，包含边界）

输入描述

第一行包含一个整数 n，表示测试用例的数量。

接下来的 n 行，每行包含四个整数 a1, a2, b1, b2，分别表示骑士的起始位置 (a1, a2) 和目标位置 (b1, b2)。

输出描述

输出共 n 行，每行输出一个整数，表示骑士从起点到目标点的最短路径长度。

输入示例

输出示例

#思路

我们看到这道题目的第一个想法就是广搜，这也是最经典的广搜类型题目。

这里我直接给出广搜的C++代码：

#include<iostream>
#include<queue>
#include<string.h>
using namespace std;
int moves[1001][1001];
int dir[8][2]={-2,-1,-2,1,-1,2,1,2,2,1,2,-1,1,-2,-1,-2};
void bfs(int a1,int a2, int b1, int b2)
{
	queue<int> q;
	q.push(a1);
	q.push(a2);
	while(!q.empty())
	{
		int m=q.front(); q.pop();
		int n=q.front(); q.pop();
		if(m == b1 && n == b2)
		break;
		for(int i=0;i<8;i++)
		{
			int mm=m + dir[i][0];
			int nn=n + dir[i][1];
			if(mm < 1 || mm > 1000 || nn < 1 || nn > 1000)
			continue;
			if(!moves[mm][nn])
			{
				moves[mm][nn]=moves[m][n]+1;
				q.push(mm);
				q.push(nn);
			}
		}
	}
}

int main()
{
int n, a1, a2, b1, b2;
cin >> n;
while (n--) {
cin >> a1 >> a2 >> b1 >> b2;
memset(moves,0,sizeof(moves));
		bfs(a1, a2, b1, b2);
		cout << moves[b1][b2] << endl;
	}
	return 0;
}

提交后，大家会发现，超时了。

因为本题地图足够大，且 n 也有可能很大，导致有非常多的查询。

我们来看一下广搜的搜索过程，如图，红色是起点，绿色是终点，黄色是要遍历的点，最后从起点找到达到终点的最短路径是棕色。

可以看出广搜中，做了很多无用的遍历，黄色的格子是广搜遍历到的点。

这里我们能不能让便利方向，向这终点的方向去遍历呢？

这样我们就可以避免很多无用遍历。

#Astar

Astar 是一种广搜的改良版。有的是 Astar是 dijkstra 的改良版。

其实只是场景不同而已我们在搜索最短路的时候，如果是无权图（边的权值都是1）那就用广搜，代码简洁，时间效率和 dijkstra 差不多（具体要取决于图的稠密）

如果是有权图（边有不同的权值），优先考虑 dijkstra。

而 Astar 关键在于启发式函数，也就是影响广搜或者 dijkstra 从容器（队列）里取元素的优先顺序。

以下，我用BFS版本的A * 来进行讲解。

在BFS中，我们想搜索，从起点到终点的最短路径，要一层一层去遍历。

如果使用A * 的话，其搜索过程是这样的，如图，图中着色的都是我们要遍历的点。

（上面两图中最短路长度都是8，只是走的方式不同而已）

大家可以发现 **BFS 是没有目的性的一圈一圈去搜索，而 A *** 是有方向性的去搜索。

看出 A * 可以节省很多没有必要的遍历步骤。

为了让大家可以明显看到区别，我将 BFS 和 A * 制作成可视化动图，大家可以自己看看动图，效果更好。

地址：https://kamacoder.com/tools/knight.html

那么 A * 为什么可以有方向性的去搜索，它的如何知道方向呢？

其关键在于启发式函数。

那么启发式函数落实到代码处，如果指引搜索的方向？

在本篇开篇中给出了BFS代码，指引搜索的方向的关键代码在这里：

int m=q.front();q.pop();
int n=q.front();q.pop();

从队列里取出什么元素，接下来就是从哪里开始搜索。

所以启发式函数要影响的就是队列里元素的排序！

这是影响BFS搜索方向的关键。

对队列里节点进行排序，就需要给每一个节点权值，如何计算权值呢？

每个节点的权值为F，给出公式为：F = G + H

G：起点达到目前遍历节点的距离

F：目前遍历的节点到达终点的距离

起点达到目前遍历节点的距离 + 目前遍历的节点到达终点的距离就是起点到达终点的距离。

本题的图是无权网格状，在计算两点距离通常有如下三种计算方式：

曼哈顿距离，计算方式： d = abs(x1-x2)+abs(y1-y2)
欧氏距离（欧拉距离），计算方式：d = sqrt( (x1-x2)^2 + (y1-y2)^2 )
切比雪夫距离，计算方式：d = max(abs(x1 - x2), abs(y1 - y2))

x1, x2 为起点坐标，y1, y2 为终点坐标，abs 为求绝对值，sqrt 为求开根号，

选择哪一种距离计算方式也会导致 A * 算法的结果不同。

本题，采用欧拉距离才能最大程度体现点与点之间的距离。

所以使用欧拉距离计算和广搜搜出来的最短路的节点数是一样的。（路径可能不同，但路径上的节点数是相同的）

我在制作动画演示的过程中，分别给出了曼哈顿、欧拉以及契比雪夫三种计算方式下，A * 算法的寻路过程，大家可以自己看看看其区别。

动画地址：https://kamacoder.com/tools/knight.html

计算出来 F 之后，按照 F 的大小，来选去出队列的节点。

可以使用优先级队列帮我们排好序，每次出队列，就是F最小的节点。

实现代码如下：（启发式函数采用欧拉距离计算方式）

#include<iostream>
#include<queue>
#include<string.h>
using namespace std;
int moves[1001][1001];
int dir[8][2]={-2,-1,-2,1,-1,2,1,2,2,1,2,-1,1,-2,-1,-2};
int b1, b2;
// F = G + H
// G = 从起点到该节点路径消耗
// H = 该节点到终点的预估消耗

struct Knight{
int x,y;
int g,h,f;
bool operator < (const Knight & k) const{  // 重载运算符， 从小到大排序
return k.f < f;
}
};

priority_queue<Knight> que;

int Heuristic(const Knight& k) { // 欧拉距离
return (k.x - b1) * (k.x - b1) + (k.y - b2) * (k.y - b2); // 统一不开根号，这样可以提高精度
}
void astar(const Knight& k)
{
Knight cur, next;
	que.push(k);
	while(!que.empty())
	{
		cur=que.top(); que.pop();
		if(cur.x == b1 && cur.y == b2)
		break;
		for(int i = 0; i < 8; i++)
		{
			next.x = cur.x + dir[i][0];
			next.y = cur.y + dir[i][1];
			if(next.x < 1 || next.x > 1000 || next.y < 1 || next.y > 1000)
			continue;
			if(!moves[next.x][next.y])
			{
				moves[next.x][next.y] = moves[cur.x][cur.y] + 1;

// 开始计算F
				next.g = cur.g + 5; // 统一不开根号，这样可以提高精度，马走日，1 * 1 + 2 * 2 = 5
next.h = Heuristic(next);
next.f = next.g + next.h;
que.push(next);
			}
		}
	}
}

int main()
{
int n, a1, a2;
cin >> n;
while (n--) {
cin >> a1 >> a2 >> b1 >> b2;
memset(moves,0,sizeof(moves));
Knight start;
start.x = a1;
start.y = a2;
start.g = 0;
start.h = Heuristic(start);
start.f = start.g + start.h;
		astar(start);
while(!que.empty()) que.pop(); // 队列清空
		cout << moves[b1][b2] << endl;
	}
	return 0;
}

#复杂度分析

A * 算法的时间复杂度其实是不好去量化的，因为他取决于启发式函数怎么写。

最坏情况下，A * 退化成广搜，算法的时间复杂度是 O(n * 2)，n 为节点数量。

最佳情况，是从起点直接到终点，时间复杂度为 O(dlogd)，d 为起点到终点的深度。

因为在搜索的过程中也需要堆排序，所以是 O(dlogd)。

实际上 A * 的时间复杂度是介于最优和最坏情况之间，可以非常粗略的认为 A * 算法的时间复杂度是 O(nlogn) ，n 为节点数量。

A * 算法的空间复杂度 O(b ^ d) ,d 为起点到终点的深度，b 是图中节点间的连接数量，本题因为是无权网格图，所以节点间连接数量为 4。

#拓展

如果本题大家使用曼哈顿距离或者切比雪夫距离计算的话，可以提交试一试，有的最短路结果是并不是最短的。

原因也是曼哈顿和切比雪夫这两种计算方式在本题的网格地图中，都没有体现出点到点的真正距离！

可能有些录友找到类似的题目，例如 poj 2243 **(opens new window)** ，使用曼哈顿距离提交也过了，那是因为题目中的地图太小了，仅仅是一张 8 * 8的地图，根本看不出来不同启发式函数写法的区别。

A * 算法并不是一个明确的最短路算法，**A *** 算法搜的路径如何，完全取决于启发式函数怎么写。

**A *** 算法并不能保证一定是最短路，因为在设计启发式函数的时候，要考虑时间效率与准确度之间的一个权衡。

虽然本题中，A * 算法得到是最短路，也是因为本题启发式函数和地图结构都是最简单的。

例如在游戏中，在地图很大、不同路径权值不同、有障碍且多个游戏单位在地图中寻路的情况，如果要计算准确最短路，耗时很大，会给玩家一种卡顿的感觉。

而真实玩家在玩游戏的时候，并不要求一定是最短路，次短路也是可以的（玩家不一定能感受出来，及时感受出来也不是很在意），只要奔着目标走过去大体就可以接受。

所以在游戏开发设计中，**保证运行效率的情况下，A *** 算法中的启发式函数设计往往不是最短路，而是接近最短路的次短路设计。

大家如果玩 LOL，或者王者荣耀可以回忆一下：如果从很远的地方点击让英雄直接跑过去是跑的路径是不靠谱的，所以玩家们才会在距离英雄尽可能近的位置去点击让英雄跑过去。

#A * 的缺点

大家看上述 A * 代码的时候，可以看到我们想队列里添加了很多节点，但真正从队列里取出来的仅仅是靠启发式函数判断距离终点最近的节点。

相对了普通BFS，A * 算法只从队列里取出距离终点最近的节点。

那么问题来了，A * 在一次路径搜索中，大量不需要访问的节点都在队列里，会造成空间的过度消耗。

IDA * 算法对这一空间增长问题进行了优化，关于 IDA * 算法，本篇不再做讲解，感兴趣的录友可以自行找资料学习。

另外还有一种场景是 A * 解决不了的。

如果题目中，给出多个可能的目标，然后在这多个目标中选择最近的目标，这种 A * 就不擅长了， A * 只擅长给出明确的目标然后找到最短路径。

如果是多个目标找最近目标（特别是潜在目标数量很多的时候），可以考虑 Dijkstra ，BFS 或者 Floyd。

最短路算法总结篇

至此已经讲解了四大最短路算法，分别是Dijkstra、Bellman_ford、SPFA 和 Floyd。

针对这四大最短路算法，我用了七篇长文才彻底讲清楚，分别是：

dijkstra朴素版
dijkstra堆优化版
Bellman_ford
Bellman_ford 队列优化算法（又名SPFA）
bellman_ford 算法判断负权回路
bellman_ford之单源有限最短路
Floyd 算法精讲
启发式搜索：A * 算法

最短路算法比较复杂，而且各自有各自的应用场景，我来用一张表把讲过的最短路算法的使用场景都展现出来：

外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传

（因为A * 属于启发式搜索，和上面最短路算法并不是一类，不适合一起对比，所以没有放在一起）

可能有同学感觉：这个表太复杂了，我记也记不住。

其实记不住的原因还是对这几个最短路算法没有深刻的理解。

这里我给大家一个大体使用场景的分析：

如果遇到单源且边为正数，直接Dijkstra。

至于 使用朴素版还是堆优化版还是取决于图的稠密度，多少节点多少边算是稠密图，多少算是稀疏图，这个没有量化，如果想量化只能写出两个版本然后做实验去测试，不同的判题机得出的结果还不太一样。

一般情况下，可以直接用堆优化版本。

如果遇到单源边可为负数，直接 Bellman-Ford，同样 SPFA 还是 Bellman-Ford 取决于图的稠密度。

一般情况下，直接用 SPFA。

如果有负权回路，优先 Bellman-Ford，如果是有限节点最短路也优先 Bellman-Ford，理由是写代码比较方便。

如果是遇到多源点求最短路，直接 Floyd。

除非源点特别少，且边都是正数，那可以多次 Dijkstra 求出最短路径，但这种情况很少，一般出现多个源点了，就是想让你用 Floyd 了。

对于A * ，由于其高效性，所以在实际工程应用中使用最为广泛，由于其结果的不唯一性，也就是可能是次短路的特性，一般不适合作为算法题。

游戏开发、地图导航、数据包路由等都广泛使用 A * 算法。

图论总结篇

从深搜广搜到并查集，从最小生成树到拓扑排序，最后是最短路算法系列。

至此算上本篇，一共30篇文章，图论之旅就在此收官了。

在0098.所有可达路径，我们接触了两种图的存储方式，邻接表和邻接矩阵，掌握两种图的存储方式很重要。

图的存储方式也是大家习惯在核心代码模式下刷题经常忽略的知识点。因为在力扣上刷题不需要掌握图的存储方式。

#深搜与广搜

在二叉树章节中，其实我们讲过了深搜和广搜在二叉树上的搜索过程。

在图论章节中，深搜与广搜就是在图这个数据结构上的搜索过程。

深搜与广搜是图论里基本的搜索方法，大家需要掌握三点：

搜索方式：深搜是可一个方向搜，不到黄河不回头。广搜是围绕这起点一圈一圈的去搜。
代码模板：需要熟练掌握深搜和广搜的基本写法。
应用场景：图论题目基本上可以即用深搜也可用广搜，无疑是用哪个方便而已

#注意事项

需要注意的是，同样是深搜模板题，会有两种写法。

在0099.岛屿的数量深搜.md 和 0105.有向图的完全可达性，涉及到dfs的两种写法。

我们对dfs函数的定义是是处理当前节点还是处理下一个节点很重要，决定了两种dfs的写法。

这也是为什么很多录友看到不同的dfs写法，结果发现提交都能过的原因。

而深搜还有细节，有的深搜题目需要用到回溯的过程，有的就不用回溯的过程，

一般是需要计算路径的问题需要回溯，如果只是染色问题（岛屿问题系列）就不需要回溯。

例如： 0105.有向图的完全可达性深搜就不需要回溯，而 0098.所有可达路径中的递归就需要回溯，文章中都有详细讲解

注意：以上说的是不需要回溯，不是没有回溯，只要有递归就会有回溯，只是我们是否需要用到回溯这个过程，这是需要考虑的。

很多录友写出来的广搜可能超时了，例如题目：0099.岛屿的数量广搜

根本原因是只要加入队列就代表走过，就需要标记，而不是从队列拿出来的时候再去标记走过。

具体原因，我在0099.岛屿的数量广搜中详细讲了。

在深搜与广搜的讲解中，为了防止惯性思维，我特别加入了题目 0106.岛屿的周长，提醒大家，看到类似的题目，也不要上来就想着深搜和广搜。

还有一些图的问题，在题目描述中，是没有图的，需要我们自己构建一个图，例如 0110.字符串接龙，题目中连线都没有，需要我们自己去思考什么样的两个字符串可以连成线。

#并查集

并查集相对来说是比较复杂的数据结构，其实他的代码不长，但想彻底学透并查集，需要从多个维度入手，

我在理论基础篇的时候讲解如下重点：

为什么要用并查集，怎么不用个二维数据，或者set、map之类的。
并查集能解决那些问题，哪些场景会用到并查集
并查集原理以及代码实现
并查集写法的常见误区
带大家去模拟一遍并查集的过程
路径压缩的过程
时间复杂度分析

上面这几个维度大家都去思考了，并查集基本就学明白了。

其实理论基础篇就算是给大家出了一道裸的并查集题目了，所以在后面的题目安排中，会稍稍的拔高一些，重点在于并查集的应用上。

例如并查集可以判断这个图是否是树，因为树的话，只有一个根，符合并查集判断集合的逻辑，题目：0108.冗余连接。

在0109.冗余连接II 中对有向树的判断难度更大一些，需要考虑的情况比较多。

#最小生成树

最小生成树是所有节点的最小连通子图，即：以最小的成本（边的权值）将图中所有节点链接到一起。

最小生成树算法，有prim 和 kruskal。

prim 算法是维护节点的集合，而 Kruskal 是维护边的集合。

在稀疏图中，用Kruskal更优。在稠密图中，用prim算法更优。

边数量较少为稀疏图，接近或等于完全图（所有节点皆相连）为稠密图

Prim 算法时间复杂度为 O(n^2)，其中 n 为节点数量，它的运行效率和图中边树无关，适用稠密图。

Kruskal算法时间复杂度为 O(nlogn)，其中n 为边的数量，适用稀疏图。

关于 prim算法，我自创了三部曲，来帮助大家理解：

第一步，选距离生成树最近节点
第二步，最近节点加入生成树
第三步，更新非生成树节点到生成树的距离（即更新minDist数组）

大家只要理解这三部曲， prim算法至少是可以写出一个框架出来，然后在慢慢补充细节，这样不至于自己在写prim的时候两眼一抹黑完全凭感觉去写。

minDist数组是prim算法的灵魂，它帮助 prim算法完成最重要的一步，就是如何找到距离最小生成树最近的点。

kruscal的主要思路：

边的权值排序，因为要优先选最小的边加入到生成树里
遍历排序后的边
- 如果边首尾的两个节点在同一个集合，说明如果连上这条边图中会出现环
- 如果边首尾的两个节点不在同一个集合，加入到最小生成树，并把两个节点加入同一个集合

而判断节点是否在一个集合以及将两个节点放入同一个集合，正是并查集的擅长所在。

所以 Kruskal 是需要用到并查集的。

这也是我在代码随想录图论编排上为什么要先讲解并查集在讲解最小生成树。

#拓扑排序

拓扑排序是在图上的一种排序。

概括来说，给出一个有向图，把这个有向图转成线性的排序就叫拓扑排序。

同样，拓扑排序也可以检测这个有向图是否有环，即存在循环依赖的情况。

拓扑排序的一些应用场景，例如：大学排课，文件下载依赖等等。

只要记住如下两步拓扑排序的过程，代码就容易写了：

找到入度为0 的节点，加入结果集
将该节点从图中移除

#最短路算法

最短路算法是图论中，比较复杂的算法，而且不同的最短路算法都有不同的应用场景。

我在最短路算法总结篇里已经做了一个高度的概括。

大家要时常温故而知新，才能透彻理解各个最短路算法。

#总结

到最后，图论终于剧终了，相信这是市面上大家能看到最全最细致的图论讲解教程。

图论也是我《代码随想录》所有章节里所费精力最大的一个章节。

只为了不负录友们的期待。大家加油💪🏻